Temperatur berechnen

Hallo, ich habe ein Problem mit der Berechnung/Simulation von Temperatur.
zunächst soll es möglichst einfach gehalten werden.
Ich habe ein bestimmtes Volumen von Wasser (9Liter) in diesem Behälter ist eine Heizung (1000W) und das Wasser wird erhitzt.
Nun habe ihc die Formel
[tex]P=\frac{W}{t} [/tex]
[tex]W=m\cdot c_{P} \cdot dT=m\cdot c_{P} \cdot (T_{2} -T_{1} )[/tex]
Umgestellt nach T2
[tex]T_{2}=T_{1}+\frac{P\cdot t }{m\cdot c_{P} } [/tex]
T1 setze ich mein T0=(15+273.15)K
P=1000W
t=simulationszeit
m=9kg
cp=1480J/(Kg*K)
Jetzt bekomme ich eine Gerade heraus. meine Messung zeigt aber, dass mit zunehmender Zeit die Temperaturänderung langsamer wird. d.H ich bekomme eine abklingende Kurve. Wie kann ich das denn in meiner gleichung berücksichtigen?

besten gruß
 
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Besser noch (da die Heizung nicht immer bei null sekunden anspringt)
Ich berechne [tex]\frac{P}{m\cdot c_{P} } [/tex] und Integriere das ergebnis von 0 bis t und addiere dann meine anfangstemperatur darauf. Aber das Problem, dass es eine gerade ist, bleibt dabei immer noch
 
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Vermutlich gibt es im Experiment Effekte, die in der Rechnung nicht berücksichtigt sind.

Mögliche Ursachen:
- Der Wärmekontakt des Behälters zur Umgebung kann nicht vernachlässigt werden.
- Aus dem Behälter verdampft Wasser.
 
AW: Temperatur berechnen

Wie kann ich das denn in meiner gleichung berücksichtigen?
Mit steigender Temperatur steigen auch die Energieverluste. In erster Näherung könnte man dies linear modellieren - also die (wirksame) Heizenergie sinkt mit steigender Temperatur. Sieht nach einem DGL - Ansatz aus und das AWP ermittelt man experimentell.

Mit etwas weniger Mathekenntnissen kann man auch einige Messpunkte aufnehmen und mit einer Polynomfunktion modellieren.

Alternativ eine e-Funktion - das wird vermutlich realitätsnäher. Die kann man auch mit einer Korrelation in eine grossere Zahl von Messwerten reinbringen, ohne die Funktion zu verkomplizieren, was bei Polynom-Modellierungen einer der Nachteile ist.
 
AW: Temperatur berechnen

Also ich denke mit einer DGL wäre ich auf jeden fall auf dem richtigen weg. allerdings weiss ich noch nicht so ganz, wie ich die aufstellen muss.
Später wird ja noch hinzukommen, dass Wasser entnommen wird oder kaltes Wasser hinzugefügt wird. Die Heizung wird bei einer Temperatur von ca. 60°C abgeschaltet. also wasser wird eher weniger verdampfen. (wäre aber ansonsten auch ne möglichkeit) obwohl dann müsst es doch schneller gehen oder? egal
 
AW: Temperatur berechnen

Wenn da Wasser zu und abgeht, muss man wohl mehrere Funktionen überlagern.

Ich würde mal die Abkühlkurve von dem Behälter aufnehmen und daraus die Funktion modellieren, welche die relative Temperatursenkung in Abhängigkeit von der absoluten Temperatur darstellt.

Die Heizung ist vermutlich als linear anzunehmen und der Wasseraustaus (warm raus-kalt rein) ist wohl auch ziemlich glatt.
 
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Ich habe jetzt mal DGL aufgestellt und komme auf zwei Ergebnisse, weiss aber nicht, welche richtig ist
[tex]\dot{Q} _{zu}=\dot{Q} _{HZG}- \dot{Q} _{Ver}[/tex]
mit
[tex]\dot{Q} _{HZG}=1000W[tex]
[tex]\dot{Q} _{Ver}=T_{umg}+(T_{2}-T_{umg})\cdot e^{-k\cdot t} [/tex]
[tex]\dot{Q} _{Ver}=T_{umg}+(T_{2}-T_{umg})\cdot e^{\int_{0}^{t}-k } [/tex]
wobei Qpunkt_zu die zugefügte leistung ist, Qpunkt_HZG die von der Heizung aufgebrachte Leistung (1000W) und Qpunkt_ver die Verlustleistung
k=festger wert
T_umg=umgebunstemperatur
[tex]\dot{Q} _{zu}=\frac{m\cdot c\cdot (T_{2}-T_{0}) }{t} [/tex]
m=7liter=7Kg=konstant (zunächst)
c=4180J/(Kg*K)
also bekomme ich
[tex]T2=T0+\int_{0}^{t} \frac{\dot{Q} _{zu}(t) }{m\cdot c} [/tex]
Ersetze ich jetzt Qpunkt_zu mit Qpunkt_HZG-Qpunkt_ver erhalte ich
[tex]T2=T0+\int_{0}^{t} \frac{\dot{Q} _{HZG}(t)-T_{umg}+(T2(t)-T_{umg}\cdot e^{\int_{0}^{t}-k } }{m\cdot c} [/tex]

Ist diese Gleichung richtig?

Wenn ich das Modell nach folgneder GLeichung aufstelle
[tex]T_{2}(t)=T_{0}+\int_{0}^{t}\frac{\dot{Q} _{HZG} }{m\cdot c } dt - \left( T_{umg}+(T_{2}-T_{umg})\cdot e^{-k\cdot t} \right) [/tex]

sieht die Simulation ein wenig besser aus. kann mir da jemand weiterhelfen, ob ich vielleicht irgendwo einen Fehelr habe?
 
AW: Temperatur berechnen

Ich habe meinen Fehler selber gefunden
[tex]T_{umg} +(T_{2} -T_{umg})\cdot e^{-k\cdot t} [/tex]
ist ja gar keine Leistung (Qpunkt) sondern eine Versluttemperatur
also rechne ich
[tex]T_{2}=T_{0}+\int_{0}^{t}\frac{\dot{Q}(t) }{m\cdot c} dt-T_{umg}-(T_{2}(t)-T_{umg})\cdot e^{\int_{0}^{t}-k dt } [/tex]
 
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