Systemtheorie - Zustandsraumdarstellung Pendel

A

Azurox

Hallo zusammen,

hänge gerade an einer Aufgabe mit Thematik Zustandsraumdarstellung fest... Hab das ganze mal aufgeschrieben und eingescannt. Mein Lösungsweg sollte eigentlich klar zu erkennen sein. Allerdings weicht meine Lösung von der Musterlösung (steht unten drunter) ab.

Vielleicht kann mir einer sagen wie man in der Zustandsraumdarstellung in der Matrix A auf das Element -g/l kommt. Wenn ich das rücksubstituiere, so wie es in der Musterlösung gegeben ist, müsste der Winkel ja gleich dem sinus vom selbigen entsprechen? Verstehe ich irgendwie garnicht.

Vielleicht kann mir da jemand mal auf die Sprünge helfen. Danke!

CCF07092017_00000.jpg
 
A

Azurox

Hi,

danke für die schnelle Antwort. Gibts da ne ungefähre Richtlinie bis wann man diese Annahme treffen kann/darf?
Und wie wäre die Lösung denn für große Winkel? Wäre meine Lösung dann korrekt? Bin mir da nicht ganz sicher mit dem hinteren Term, weil dieser ja selbst vom Winkel Phi abhängig ist.
 
fy2

fy2

Wie war denn die Aufgabenstellung?

Wie du selbst herausgefunden hast, ist das Zustandsraummodel nicht linear.
Deshalb linearisiert man das Model. Dadurch kann man dann nur noch kleine Änderungen um die Linearisierung berechnen.
 
A

Azurox

Bei der ursprünglichen Aufgabenstellung war einfach die DGL der 2. Ordnung gegeben und im Anschluss daran sollten die Zeitverläufe für Beschleunigung und Geschwindigkeit der Masse sowie Auslenkwinkel Phi mit dem expliziten Euler berechnet werden bzw. die Formeln dafür aufgestellt werden. Dazu angegeben waren noch, dass die Länge des Pendels 1m ist, keine Anfangsgeschwindigkeit (also V=0) und Winkel Phi0. Eine Lösung dazu liegt mir aber nicht vor.

Wenn ich mit der Näherung x = sin(x) rechne heißt das dann, dass ich die Schrittweite einfach nur klein genug wählen muss damit diese gilt? Oder darf ich die Näherung nur bis zu einem bestimmten Auslenkwinkel Phi0 anwenden?

Wenn ich das richtig sehe, ist die DGL 2. Ordnung, also für die Beschleunigung der Masse, ja eigentlich schon gelöst, oder? Da müsste ich ja dann nur noch Winkel einsetzen. Die Beschleunigung durch die Gewichtskraft ist ja so gesehen abhängig vom Ort an dem die Masse sich befindet.
 
D

Derek25

Zitat von Azurox:
Wenn ich mit der Näherung x = sin(x) rechne heißt das dann, dass ich die Schrittweite einfach nur klein genug wählen muss damit diese gilt? Oder darf ich die Näherung nur bis zu einem bestimmten Auslenkwinkel Phi0 anwenden?
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Die Nährung ist eigentlich eine Linearisierung um den Arbeitspunkt. sin(x)=x kommt aus der Taylor-Entwicklung von sin(x) um den Arbeitspunkt 0 und ist dern Abbruch nach dem ersten (linearen) Glied. Die Nährung gilt nur in einem sehr kleinen Bereich x<<1. Die Fehlerabschätzung kann man auch mit irgendwelchen Ableitungen berechnen. Wenn du danach suchst, findet sich schnell die Formel.
 
A

Azurox

Hallo,

ja so hätte ich es auch verstanden. Danke.
Aber wie sieht die Zustandsraumdarstellung dann aus, wenn ich das ganze, sagen wir für einen Winkel von 45° berechnen möchte? Die Berechnung für Winkel kleiner 1° ist ja allgemein gesehen eher uninteressant.

Danke!
 
fy2

fy2

Zitat von Azurox:
Aber wie sieht die Zustandsraumdarstellung dann aus, wenn ich das ganze, sagen wir für einen Winkel von 45° berechnen möchte?
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Dann nimmst du das nicht lineare Modell.
[TEX]\begin{pmatrix} \dot{\varphi} \\ \dot\omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega \\ -\frac{g}{l}\cdot sin(\varphi) \end{pmatrix}\\ y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \varphi \\ \omega \end{pmatrix}[/TEX]
 
A

Azurox

Zitat von GvC:
Das kommt ganz darauf an, welchen Fehler Du noch für akzeptabel hältst. Bei 10° ist der relative Fehler ungefähr 0,5%, bei 20° ungefähr 2%, bei 45° allerdings bereits 10%
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Macht Sinn. Kommt also immer ein bisschen auf die Aufgabenstellung drauf an. Danke ;)

Zitat von fy2:
Dann nimmst du das nicht lineare Modell.
[TEX]\begin{pmatrix} \dot{\varphi} \\ \dot\omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega \\ -\frac{g}{l}\cdot sin(\varphi) \end{pmatrix}\\ y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \varphi \\ \omega \end{pmatrix}[/TEX]
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Ist auch logisch, ja. Also passt dann die Zustandsraumdarstellung die ich soweit selbst aufgestellt habe (siehe Eingangspost)? Ich war mir nicht ganz sicher wie ich das aufzuschreiben habe, weil der Sinus ja selbst nochmal den Auslenkungswinkel enthält. Oder ist das, was du geschrieben hattest

[TEX]\begin{pmatrix} \dot{\varphi} \\ \dot\omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega \\ -\frac{g}{l}\cdot sin(\varphi) \end{pmatrix} [/TEX]

die komplette Zustandsraumdarstellung? Wobei dort ja dann nicht die übliche Form mit Systemmatrix, Eingangsvektor, usw auftaucht.
 

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