Thermodynamik - Auslegung Membran

Hallo liebe Community,

bin absoluter Neuling hier also verzeiht mir bitte wenn das Thema woanders besser aufgehoben gewesen wäre.
Aber ich hoffe ihr könnt mir trotzdem weiterhelfen. ;)
Achtung nun kommt viel Text :D

Ich stehe vor folgender Problematik:

Für die Auslegung einer luftgefüllten Membran muss ich den maximalen Innendruck bei einem auf die Blase auftreffenden Impuls berechnen.

Im Detail gestaltet sich das wie folgt:
Es liegt eine Blasengeometrie vor deren Abmaße ich kenne. Vereinfacht bin ich davon ausgegangen, dass die Blase im voll aufgepumpten Zustand ein Zylinder mit bekanntem Durchmesser und Höhe ist. Dementsprechend hat die komplett leere Blase die Maße eines Rechtecks dessen Seitenlängen Zylinderhöhe und halber Umfang des Zylinders sind.

Weiterhin gehe ich davon aus, dass die Dehnung der Membran vernachlässigbar klein ist. Der Umfang bleibt also konstant. Damit ist die obere Annahme auch erst möglich. Die Blase ist jedoch flexibel also z.B. wie ein Fußball der im nicht aufgepumpten Zustand flexibel ist sich im aufgepumpten Zustand aber nicht sonderlich dehnt.

Weiterhin bekannt sind Innendruck, Temperatur und über die geometrischen Angaben auch das Volumen der eingeschlossenen Luft zu Beginn der Betrachtung.

Nun trifft auf die Blase ein Körper mit bekannter Geschwindigkeit und bekannter Masse. Der eintreffende Impuls ist somit auch bekannt. Vereinfacht trifft der Körper genau in der Mitte der Blase und wird in erster Näherung von einer flachen Platte dargestellt. Als Ersatzmodell ergibt sich meiner Meinung nach die im Bild dargestellte Form. Weiterhin darf die auf den Körper wirkende Verzögerung einen gegebenen Wert a_max nicht überschreiten.

Ersatzmodell.png

Wie gesagt nun benötige ich den sich ergebenden maximalen Innendruck.

Dazu habe ich zwei Lösungsansätze. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich diese so anwenden kann und darf.

Ansatz 1:

Iterativ mit Federkonstante der Luft:

Im Dubbel bin ich auf folgende Formel einer Kolben-Luftfeder gestoßen.

CodeCogsEqn.gif

Dabei sind:

p0 : Ausgangsdruck (bekannt)
A: Fläche auf die Kraft wirkt (über D (siehe Bild) und Zylinderhöhe gegeben)
h0: Ausgangshöhe des eingeschlossenen Volumens (bei voll aufgepumpter Blase ist dies der Zylinderdurchmesser)
s: Eindrücktiefe (wird variiert)
n: Polytropenexponent (isentrop gerechnet -> n = 1,4 für Luft)

Nun habe ich s solange erhöht bis das nach obiger Formel berechnete delta F größer bzw. gleich der sich aus dem Impuls ergebenden quasistatischen Kraft (F=m*a_max) ist. Damit ergibt sich das Volumen in diesem Fall und somit Temperatur und Innendruck (berechnet für isentrope Zustandsänderung). Allerdings bin ich mir nicht sicher ob der Abgleich mit der quasistatischen Kraft so gemacht werden darf.

Ansatz 2:

Energieerhaltung:

Eintreffende Impulsenergie ist gleich der am Volumen verrichteten Arbeit.

Für einen adiabate Zustandsänderung ergibt sich damit:

CodeCogsEqn (2).gif

CodeCogsEqn (1).gif

(ausgehend davon, dass eine am Volumen verrichtete Arbeit mit negativem Vorzeichen versehen wird)

Dabei ist:

m: Masse Einschlagkörper (bekannt)
v: Geschwindigkeit Einschlagkörper (bekannt)
mL: Masse der eingeschlossenen Luft (bekannt)
cV: spezifische Wärmekapazität (bekannt)
T1: Temperatur nach Kompression
T2: Temperatur vor Kompression (bekannt)

Nach T1 gelöst kann ich Volumen und Druck im Zustand 1 berechnen (adiabat). Allerdings vertraue ich dabei meinen Ergebniswerten nicht so ganz.

Zusätzlich muss ich noch eine Betrachtung bei halb aufgeblasener Blase machen. Dementsprechend ist p0 sehr klein und ich gehe von einer dem Ersatzlastfall (siehe Bild) entsprechenden Ausgangsgeometrie aus.

Ich hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen und mir dementsprechend sagen ob und welche Herangehensweise richtig ist. Vielleicht ist auch eine andere Herangehensweise notwendig oder ich habe im Ersatzlastfall einen Denkfehler.

Jedenfalls vielen Dank im Voraus!

Gruß Gaosu :)
 
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