Strömungslehre

Hallo,

häng mal wieder an einer Übungsaufgabe fest.

Aufgabe:
Eine Flasche wird mit Hilfe eines Trichters mit Flüssigkeit gefüllt. Das einströmende Flüssigkeitsvolumen V verdrängt ein gleich großes Luftvolumen aus der Flasche, welches durch die kreisringförmige Fläche [tex]A_{L} [/tex]
zwischen Trichter und Flaschenhals mit der Geschwindigkeit [tex]w_{L} [/tex]
ausströmt. Zum Aufbau der Geschwindigkeit [tex]w_{L} [/tex] ist ein gewisser Überdruck [tex]\Delta \rho [/tex] in der Flasche erforderlich, welcher seinerseits die Wasserströmung [tex]w_{F} [/tex] behindert. Man ermittle die allgemeine Formeln für
[tex]\Delta P =f(h,\rho _{L},\rho _{F},a=A_{L}/A_{F}) [/tex]

und

[tex]V=f_{1}(h,\rho _{F},\rho _{L},a) [/tex]


Als Lösung kommt Folgendes heraus:

[tex]\Delta p=\frac{gh\rho _{L} }{(a^2+\frac{\rho _{L} }{\rho _{F} }) } [/tex]


[tex]V=A_{L}*\sqrt{\frac{2gh}{(a^2+\frac{\rho _{L} }{\rho _{F} }) } } [/tex]

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AW: Strömungslehre

Vereinfachungen:

- Reibungen (an den Wänden, zwischen den Strömungen, in den Strömungen) werden vernachlässigt.

- Die Strömungsgeschwindigkeit ist langsam (verglichen mit der Schallgeschwindigkeit) und der Differenzdruck ist klein (verglichen mit dem äußeren Luftdruck), daher kann die Dichte der Luft als konstant angenommen werden.

- Die Oberfläche der Flüssigkeit oben im Trichter ist groß (verglichen mit der Fläche unten), daher kann die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit an der oberen Fläche vernachlässigt werden.

- Die Änderung der Höhe h ist langsam, die Strömungen können stationär beschrieben werden, also die Strömungsgeschwindigkeit sind unabhängig von der Zeit.

- Die Höhe h ist so klein, dass der Druck der Luftsäule der Höhe h vernachlässigt werden kann (gegenüber dem äußeren Luftdruck). Der äußere Luftdruck auf den oberen Flüssigkeitsspiegel ist gleich dem äußeren Luftdruck auf die Flasche.


Der äußere Luftdruck ist [tex] p_a [/tex].

Der Luftdruck in der Flasche ist um [tex]\Delta p [/tex] größer. Der Luftdruck in der Flasche ist
[tex] p_i = p_a + \Delta p [/tex].

Die Flüssigkeit strömt mit der Geschwindigkeit [tex] w_F [/tex] in die Flasche durch den Öffnungsquerschnitt des Trichters [tex] A_F [/tex].

Die Luft strömt mit der Geschwindigkeit [tex] w_L [/tex] aus der Fläche durch die Fläche [tex] A_L [/tex].

Das Volumen der Flasche ist konstant. Der Volumenstrom der Flüssigkeit in die Flasche ist gleich dem Volumenstrom der Luft aus der Flasche.
[tex] A_F \, w_F = A_L \, w_L [/tex]

[tex] \frac{ w_F }{ w_L } = \frac{ A_L }{ A_F } [/tex]
Die vorgegebene Abkürzung
[tex] \frac{ A_L }{ A_F } = a [/tex]
verwenden
[tex] \frac{ w_F }{ w_L } = a [/tex]

[tex] w_L = \frac{ w_F }{ a } [/tex] (1)

Die Strömung der Flüssigkeit und die Strömung der Luft sind stationäre Strömungen eines inkompressiblen Fluids. Die Bernoulli-Gleichung gilt für beide Strömungen (unabhängig voneinander).
[tex] p + \frac{\rho \, w^2}{2} + \rho \, g \, h = const. [/tex]
mit dem statischen Druck p, Fluiddichte rho, Strömungsgeschwindigkeit w, Fallbeschleunigung g, Höhe h.

