Temperaturabhängigkeit von Widerständen

Hey alle zusammen,

habe ein kleines Problem und ich ich hoffe jemand könnte mir hier helfen.
Und zwar habe ich folgende Aufgabe:
Zwei Widerstände mit den Temperaturkoeffizienten [TEX]\alpha 1[/TEX]= -0,0002 [TEX]\frac{1}{K} [/TEX] und[TEX]\alpha 2[/TEX]= +0,00005 [TEX]\frac{1}{K} [/TEX] (Bezugstemperatur [TEX]\vartheta [/TEX]=20°C) sollen in Parallelschaltung nahezu temperaturunabhängig 1000 [TEX]\Omega [/TEX] ergeben. ->Man soll die Werte der beiden Widersände bei 20°C berechnen.

Leider habe ich auch nach mehrmaligen Probieren und Suchen keinen richtigen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen soll. Auch die Gleichung die ich in meinem Skript habe konnte mir irgendwie nicht richtig weiterhelfen[TEX]R(T) = R(T_{0} )*(1+\alpha *\Delta T )[/TEX]

Als Kontrolllösung habe ich R1=5000 Ohm und R2=1250Ohm



Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte :)
 
So wie Du die Aufgabe beschreibst, kann man nur auf die Lösungswerte kommen, wenn man per Zufall R1 mit 5k oder R2 mit 1250 an nimmt.
Die Gleichung hat 2 Unbekannte, also musst Du für einen der Widerstände einen Wert annehmen.

Gleichung für Parallelschaltung mit zwei Widerständen:

[TEX]Rges=\frac{R1*T1*R2*T2}{R1*T1+R2*T2} [/TEX]

[TEX]T1=1+\alpha 1*\Delta T1=1-0,0002 \frac{1}{K} *20 [/TEX]
[TEX]T2=1+\alpha 2*\Delta T2=1+0,00005 \frac{1}{K} *20 [/TEX]


Umgestellt auf R2:
[TEX]R2=\frac{Rges *T1*R1}{(T1*R1-Rges)*T2 \left( \right) } [/TEX]

R1 Wert annehmen, in die Formel einsetzen und damit hättest Du auch dein R2.
 
Bei 20°
RG = R1*R2/(R1+R2) (1)

Bei beliebiger Temperaturerhöhung dT
RG=R1*(1+a1*dT)*R2*(1+a2*dT)/(R1*(1+a1*dT)+R2*(1+a1*dT)) (2)

Damit die zweite Gleichung unabhängig von der Temperatur wird, muss (2) = (1)

RG = RG
R1*R2*(1+a1*dT)*(1+a2*dT)/(R1*(1+a1*dT)+R2*(1+a2*dT)) = R1*R2/(R1+R2)
(1+a1*dT)*(1+a2*dT)*(R1+R2) = R1*(1+a1*dT)+R2*(1+a2*dT) (4)
R1 +R2 + R1*a1*dT +R2*a1*dT + R1*a2*dT + R2*a2*dT + a1*a2*dT^2*R1 + a1*a2*dT^2*R2 = R1 +R2


R1*a1*dT +R2*a2*dT + a1*a2*dT^2*R1 + a1*a2*dT^2*R2= 0 (5)

R1*a1 +R2*a2 + a1*a2*dT*R1 + a1*a2*dT*R2= 0 (6)

Den Term a1*a2*dT*(R1+R2) vernachlässigen wir. Das können/müssen wir tun da eine exakte Kompensation nur bei einer Temperatur möglich ist. Wir nehmen an, dass das bei 20° sein soll (dT=0°). Alternativ müsste man genau sagen bei welcher Temperaturerhöhung kompensiert werden soll. Dann kann man für dT in (6) eine Zahl einsetzen.

R1*a1 +R2*a2 = 0 (7)

Aus 1:
RG*R1 + RG*R2 = R1*R2
R1*(R2-RG) = RG*R2
R1 = RG*R2/(R2-RG) ( 8 )

8 in 7 einsetzen

RG*R2*a1/(R2-RG) = -R2*a2

RG*R2*a1 = -R2*a2*R2 +R2*RG*a2

RG*a1 = -a2*R2 +RG*a2

R2 = RG*(a2-a1)/a2 (9)

a1 = -0,0002
a2 = +0,00005
RG = 1kOhm

Mit (9)
R2 = 1kOhm*5 = 5kOhm

Mit ( 8 )
R1 = 1k*5k/(5k-1k) = 1250Ohm
 
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