Wie müssen a und b gewählt werden ?

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von Dude9, 14 Feb. 2013.

  1. Hallo liebe Mathematik Freunde;-)

    ich hab eine Aufgabe zu lösen bei welcher ich nicht weiß wie ich anfangen soll. k
    Kann mir das jemand erklären???
    hier die Aufgabe:

    Seien a , b > 0 und
    f (x): = \frac{a}{1+bx^{2} }
    ( x ∈ R ) .
    Wie müssen a und b gewählt werden, damit die Tangente an f im Punkt P = < 2, f (2)> eine
    Nullstelle bei x = 4 hat ? Sind a und b eindeutig bestimmt ?
     
  2. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    Ich würde die Tangente t(x)=m*x+c nennen und diese Bedingungen aufstellen:

    t(4)=0
    m=f'(2)
    t(2)=f(2)

    macht 3 Gleichungen für 4 (a,b,c,m) Unbekannte.
    Stell doch das Gleichungssystem mal auf, dann sehen wir weiter.
     
  3. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    Hier eine kleine Animation dazu.
    dude9_01.gif
     
  4. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    Danke erstmal hab jetzt die Gleichungen erstmal aufgestellt:
    1.f(x)=\frac{a}{1+bx^2}
    2.f&#039;(x)=\frac{2bx}{(1+bx^2)^2}
    3.t(x)=mx+n
    4.t(4)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow 0=4m+n
    5.m=f&#039;(2) \ \ \ \ \ \ \  \Rightarrow m=-\frac{4b}{(1+b4)^2
    6.t(2)=f(2) \ \ \ \ \  \  \Rightarrow   m2+n=-\frac{a}{1+b4}

    leider fehlt mir noch der trick wie ich die vier unbekanten auf drei reduzieren kann...
    hab da schon ewig rumgetüfftelt aber ich komme nicht draufo_O
     
  5. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    f (x) =\frac{a}{1+bx^{2} }

    f&#039; (x) =\frac{u&#039;v-uv&#039;}{v^2 }

    u =a

    u&#039; =0

    v =1+bx^{2}

    v&#039; =2bx

    f&#039; (x) =\frac{0-a \cdot 2bx}{(1+bx^{2} )^2 }

    f&#039; (x) = -2ab \cdot \frac{x}{(1+bx^{2} )^2 }
     
  6. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    t(x)=mx+c

    t(4)=0

    m \cdot 4+c =0

     - m \cdot 4 = c


    t(2)=f(2)

    m \cdot 2 + c =\frac{a}{1+b \cdot 2^2}

    m \cdot 2  -m \cdot 4 =\frac{a}{1+b \cdot 2^2}

     - m \cdot 2  = \frac{a}{1+b \cdot 2^2}

    m  =-\frac{a}{2(1+b \cdot 2^2)}

    m  =-\frac{a}{2+8b }
     
  7. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    f&#039; (2) = m

     -2ab \cdot \frac{2}{(1+ b \cdot 2^{2} )^2 }   =-\frac{a}{2+8b }

     2b \cdot \frac{2}{(1+ b \cdot 4 )^2 }   =\frac{1}{2+8b }

     2b \cdot \frac{2}{(1+ 4b  )^2 }   =\frac{1}{2 } \cdot \frac{1}{1+4b }

     2b \cdot \frac{2}{ 1}   =\frac{1}{2 }\cdot\frac{(1+ 4b  )^2}{1+4b }

     4b    =\frac{1}{2 }\cdot\frac{1+ 4b }{1 }

     8b    =1+ 4b

     4b    =1

     b    =\frac{1}{4}
     
  8. AW: Wie müssen a und b gewählt werden ?

    Genial! Danke!
     

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