Trägheitsmoment Hohlkörper

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabenstellung und bin langsam am Verzweifeln wie ich auf die Lösung komme. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :)

Aufgabe:
Gegeben sei eine Funktion f: [a,b] → [tex] \mathbb{R} [/tex], deren Graph um die x-Achse rotiert. Der entsprechende Rotationskörper sei ein homogener Hohlkörper mit gegebener Flächendichte [tex] \rho [/tex] [kg/m²]. Leiten Sie eine Formel für das Trägheitsmoment dieses Hohlkörpers her und berechnen Sie mit der Formel das Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Radius R, Masse m).

Im Anhang noch einer Skizze von mir.

Liebe Grüße Rene
 

Anhänge

Für mich sieht das recht einfach aus:
Trägheitsmoment J = m*r² mit dm = rho * 2 pi r(x) * dx
mit r gleich y(x) der Kurve
J = 2 pi rho * Int((y(x))³ dx) von a bis b .... Einheit des Ergebnisses kgm²

Habe ich da einen Fehler in meiner einfältigen Überlegung?
 
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Gilt deiner Überlegung für einen Vollkörper oder einen Hohlkörper? Das Ergebnis sollte [tex] \frac{2}{3}*m*R^{2} [/tex] sein.
 
Eigentlich gemäß Fragestellung für einen Hohlkörper:
Kugelhohlkörper: y(x) = sqr(Kugelradius² - x²) mit x = -r bis +r
Integral ergibt 3/8 Pi r^4
J = 3/4 Pi² rho r^4

Kugeloberfläche A = 4 pi r²
Masse rho * 4 pi r²
Dann ist die Formel zu erweitern mit m/(rho * 4 pi r²)

Da muss ich einen Rechenfehler haben, denn das ergibt

J = 3/16 Pi r² m
 
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