Bernoulli-Gleichung für die Flüssigkeit verwenden. Beim oberen Flüssigkeitsspiegel im Trichter ist der statische Druck [tex] p_a [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit ist 0, die Höhe ist h.
Beim Austritt aus dem Trichter ist der statische Druck [tex] p_i [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit [tex] w_F [/tex], die Höhe 0.
[tex] p_a + \rho_F \, g \, h = p_i + \frac{\rho_F \, w_F^2}{2} [/tex]

[tex] p_a + \rho_F \, g \, h = p_a + \Delta p + \frac{\rho_F \, w_F^2}{2} [/tex]

[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p + \frac{\rho_F \, w_F^2}{2} [/tex] (2)

Bernoulli-Gleichung für die Luft verwenden. Unten in der Flasche ist der statische Druck [tex] p_i [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit 0. Oben am Flaschenhals ist der statische Druck [tex] p_a [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit [tex] w_L [/tex].
[tex] p_i = p_a + \frac{\rho_L \, w_L^2}{2} [/tex]

[tex] p_a + \Delta p = p_a + \frac{\rho_L \, w_L^2}{2} [/tex]

[tex] \Delta p = \frac{\rho_L \, w_L^2}{2} [/tex]
Auflösen nach der Strömungsgeschwindigkeit.
[tex] w_L^2 = \frac{2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex] (3)
Zusammenhang zwischen den Strömungsgeschwindigkeit (1).
[tex] \frac{ w_F^2 }{a^2} = \frac{2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]

[tex] \frac{ w_F^2 } = \frac{2 \, a^2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]
Diese Gleichung in (2) einsetzen.
[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p + \frac{\rho_F }{2} \frac{2 \, a^2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]

[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p + \frac{\rho_F \, a^2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]
Auflösen nach der Druckdifferenz.
[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p \left( 1 + \frac{\rho_F \, a^2 }{ \rho_L } \right) [/tex]

[tex] \Delta p = \frac{\rho_F \, g \, h }{ 1 + \frac{\rho_F \, a^2 }{ \rho_L } } [/tex]

[tex] \Delta p = \frac{\rho_L \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } [/tex]
Die gesuchte Gleichung für die Druckdifferenz.

Diese Gleichung einsetzen in (3)
[tex] w_L^2 = \frac{2 }{ \rho_L } \frac{\rho_L \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } [/tex]

[tex] w_L^2 = \frac{ 2 \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } [/tex]

[tex] w_L = \sqrt{ \frac{ 2 \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } } [/tex]
Der Volumenstrom
[tex] \dot{V} = A_L \, w_L [/tex]

[tex] \dot{V} = A_L \sqrt{ \frac{ 2 \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } } [/tex]
Die gesuchte Gleichung für den Volumenstrom.
 
Hi zusammen,

ich bin ebenfalls auf diese Aufgabe gestoßen (Technische Strömungslehre Böswirth). Das oben bereits gelöste war Punkt a) ich allerdings kann b) nicht lösen.

Ab welchem Flächenverhältnis a(quer) wird der Flüssigkeitsdurchfluss
um mehr als 10 % reduziert (verglichen
mit Verhältnissen, wo AL >> AF, d. h. a >> 1)?


Die Lösung ist 0,0723.

Wär super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Gruß
 
AW: Strömungslehre

Vereinfachungen:

- Reibungen (an den Wänden, zwischen den Strömungen, in den Strömungen) werden vernachlässigt.

- Die Strömungsgeschwindigkeit ist langsam (verglichen mit der Schallgeschwindigkeit) und der Differenzdruck ist klein (verglichen mit dem äußeren Luftdruck), daher kann die Dichte der Luft als konstant angenommen werden.

- Die Oberfläche der Flüssigkeit oben im Trichter ist groß (verglichen mit der Fläche unten), daher kann die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit an der oberen Fläche vernachlässigt werden.

- Die Änderung der Höhe h ist langsam, die Strömungen können stationär beschrieben werden, also die Strömungsgeschwindigkeit sind unabhängig von der Zeit.

- Die Höhe h ist so klein, dass der Druck der Luftsäule der Höhe h vernachlässigt werden kann (gegenüber dem äußeren Luftdruck). Der äußere Luftdruck auf den oberen Flüssigkeitsspiegel ist gleich dem äußeren Luftdruck auf die Flasche.


Der äußere Luftdruck ist [tex] p_a [/tex].

Der Luftdruck in der Flasche ist um [tex]\Delta p [/tex] größer. Der Luftdruck in der Flasche ist
[tex] p_i = p_a + \Delta p [/tex].

Die Flüssigkeit strömt mit der Geschwindigkeit [tex] w_F [/tex] in die Flasche durch den Öffnungsquerschnitt des Trichters [tex] A_F [/tex].

