Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von MrBitt, 5 Feb. 2013.

  1. Der Strom i3 wird gesucht. Ich habe es über den Knotenpunktsatz zu lösen. Ist aber falsch so, oder?

    Zu 1.1 In Allgemeinerform

    0 = I1 - I2 - I3
    0 = U1/R1 - U2/R2 - I3*1/R3
    I3 = (U1/R1 - U2/R2) * R3

    zu 1.2 Mit Zahlen

    I3 = (U1/R1 - U2/R2) * R3
    I3 = (40/60 - 30/30) * 20 = -6,67A
     

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    #1 MrBitt, 5 Feb. 2013
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 5 Feb. 2013
  2. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    0 = I1 - I2 - I3 ... ok.

    0 = (U1/R1 - U2/R2 - I3)/R3 ... an R1 fällt NICHT U1 ab, an R2 fällt NICHT U2 ab, warum /R3 ?

    I3 = (U1/R1 - U2/R2) * R3 ... das kann sich mit den Einheiten gar nicht ausgehen: [A] = [V] ???
     
  3. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Ich dachte I1=U1/R1 ..... Hmm wie würdest du I1 definieren? Ja stimmt mit den Einheiten funktioniert so nicht :)
     
  4. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Das Knotenpotentialverfahren finde ich unnötig bei nur 2 Knotenpunkten.


    Ich habe jetzt mal auf die schnelle die Kirschhoffschen Gesetze angewandt,
    wenn kein Flüchtigkeitsfehler drin ist, sollte das richtig sein.

    Knotengleichung

    I_{1} -I_{2} -I_{3} =0


    2 Maschengleichungen

    -I(1)R(1) + 0 - I(3)R(3) = -U(1)

    0 -I_{2}R_{2} + I_{3}R_{3} = -U_{2}


    Matrizenschreibweise

    \left[ \begin{matrix}1 & -1 & -1 \\ -R_{1} & 0 & -R_{3} \\ 0 & -R_{2} & R_{3} \end{matrix} \right]

    \left[ \begin{matrix} I_{1}\\ I_{2}  \\ I_{3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0\\ -U_{1}  \\ -U_{2} \end{matrix} \right]


    Ergebnisse:

    I_{1}= 0,7222
    I_{2}= 0,888
    I_{3}= - 0,166
     
    #4 Jaden, 5 Feb. 2013
    Zuletzt bearbeitet: 5 Feb. 2013
  5. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Denken "die Anderen" auch dass es so korrekt ist?
     
  6. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Das Ohmsche Gesetz funktioniert NICHT,
    wenn man nur IRGENDEINE Spannung durch IRGENDEINEN Widerstand dividiert;
    das muss schon die Spannung sein, die DIREKT An dem Widerstand anliegt!

    Wie das Knotenpunktverfahren funktioniert, weiss ich nicht
    (oder hab´s gar nicht gelernt oder schon vergessen),
    aber lass mich´s mal versuchen:

    I1 = I2 + I3... das hatten wir schon.

    I1 = Ur1 / R1 ... Ur1 = Spannung an R1
    Ur1 = U1 - Ur3

    I2 = Ur2 / R2
    Ur2 = U2 + Ur3 ... Beachte die angenommenen Stromrichtungen!

    Ur3 = R3 * I3
    I3 = I1 - I2 ... oben einsetzen:
    Ur3 = R3 * (I1 - I2) ... für I1 und I2 einsetzen:
    Ur3 = R3 * (Ur1 / R1 - Ur2 / R2)
    Ur3 = Ur1 * R3/R1 - Ur2 * R3/R2

    Damit hamma 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten:
    Ur1 = U1 - Ur3
    Ur2 = U2 + Ur3
    Ur3 = Ur1 * R3/R1 - Ur2 * R3/R2
    ... schreit nach Substitutionsverfahren, nicht?
    Ur3 = (U1 - Ur3) * R3/R1 - (U2 + Ur3) * R3/R2 ... U3 freistellen:
    Ur3 = U1*R3/R1 - Ur3*R3/R1 - U2*R3/R2 - Ur3*R3/R2
    Ur3 + Ur3*R3/R1 + Ur3*R3/R2 = U1*R3/R1 - U2*R3/R2
    Ur3 * (1 + R3/R1 + R3/R2) = U1*R3/R1 - U2*R3/R2 ... der Übersicht halber mit Zahlen bestücken:
    Ur3 * (1 + 20/60 + 20/30) = 40*20/60 - 30*20/30
    Ur3 = - 3,333 V ... d.h. der I3 fließt andersrum wie angenommen.

