Zylinderkondensator

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von Mauti19861, 23 Jan. 2013.

  1. Hallo, ich habe Verständnisprobleme mit folgender Aufgabe:

    Ein Zylinderkondensator soll sich aus 3 Schichten zusammensetzen. r1=20cm r2=90 cm r3=ra
    er1 =2 er2=0.5 er3=4
    Die Länge des Kondensators ist größer als ra.

    Wie berechnet man E(r)? Verwirrend ist hier die Angabe von 3 Radien.
    Es ist weder die Länge angegeben noch der Außenradius. Ich habe auch keinen Ansatz wie man eine solche Aufgabe angehen soll.

    mfg
     
  2. AW: Zylinderkondensator

    Außerdem fehlt die Angabe des Innenradius und der Spannung bzw. der Ladung.

    Ohne diese Angaben lässt sich die Aufgabe nicht lösen. Die müssen irgendwo versteckt sein.

    Im Übrigen wäre mir ein Zylinderkondensator mit einem Durchmesser von 2m oder mehr (abhängig von ra) suspekt und lässt eher auf eine Scherzaufgabe schließen.
     
  3. AW: Zylinderkondensator

    OK dann nehmen wir mal an es liegt eine Spannung von 1000 V an.
    Mir geht es hier vielmehr um das Verständnis solcher Aufgaben.

    Würde sie sich nun berechnen lassen? Und wie müsste der Ansatz aussehen?

    mfg
     
  4. AW: Zylinderkondensator

    Bei 3 Schichten brauchst du die Angabe von 4 Radien: Radius der Innenelektrode, Radius der Außenelektrode und zwei Grenzschichtradien. Eine Radienangabe fehlt also noch.

    Auf die Zahlenwerte habe ich nur reagiert, weil du selber Zahlenwerte vorgegeben hast. Die sind in höchstem Maße unrealistisch. Vor allem auch eine relative Permittivität von 0,5. Die gibt es nicht!

    Lassen wir also mal alle Zahlenwerte weg und nehmen an, es seien alle 4 Radien gegeben (ri, r1, r2 und ra) sowie die Spannung U zwischen Innen- und Außenzylinder, die Länge l und die relativen Permittivitäten der 3 Schichten, und zwar

    Bereich 1: r_i\leq r\leq r_1 mit \epsilon_{r1}

    Bereich 2: r_1\leq r\leq r_2 mit \epsilon_{r2}

    Bereich 1: r_2\leq r\leq r_a mit \epsilon_{r3}

    Gaußscher Flusssatz:

    \oint \vec{D}\, d\vec{A}=Q

    Unter Ausnutzung der Zylindergeometrie wird daraus

    D=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l}

    E=\frac{D}{\epsilon}=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l\cdot\epsilon}

    Daraus folgen die Feldstärkeverläufe in den drei Schichten:

    E_1=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l\cdot\epsilon_1}\qquad\qquad Merkposten für später: \frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E_1\cdot\epsilon_{r1}\cdot r

    E_2=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot  l\cdot\epsilon_2}\qquad\qquad Merkposten für später: \frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E_2\cdot\epsilon_{r2}\cdot r

    E_3=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot  l\cdot\epsilon_3}\qquad\qquad Merkposten für später: \frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E_3\cdot\epsilon_{r3}\cdot r

    Die Spannung U setzt sich additiv aus den Spannungsabfällen über den einzelnen Schichten zusammen:

    U=\int_{ri}^{r1} E_1\, dr +\int_{r1}^{r2} E_2\, dr +\int_{r2}^{ra} E_3\, dr=\int_{ri}^{r1}\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l\cdot\epsilon_1}\, dr+\int_{r1}^{r2}\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l\cdot\epsilon_2}\, dr+\int_{r2}^{ra}\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l\cdot\epsilon_3}\, dr

    Da lässt sich einiges ausklammern:

    U=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}\cdot \left( \frac{1}{\epsilon_{r1}}\int_{ri}^{r1}\frac{1}{r}\, dr+\frac{1}{\epsilon_{r2}}\int_{r1}^{r2}\frac{1}{r}\, dr+\frac{1}{\epsilon_{r3}}\int_{r2}^{ra}\frac{1}{r}\, dr \right) =\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}\cdot \left( \frac{1}{\epsilon_{r1}}\ln{\frac{r_1}{r_i}+\frac{1}{\epsilon_{r2}}\ln{\frac{r_2}{r_1}+ \frac{1}{ \epsilon_{r3}} \ln{ \frac{r_a}{r_2} } \right)

    Der Faktor vor der Klammer lässt sich jetzt wahlweise durch die obigen Merkposten ersetzen, der Klammerausdruck bleibt immer derselbe.

    U=E_1\cdot\epsilon_{r1}\cdot r\cdot\left(  \frac{1}{\epsilon_{r1}}\ln{\frac{r_1}{r_i}+\frac{1}{\epsilon_{r2}}\ln{\frac{r_2}{r_1}+  \frac{1}{ \epsilon_{r3}} \ln{ \frac{r_a}{r_2} } \right)

    Nach E1 aufgelöst ergibt den Feldstärkeverlauf im Bereich 1:

    E_1=\frac{U}{\epsilon_{r1}\cdot r\cdot \left(   \frac{1}{\epsilon_{r1}}\ln{\frac{r_1}{r_i}+\frac{1}{\epsilon_{r2}}\ln{\frac{r_2}{r_1}+   \frac{1}{ \epsilon_{r3}} \ln{ \frac{r_a}{r_2} } \right)

    Entsprechend die Feldstärkeverläufe in den beiden anderen Bereichen:

    E_2=\frac{U}{\epsilon_{r2}\cdot r\cdot \left( \frac{1}{\epsilon_{r1}}\ln{\frac{r_1}{r_i}+\frac{1}{\epsilon_{r2}}\ln{\frac{r_2}{r_1}+    \frac{1}{ \epsilon_{r3}} \ln{ \frac{r_a}{r_2} }\right)

    E_3=\frac{U}{\epsilon_{r3}\cdot r\cdot \left(    \frac{1}{\epsilon_{r1}}\ln{\frac{r_1}{r_i}+\frac{1}{\epsilon_{r2}}\ln{\frac{r_2}{r_1}+    \frac{1}{ \epsilon_{r3}} \ln{ \frac{r_a}{r_2} } \right)
     
  5. AW: Zylinderkondensator

    Ok das war natürlich sehr ausführlich, danke.

    1:)Kann man mit der Formel eqn2230.png also alle 3 Felder berechenen, indem man quasi zuerst ri in r einsetzt, danach r1-ri in r einsetzen usw.?
     
  6. AW: Zylinderkondensator

    Nein, so geht das nicht, denn Du kennst nicht die Spannung über jeder einzelnen Schicht (Zähler). Warum willst Du meine Herleitung nicht nachvollziehen? Das ist die einzige Möglichkeit, ein solches Problem zu lösen.
     

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