Verhalten von Gebrochenrationaler Funktion

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von miregal, 31 Jan. 2013.

  1. Hallo liebes Forum,

    da ich mich momentan für eine Matheprüfung vorbereite stelle ich mir folgende Frage:

    Wenn ich bei einer Gebrochenrationalen Funktion Z(x)=0 und N(x)=0 habe, hat die Funktion dort ja eine Lücke.
    Wenn ich diese Funktion in Linearfaktoren schreibe kann ich ja die Lücken herauskürzen, was zu einer "neuen" Funktion f*(x) führt.
    Laut diversen Mathebüchern und Internetseiten hat diese "neue" Funktion die gleichen Eigenschaften wie die "alte" Funktion nur halt keine Definitionslücken mehr.Dies konnte ich auch mit einem Funktionsplotter bei verschiedenen Aufgaben nachweisen (Die Funktion sieht genau so aus, auch die Polstellen bleiben gleich nur die Lücken fehlen).
    Nun kommt meine Frage:

    Kann ich die Funktion f*(x) auch verwenden um das Verhalten an den Polstellen/gegen +00/-00 (00=Unendlich) zu betrachten?
    Kann ich f*(x) auch ableiten um somit die Extremwerte/Wendestellen der Ursprungsfunktion zu bestimmen?

    Wenn f*(x) = f(x) (nur ohne Lücken) ist, dann müsste das doch gehen.

    Vielen Dank im Vorraus.

    Gruß
     
  2. AW: Verhalten von Gebrochenrationaler Funktion

    Eine Funktion f(x) = N(x)/Z(x) hat eine Unstetigkeit an der Stelle a, wenn Z(a) = 0 ist.
    Hat die Funktion N(x) an der Stelle a eine Nullstelle mit gleicher Vielfachheit, dann ist die Unstetigkeit der Funktion f(x) hebbar.

    In der Regel werden alle hebbaren Unstetigkeiten aus einer Funktion entfernt, bevor mit der Funktion 'gearbeitet' wird. Das spart eine Menge Arbeit, wenn sonst immer Grenzwerte gebildet werden müssen um die Funktion oder ihre Ableitungen nahe der hebbaren Unstetigkeiten auszuwerten.
     
  3. AW: Verhalten von Gebrochenrationaler Funktion

    Zumindest geht das nicht immer. Gegenbeispiel: f(x) = (x^4+x^2)/x. Diese Funktion hat keinen Wendepunkt und keine Nullstelle. Die Funktion f*(x) = x^3+x hat dagegen beides.

    Auch hier ist im Allgemeinen Vorsicht geboten. Du kannst recht abstruse Funktionen definieren. Beispiel f(x) = ((x^3+x)*D(x))/D(x), wobei D(x) die Dirichlet-Funktion ist (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion).
    Der Graph der Funktion f*(x) = x^3+x würde im Plotter vermutlich genauso aussehen wie der Graph der Funktion f(x). Aber während f*(x) stetig auf ganz R ist, ist f(x) in allen rationalen Zahlen unstetig (und damit auch nicht differenzierbar) und bei allen irrationalen Zahlen gar nicht definiert.
     

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