    I3 = Ur3 / R3 = -167 mA

    I1
    = (U1 - Ur3) / R1 = 722 mA

    I2 = I1 - I3 = 888 mA

    ... Onkel Ohm und Onkel Kirchhoff machen´s möglich! :D
    (Ich war noch nie ein Freund der Matritzen. :()



    P.S.: Alles über das Knotenpunktverfahren findest du hier,
    aber ob man damit Ströme berechnen kann,
    bezweifle ich mahr als ernsthaft!
     
  7. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Zumindest EIN anderer denkt´s! :LOL:
     
    derschwarzepeter gefällt das.
  8. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Und wieso sträubt man sich hier so sehr gegen das Knotenspannungsverfahren, obwohl es doch nur die Lösung einer Knotenpunktgleichung (mehr unabhängige Knoten gibts ja nicht) und die Kenntnis des Überlagerungssatzes erfordert?

    Knotenpunktgleichung für den oberen Knoten (ich nenne ihn mal A)

    U_A\cdot\left( \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3} \right) =\frac{U_1}{R_1}-\frac{U_2}{R_2}

    Wenn man hier die gegebenen Größen einsetzt, erhält man innerhalb einer Zeile die Knotenspannung

    U_A=-\frac{10}{3}V

    Der Strom I3, der ja als einziger erfragt ist ergibt sich dann nach ohmschem Gesetz zu

    I_3=\frac{U_A}{R_3}

    Das Einsetzen der Zahlenwerte spare ich mir jetzt.

    Der Vollständigkeit halber lassen sich jetzt auch noch die beiden anderen Ströme, obwohl nicht gefragt, per ohmschem Gesetz und Überlagerungssatz bestimmen zu

    I_1=\frac{U_1-U_A}{R_1}

    I_2=\frac{U_A+U_2}{R_2}

    und erhält genau die richtigen Ströme, wie sie auch von Jaden und derschwarzepeter bereits bestimmt wurden.

    Es lohnt sich durchaus, sich die verschiedenen Netzwerkberechnungsverfahren zu verinnerlichen. Dann kann man je nach Aufgabenstellung das sinnvollste Verfahren anwenden. Ich hätte mich beispielsweise bei er vorliegenden Aufgabe für das Ersatzquellenverfahren entschieden, da nur der Strom in einem Zweig gesucht ist. Also bestimme ich die Ersatzquelle bzgl. dieses Zweiges und favorisiere die am einfachsten zu bestimmende Ersatzstromquelle mit

    R_i=R_1||R_2=60\Omega||30\Omega=20\Omega

    I_k=\frac{U_1}{R_1}-\frac{U_2}{R_2}=\frac{2}{3}A-1A=-\frac{1}{3}A

    Dann lässt sich der gesuchte Strom ganz einfach per Stromteilerregel bestimmen zu

    I_3=I_k\cdot\frac{R_i}{R_i+R_3}=-\frac{1}{3}A\cdot\frac{20}{20+20}=-\frac{1}{6}A=-0,1667A

    Wie man sieht, kommt man mit diesem Verfahren innerhalb von drei Zeilen zum Ergebnis, genauso wie mit dem Knotenspannunsgverfahren.
     
  9. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Klasse! Vielen Dank euch allen! Interessant zu sehen, dass man mit unterschiedlichen Wegen die gleichen Ergebnisse erzielt :)
     
  10. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Na Gott-sei-dank kommen wir auf die gleiche Ergebnisse
    Wir sind ja keine Maschinenbauer! :D

    Aber um ganz ehrlich zu sein,
    versteh ich die Lösung nach dem Knotenspannungsverfahren nicht:
    GvC, bitte sei so gut und erklär uns das nochmal!

    P.S.: Ich hätt´s auch mit der Ersatzstromquelle gelöst.
     
  11. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Ich bin zwar nicht GVC aber, ich kann versuchen es dir zu erklären.

    Du gehst da folgendermaßen vor.

    1. Alle Spannungsquellen in äquivalente Stomquellen umwandeln, Widerstände als Leitwert ausdrücken
    2. Den unteren Knoten als Bezugsknoten (=0) annehmen
    3. Nun existiert noch der eine Knoten, diesen betrachtest du.

    Würdest du nun eine Knotengleichung aufstellen und in der Matrixschreibweise ausdrücken, dann
    gehst du folgendermaßen vor

    Leitwertmatrix aufstellen.

