z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

Dieses Thema im Forum "Steuerungs- und Regelungstechnik, SPS" wurde erstellt von ggk_alex, 20 Jan. 2013.

  1. Hallo zusammen.

    Es ist mal wieder soweit. Ich steh voll aufm Schlauch.

    Ich habe folgende Funktion, dessen Nenner ich in die Nullstellenform umstelle:

    f(z)=0,9z/(z²-0,1z-0,2)=0,9z/((z-0,5)(z+0,4))

    Der Ansatz der Partialbruchzerlegung muss jetzt lauten:

    f(z)=Az/((z-0,5) )+Bz/((z+0,4))

    Aber wo kommt jetzt das "z" im Zähler hinter A und B her.
    Das hängt wahrscheinlich an den nicht reellen Zahlen, oder?
    Kann mir das bitte jemand erklären?

    Gruß Alex
     
  2. AW: z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

    f(z)=0,9z/(z²-0,1z-0,2)=0,9z/((z-0,5)(z+0,4))

    Der Ansatz der Partialbruchzerlegung muss jetzt lauten:

    f(z) = A/(z-0,5)+B/(z+0,4)

    f(z) = ( A*(z+0,4) + B*(z-0,5) )/((z-0,5)(z+0,4))

    f(z) = ( (A+B)*z +0,4*A -0,5*B )/((z-0,5)(z+0,4))
    -------------------------------------------------

    Koeffizientverhleich mit dem Zähler 0,9*z

    A + B = 0,9
    0,4*A-0,5*B = 0

    A = 0,9-B

    0,4*(0,9-B) -0,5*B = 0

    0,36 -0,4*B -0,5*B = 0

    B = 0,4
    -------

    A = 0,5
    -------

    f(z) = 0,5/(z-0,5) + 0,4/(z+0.4)
    =======================
     
  3. AW: z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

    Hallo Helmuts,

    danke für die Antwort.
    deine Rechnung beschreibt eine normale Partialbruchzerlegung mit nicht komplexen Nullstellen.

    Mein oben beschriebene Ansatz mit Az und Bz ist richtig!
    Meine Frage ist nur, wie lautet die dazugehörige Regel oder Formel, die dies beschreibt.

    Gruß Alex
     
    ggk_alex gefällt das.
  4. AW: z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

    Dein Ansatz mit Az und Bz ist falsch. Das muss hier A und B sein.

    Az+B gibt es, wenn der Nenner 2. Grades ist.
     
  5. AW: z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

    Hängt es vielleicht damit zusammen, dass ich mich im Bildbereich der z-Transformation befinde.
    Vielleicht kommt hier der Faktor "z" hinter A und B her?

    Der Ansatz mit Az und Bz im Nenner hab ich einer Lösung entnommen, die sicher richtig ist!

    Grüße Alex
     
  6. AW: z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

    Hallo helmuts,

    danke dir für deinen Einsatz und deine Bemühungen.
    Werde die Frage mal an meinen Tutor weiterleiten,
    und hoffe das er mir erklären kann, was er sich dabei gedacht hat.

    Ich hatte diese Frage gestellt, da ich der selben Meinung bin wie du,
    und hoffe nun, dass er eine entsprechende Erklärung für mich hat.

    Danke und noch einen schönen Abend.

    Alex
     
  7. AW: z-Rücktransformierte mithilfe der Partialbruchzerlegung

    Hallo zusammen.

    Hier die Erklärung:

    Es handelt sich um die Überlegung die geometrische Reihe zur Transformation zu nutzen.
    Dazu wird die Form z/(z-a) benötigt. In der PBZ kann dazu einfach ein z im Zähler mitangesetzt werden.

    Weiterhin viel Erfolg beim lernen.
    Alex
     

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