Spannungsverlauf

Hallo,

ich habe diese Aufgabe und komme nicht auf ein Ergebnis:

Ein beidseitig eingespanntes Rohr sei zunächst spannungsfrei und wird dann erhitzt. Im stationären Zustand wird der Verlauf der Temperaturerhöhung durch die Gleichung [tex]\vartheta (x) = \vartheta_0(1+4*x^3/l^3)[/tex] beschrieben!

a) Berechnen Sie den Spannungsverlauf [tex]\sigma(x)[/tex]


Mit welcher Formel geht man da dran?
 

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AW: Spannungsverlauf

Hallo,

ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, was die Aufgabe so bezwecken soll. Interessant ist die Berechnung der gesamten Verlängerung des Rohres, wenn es sich ausdehnen könnte.
Überleg mal, ob die Spannungen sich über die Länge des Rohres überhaupt ändern können. An jedem Querschnitt müssen die Längskräfte und damit auch die Längsspannungen gleich sein.
Grüßle
Niwi
 
AW: Spannungsverlauf

Also muss der Spannungsverlauf überall gleich sein im Balken, aber [tex]\vartheta (x)[/tex] ist ja von x abhängig, also muss es doch iunterschiedlich sein oder?

Als Lösung wird angegeben! [tex]\sigma(x) = -2*E*\alpha *\vartheta _0[/tex]Also durch die feste Einspannung kann sich da ja nix verändern mit der Länge und deshalb tritt eine Spannung auf oder?

Das ist ja ein Druckstab und deshalb würde ich sagen, dass [tex]\epsilon(x) = \sigma(x)/E + \alpha* \Delata\vartheta (x)=0[/tex]

Aber damit kommt man nicht auf die Lösung!

mfg
 
AW: Spannungsverlauf

Hallo,
versuch doch mal auszurechnen, wie groß die Verlängerung des nicht eingespannten Rohres mit dem angegebenen Temperaturverlauf wird. Das Rohr wird durch die feste Einspannung um genau diesen Betrag gestaucht. Damit bekommt man die Spannung (die laut Lösung überall gleich ist). Ichdenke, die Hauptschwierigkeit in der Aufgabe liegt in der Berechnung der gesamten Dehnung (Integration).

Grüßle
Niwi
 
AW: Spannungsverlauf

[tex]\epsilon = \sigma/E + \alpha * \vartheta (x)

\int_{0}^{l}\epsilon dx = 0 =
\sigma*x/E +\alpha*\vartheta _0*x+ \alpha *\vartheta_0*1/4*x^3/l^3 [/tex]

und dann die Grenzen einsetzen, ist das so korrekt?

[tex] -5/4*\alpha *\vartheta _0 * E = \sigma(x)

[/tex]

wo ist der Fehler?
 
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AW: Spannungsverlauf

ahh alles klar, habe den Fehler gefunden, so passt alles! Gibt es irgendwelche Regeln, wann man welche Formel nehmen muss von

1) [tex]Delta L = F*L/E*A
[/tex]

2)[tex]Delta L = F*L/E*A + \alpha*\vartheta *L [/tex]

3)[tex]Delta L = \int_{b}^{a} \sigma/E + \alpha*\vartheta [/tex]

Gibt es da Bedingungen, wann man welche Formel nehmen muss?

Dann gibt es noch eine Frage:
An welcher Stelle x des Rohres nimmt die Längsverschiebung u(x) der Querschnittsfläche ein Extremum an?

Da weiss ich gar kein ANsatz!

mfg
 
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