Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

Dieses Thema im Forum "Physik" wurde erstellt von Kynt, 17 Dez. 2010.

  1. Moin, Moin,

    wirft man vom Erdboden ab, beträgt die maximale Wurfweite 45°. Klar.

    Was, wenn ich aber z.B. aus 2m Höhe abwerfe? Wie verändert sich der Winkel dann? Meine Überlegungen:

    Zuerst die Formel für die Wurfdauer unter Berücksichtigung der 2m Höhe herleiten:

    t = (sin(a) * v_0 + Wurzel((sin(a) * v_0)^2 + 4 * g)) / g

    Dann diese Wurfdauer in mit der Formel für Wurfweite kombiniert:

    x = ((Wurzel((sin(a) * v_0)^2 + 4 * g) + sin(a) * v_0) * cos(a) * v_0) / g


    Meine Frage ist nun: Wie kann ich das a (=alpha) so bestimmen, dass x maximal wird? :)


    Danke an alle, die sich diesem Problem widmen.


    Grüße
     
  2. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Gleichung für den Weg in horizontaler Richtung von Anfang bis Ende ermitteln und dann nach der Strecke ableiten ...
     
  3. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Das ist aber ein ziemlich abenteuerlicher Vorschlag. Es geht doch um die Funktion der Wurfweite in Abhängigkeit vom Abwurfwinkel. Und Du willst den Weg in horizontaler Richtung (das ist doch die Wurfweite, oder?) nach der Strecke ableiten? Welche Strecke meinst Du denn, die da als unabhängige Variable vorkommen müsste? Und wie willst Du dann den Winkel für maximale Wurfweite bestimmen?

    Ich würde das ja ganz klassisch machen: Die Funktion der Wurfweite in Abhängigkeit vom Abwurfwinkel nach dem Abwurfwinkel ableiten und die Ableitung Null setzen, dann nach dem Winkel auflösen. Macht man das denn heute nicht mehr so, oder hab' ich da seit meiner etwas länger zurückliegenden Schulzeit etwas vergessen?
     
  4. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Okay, dann muss ich mich gedulden, bis ich solche Funktionen ableiten kann.

    Grüße
     
  5. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Zitat:
    Die Funktion der Wurfweite in Abhängigkeit vom Abwurfwinkel nach dem Abwurfwinkel ableiten und die Ableitung Null setzen
    Zitat Ende.

    Wieso nach dem Winkel ableiten? Die Wurfweite soll doch maximal sein.

    Udo
     
  6. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Ja, aber den Winkel willst Du doch bestimmen. Den Winkel nämlich, bei dem die Wurfweite maximal wird.

    Wenn Du eine Funktion y = f(x) hast, von der Du die Extrema bestimmen willst, also die Stellen x, bei denen y maximal bzw. minimal wird, welche Ableitung setzt Du dann Null? dx/dy? Na, dann Prost Mahlzeit! Erinnere Dich doch nur ein ganz kleines bisschen an die Schul-Minimax-Aufgaben!

    Vielleicht muss man hier aber auch gar nicht ableiten. Ich hab's nicht ausprobiert, aber vielleicht sieht man es ja auch schon so, bei welchem Winkel die maximale Wurfweite erreicht wird. So wie in dem Fall, bei dem Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher Höhe liegen. Wie gesagt, ich will das gar nicht rechnen. Rechnen soll Kynt, der die Frage gestellt hat. Ich will nur Hinweise und Hilfestellung geben.
     
  7. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Hallo GvC!

    Hast natürlich recht, war nur etwas verwirrt vonwegen Ableitung nach Winkel.

    Udo
     
  8. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Wenn ich mich recht erinnere kann man die Gleichung "Ableitung=0" nicht nach dem Winkel auflösen. Man müsste dann hier numerisch Lösungen suchen...
    Habe aber auch gerade keine Lust, das nachzurechnen.
     
  9. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Gibt es einen mathematischen Grund, warum man eine Funktion f(alpha) nicht nach alpha ableiten kann?
     
  10. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Nein, aber das habe ich auch nicht geschrieben.
    Nochmal, ich schreibe das aus meiner Erinnerung:
    Wenn man die Vorschrift für die Wurfweite in Abhängigkeit des Abwurfwinkels nach dem Abwurfwinkel ableitet (das kann man problemlos) und das dann = 0 setzt um einen Winkel zu finden, für den die Wurfweite extremal wird (die Mathematik sagt hier noch nicht, ob minimal oder maximal) erhält man eine Gleichung, die man nicht nach dem Winkel umstellen kann.
    Solch eine Gleichung heißt transzendent, ein Beispiel:
    sin(x)+cos(x)-x=0 lässt nicht nicht nach x auflösen. Man muss Lösungen numerisch finden...
     