    1. Hauptdiagonale: Yxx = Summe der Leitwerte, die mit Knoten x verbunden sind.
    2. Nebendiagonale: Yxy = negativer Leitwert zwischen Knoten x und y. Sind Knoten x und y nicht direkt miteinander verbunden, 0 in die Matrix eintragen.
    3. Rechte Seite: Ix = Quellenströme, die in Knoten x hinein- oder herausfließen. Vorzeichen: positiv, wenn der Strom in den Knoten fließt, negativ wenn er hinausfließt.

    In diesem Beispiel:
    1. Summe der Leitwerte an dem Knotenpunkt: \frac{1}{R_{1} } +\frac{1}{R_{2} } +\frac{1}{R_{3} }
    2. Einen zweiten betrachteten Knoten gibt es in diesem Fall nicht.
    3. Quellenströme für die Rechte Seite: \frac{U_{1} }{R_{1} } (positiv, da nach der Umwandlung in Knotenpunkt fliesend) / \frac{U_{2} }{R_{2} } (negativ, da nach der Umwandlung aus Knotenpunkt fliesend)


    Nach Einsetzen der Werte, hast du die Spannung zwischen den beiden Knotenpunkten und kannst dann das Ohmsche Gesetz anwenden.

    Hoffe ich konnte es etwas verständlich auf die schnelle erklären.

    Lieben Gruß
    Jaden
     
    #11 Jaden, 6 Feb. 2013
    Zuletzt bearbeitet: 6 Feb. 2013
  12. AW: Strom mit Knotenpunktsatz bestimmen

    Die Erklärung von Jaden ist richtig, aber ist die eines "Kochrezeptes". Um das zum Verstehen ausreicht?

    Wichtig ist, sich klarzumachen, dass das Knotenspannungsverfahren auf einer Auswertung von Knotengleichungen und dem Überlagerungssatz basiert (so wie das Maschenstromverfahren auf einer Auswertung von Maschengleichungen und dem Überlagerungssatz basiert).

    Der Knotenpunktsatz besagt: Die Summe aller (vorzeichenbehafteten) Zweigströme an einem Knoten ist Null.

    Eingedenk des Überlagerungssatzes kann man auch sagen: Die Summe aller (vorzeichenbehafteten) Teilströme ist Null.

    Dabei sind die Teilströme die Ströme, die von den einzelnen Ursachen in den einzelnen Zweigen erzeugt werden.

    Die Ursachen sind Spannungen, die immer einen Strom U*G erzeugen, wobei G der Leitwert des Zweiges ist, in dem dem die Ursache wirksam ist. Weitere Ursachen sind Stromquellen. Bei denen ist die Sache klar, deren eingeprägte Ströme werden vorzeichenrichtig beim Knotenpunktsatz berücksichtigt.

    Im vorliegenden Fall erzeugt die Knotenspannung UA Teilströme in die angrenzenden Zweige hinein, also alle vom Knoten wegfließend, also positiv zu zählen (man kann sie auch negativ zählen, nur muss man dann die zufließenden Ströme positiv zählen).

    Die Spannung UA schickt in den linken Zweig den Teilstrom UA*G1, in den rechten Zweig den Teilstrom UA*G2, in den mittleren Zweig den Teilstrom UA*G3.

    Die Spannung U1 erzeugt einen Teilstrom U1*G1 zum Knoten A hin (negativ), die Spannung U2 erzeugt entsprechend ihrer Polarität einen Teilstrom U2*G2 vom Knoten A weg (positiv).

    Die Summe aller Teilströme ist Null. Zur Auswertung der Gleichung (bei mehreren Knoten wären es natürlich mehrere Knotengleichungen) ist es sinnvoll, die unbekannten Größen auf die linke Seite der Gleichung zu schreiben und die eingeprägten Größen auf die rechte. Beim Verschieben auf die rechte Seite ist natürlich das Vorzeichen umzukehren.

    Auf diese Art und Weise entsteht die von mir aufgeschriebene Knotengleichung, die man direkt aus der Schaltung ablesen kann. Die Auflösung nach UA ist trivial.

    Zur Berechnung der Zweigströme erinnere man sich an den Überlagerungssatz, der ja schon die ganze Zeit angwendet wurde. Danach ergibt sich ein Zweigstrom als Überlagerung aller der in diesem Zweig erzeugten Teilströme. Das sind im linken Zweig die Teilströme UA*G1 vom Knoten weg und U1*G1 zum Knoten hin. Da der Strom I1 zum Knoten hin positiv definiert ist (siehe Schaltskizze) ergibt er sich also als I1=U1*G1-UA*G1=(U1-UA)*G1. In den anderen Zweigen entsprechend.
     

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