Die Luft strömt mit der Geschwindigkeit [tex] w_L [/tex] aus der Fläche durch die Fläche [tex] A_L [/tex].

Das Volumen der Flasche ist konstant. Der Volumenstrom der Flüssigkeit in die Flasche ist gleich dem Volumenstrom der Luft aus der Flasche.
[tex] A_F \, w_F = A_L \, w_L [/tex]

[tex] \frac{ w_F }{ w_L } = \frac{ A_L }{ A_F } [/tex]
Die vorgegebene Abkürzung
[tex] \frac{ A_L }{ A_F } = a [/tex]
verwenden
[tex] \frac{ w_F }{ w_L } = a [/tex]

[tex] w_L = \frac{ w_F }{ a } [/tex] (1)

Die Strömung der Flüssigkeit und die Strömung der Luft sind stationäre Strömungen eines inkompressiblen Fluids. Die Bernoulli-Gleichung gilt für beide Strömungen (unabhängig voneinander).
[tex] p + \frac{\rho \, w^2}{2} + \rho \, g \, h = const. [/tex]
mit dem statischen Druck p, Fluiddichte rho, Strömungsgeschwindigkeit w, Fallbeschleunigung g, Höhe h.

Bernoulli-Gleichung für die Flüssigkeit verwenden. Beim oberen Flüssigkeitsspiegel im Trichter ist der statische Druck [tex] p_a [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit ist 0, die Höhe ist h.
Beim Austritt aus dem Trichter ist der statische Druck [tex] p_i [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit [tex] w_F [/tex], die Höhe 0.
[tex] p_a + \rho_F \, g \, h = p_i + \frac{\rho_F \, w_F^2}{2} [/tex]

[tex] p_a + \rho_F \, g \, h = p_a + \Delta p + \frac{\rho_F \, w_F^2}{2} [/tex]

[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p + \frac{\rho_F \, w_F^2}{2} [/tex] (2)

Bernoulli-Gleichung für die Luft verwenden. Unten in der Flasche ist der statische Druck [tex] p_i [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit 0. Oben am Flaschenhals ist der statische Druck [tex] p_a [/tex], die Strömungsgeschwindigkeit [tex] w_L [/tex].
[tex] p_i = p_a + \frac{\rho_L \, w_L^2}{2} [/tex]

[tex] p_a + \Delta p = p_a + \frac{\rho_L \, w_L^2}{2} [/tex]

[tex] \Delta p = \frac{\rho_L \, w_L^2}{2} [/tex]
Auflösen nach der Strömungsgeschwindigkeit.
[tex] w_L^2 = \frac{2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex] (3)
Zusammenhang zwischen den Strömungsgeschwindigkeit (1).
[tex] \frac{ w_F^2 }{a^2} = \frac{2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]

[tex] \frac{ w_F^2 } = \frac{2 \, a^2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]
Diese Gleichung in (2) einsetzen.
[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p + \frac{\rho_F }{2} \frac{2 \, a^2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]

[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p + \frac{\rho_F \, a^2 \, \Delta p }{ \rho_L } [/tex]
Auflösen nach der Druckdifferenz.
[tex] \rho_F \, g \, h = \Delta p \left( 1 + \frac{\rho_F \, a^2 }{ \rho_L } \right) [/tex]

[tex] \Delta p = \frac{\rho_F \, g \, h }{ 1 + \frac{\rho_F \, a^2 }{ \rho_L } } [/tex]

[tex] \Delta p = \frac{\rho_L \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } [/tex]
Die gesuchte Gleichung für die Druckdifferenz.

Diese Gleichung einsetzen in (3)
[tex] w_L^2 = \frac{2 }{ \rho_L } \frac{\rho_L \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } [/tex]

[tex] w_L^2 = \frac{ 2 \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } [/tex]

[tex] w_L = \sqrt{ \frac{ 2 \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } } [/tex]
Der Volumenstrom
[tex] \dot{V} = A_L \, w_L [/tex]

[tex] \dot{V} = A_L \sqrt{ \frac{ 2 \, g \, h }{ a^2 + \frac{\rho_L }{ \rho_F } } } [/tex]
Die gesuchte Gleichung für den Volumenstrom.
Guten Abend zusammen, warum berücksichtigst du beim Volumenstrom die Dichte nicht? wir haben ja zwei unterschiedliche Dichten. Müsste man das nicht mit dem Massenstrom berechnen ?

Liebe Grüße
 
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