  11. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Hallo
    Mal schnell sponten eine andere Idee. Habe aber keine Ahnung, obs geht. Bitte um Prüfung.
    Und zwar: Wenn Abwurfhöhe h= 0 ist, beträgt ja der Abwurfwinkel 45° für maximale Wurfweite. Aufgrund der Symmetrie beträgt der Aufschlagwinkel dann (-45°; das lässt sich auch herleiten). Die allgemeine Bewegungsgleichung y(x) (y= Höhe und x= Wurfweite) sieht ja so aus: y(x) = a*x² + bx + c mit c=h und a und b hängen von halt von g und Geschwindigkeitsvektor am Anfang ab.
    Wie wäre es denn jetzt, wenn man die folgende Bedingung aufstellt:

     \left( \frac{dy}{dx} \right) _{x=w} = (-1) = tan(-45)

    w sei dabei die maximale Wurfweite.
    Man sagt also: damit die Wurfweite maximal wird, muss der Aufschlagwinkel -45° sein.

    Wie gesagt, keine Ahnung, ob diese Idee richtig ist, und ob dadurch die Rechnung einfacher wird, deswegen frag ich euch, was ihr davon haltet.

    Gruß
     
  12. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Hallo nochmal

    habe meine Idee von oben etwas erweitert und bin auch zu einer Lösung gekommen, die vielleicht richtige Ergebnisse liefert. Und zwar habe ich für den Abwurfwinkel alpha:

    \alpha = \frac{1}{2} \cdot arccos(\frac{2gh}{v_0^2} )

    Das Argument des arccos muss natürlich kleiner/gleich 1 sein. Dies ist auch immer erfüllt, wenn man Energieerhaltung anwendet....also kin. Energie wandelt sich in potentielle Energie um und dann erhält man:

    E_{pot} \leq E_{kin} \ \ \Rightarrow mgh \leq \frac{1}{2} m v_0^2  \ \Leftrightarrow  2gh \leq v_0^2

    Für den Grenzfall (Abwurfhöhe h = 0) ist die Formel überprüfbar und man erhält für den Abwurfwinkel auch ganz korrekt die 45°. Die Frage ist nun, ob sie auch für h > 0 gilt. Vielleicht hat ja jemand eine Aufgabe mit Zahlen-Endergebnis zum überprüfen.

    Gruß
     
  13. AW: Schiefer Wurf: Abwurfwinkel für maximale Wurfweite bestimmen

    Ich habe Zahlenbeispiele gemacht, ich glaube das stimmt nicht...

    Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist die Wurfweite
    s(\alpha)=\frac{v_0\cdot cos(a)\cdot \left( v_0 \cdot sin(a)+\sqrt{v_0^2\cdot sin(\alpha)^2+2\cdot g \cdot h}\right)}{g}

    Das abzuleiten ist schon spassig:
    \frac{d}{d\alpha}s(\alpha)=\frac{ v_0 \cdot cos(\alpha) \cdot\left( v_0\cdot  cos(\alpha)+\frac{  v_0^2  \cdot cos(\alpha)  \cdot sin(\alpha)}{\sqrt{2\cdot g\cdot h+  v_0^2  \cdot sin(\alpha)^2}}\right)}{g}-\frac{ v_0\cdot  sin(\alpha)  \left( v_0 \cdot  sin(\alpha)+\sqrt{2\cdot g\cdot h+ v_0^2\cdot    sin(\alpha)^2}\right)}{g}

    Jetzt muss
    \frac{ v_0 \cdot cos(\alpha) \cdot\left( v_0\cdot  cos(\alpha)+\frac{ v_0^2  \cdot cos(\alpha)  \cdot sin(\alpha)}{\sqrt{2\cdot g\cdot h+ v_0^2  \cdot sin(\alpha)^2}}\right)}{g}-\frac{ v_0\cdot  sin(\alpha) \left( v_0 \cdot  sin(\alpha)+\sqrt{2\cdot g\cdot h+ v_0^2\cdot   sin(\alpha)^2}\right)}{g}=0
    nach \alpha aufgelöst werden.
    Entgegen meiner Erinnerung mag das doch analytisch gehen, da habe ich aber keine Lust zu.
    Für h=5m, g=10m/s² und v0=5m/s müsste man für die max. Wurfweite auf etwa 24.09° kommen.
     

Diese Seite empfehlen