Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Ok die Aufgabe ist schon abgegen und in der Korrektur. Können also nicht mehr viel machen. Mich würde aber dennoch interessieren, wie sich der Physiklehrer diese Aufgabe vorgestellt hat.

Eines muss man sich einfach klar machen: Der Zug kann nicht über die gesamte Beschleunigungszeit konstant die 8000kW abgeben, denn dann wäre die Beschleunigung bei t=0 (also wenn der Zug noch gerade stillsteht) unendlich hoch, was nun wirklich nicht geht. Also muss die Leistung von der Zeit t abhängen (P=P(t) )

Ein weiterer denkbarer Fall wäre es, dass die Beschleunigung des Zugs nicht konstant ist, sondern auch in einer bestimmten noch unbekannten Weise von der Zeit t abhängt (a=a(t)). Das wäre allerdings nicht ohne weitere Randbedingungen lösbar.

Also bleibt nur der Fall, dass die Beschleunigung des Zugs konstant sein soll, und genau diese Beschleunigung ist gesucht. Dabei muss der Zug die Geschwindigkeit ve=200 km/h erreichen. Und jetzt hapert es an der Motorleistung des Zugs von P=8000kW.
Wenn man einfach sagt, der Zug habe anfangs (Index 0) die Gesamtenergie

[tex]E_{0,ges}=E_{0,kin}+E_{0,pot}=0J[/tex]

und am Ende der Beschleunigung (Index e) die Gesamtenergie:

[tex]E_{e,ges}=E_{e,kin}+E_{e,pot}=\frac{1}{2}mv^{2}_{e} +m\cdot g\cdot \sin(\alpha)\cdot s_e[/tex]

(se sei dabei die zurückgelegte Wegstrecke.) Sei weiterhin te die benötigte Zeit um auf ve zu kommen, dann könnte man für die gemittelte Leistung schreiben:
[tex]P=\frac{E_{e,ges}-E_{0,ges}}{t_e} =\frac{\frac{1}{2}mv^{2}_{e} +m\cdot g\cdot \sin(\alpha)\cdot s_e}{t_e} [/tex]

Nun gilt weiterhin:
[tex]t_e=\frac{v_e}{a} [/tex] und [tex]s_e=\frac{1}{2}a\cdot t^{2}_{e} = \frac{1}{2}a\cdot \frac{v^2_e}{a^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{v^2_e}{a}\\
[/tex]

Dieses in die Gleichung für die Leistung P eingesetzt und nach a umgeformt erhält man:
[tex]a=\frac{2P}{v_e \cdot m}-g \cdot \sin(\alpha)=0,4248 \cdot m/s^2 [/tex]

Also exakt das, was Manni auch rausbekommen hat. Das könnte man als Grenzbeschleunigung auffassen, bei der der Zug im Mittel genau 8000kW aufgebracht hat. Das Problem ist, dass bei dieser Beschleunigung die benötigte Antriebsleistung den Wert von 8000 kW überschreitet, bevor ve erreicht ist. Wenn ve erreicht ist, wäre die benötigte Leistung dann gerade etwas um die 16000kW.

Wird konstant beschleunigt, steigt die Geschwindigkeit linear und aus der DGL oben ergibt sich dann ein lineares P(t) mit P(t=0)=0W.

Und daher habe ich die konstante Beschleunigung von 0,114 m/s² vorgeschlagen. Hier steigt die Motorleistung natürlich auch linear an aber bei dieser Beschleunigung erreicht die momentane Motorleistung gerade 8000kW wenn ve erreicht ist.

Daher müsste in der Aufgabenstellung stehen, dass der Zug im Mittel 8000kW aufbringen kann, denn nur dann wäre erste Möglichkeit korrekt.

Daher würde mich die Auffassung des Lehrers mal interessieren wie er sich das vorgestellt hat.

Gruß
Dome

Zu spät gesehen: PicardLindeloef kommt aufs gleiche Ergebnis. Puh!!! dann bin ich vielleicht soch nicht ganz verrückt ;-)
 
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B

Benutzer155553

Gast
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Eines muss man sich einfach klar machen: Der Zug kann nicht über die gesamte Beschleunigungszeit konstant die 8000kW abgeben, denn dann wäre die Beschleunigung bei t=0 (also wenn der Zug noch gerade stillsteht) unendlich hoch, was nun wirklich nicht geht. Also muss die Leistung von der Zeit t abhängen (P=P(t) )

Ich habe gerade erst bemerkt, dass das überhaupt thematisiert wurde, ich habe das sofort ausgeschlossen, da von einer konstanten Beschleunigung gesprochen wurde und die Leistung somit P = P(v) (nicht konstant!) ist. Möglicherweise etwas schnell geschossen, das zu beurteilen lässt aber die Aufgabenstellung auch m.E. nicht so ohne weiteres zu.

Eine Anmerkung zu meiner Formel für die Leistung, es gilt natürlich nicht:

[tex]\cos \varphi + \pi = \sin \varphi [/tex]

sondern

[tex]\cos \varphi + \pi = - \sin \varphi [/tex]

Und ausserdem

[tex]m \vec{a} \cdot \vec{v} = -mav[/tex]

da a und v anitparallel, und somit ist die Leistung negativ, da schließlich Leistung abgegeben wird und nicht aufgenommen!
 
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Eines muss man sich einfach klar machen: Der Zug kann nicht über die gesamte Beschleunigungszeit konstant die 8000kW abgeben, denn dann wäre die Beschleunigung bei t=0 (also wenn der Zug noch gerade stillsteht) unendlich hoch, was nun wirklich nicht geht. Also muss die Leistung von der Zeit t abhängen (P=P(t) )


Hallo,
stell die mal ein 464 t schweren Sclitten auf Rädern vor und auf diesem Schlitten ist ein Feststoff- Booster angebracht, der - einmal gezündet- von Anfang an und konstant 8000 kW leistet.

Du meinst das könne nicht funktionieren, da die Beschleunigung unendlich hoch wäre?

Das funktioniert doch im Prinzip bei jeder Sylvester- Rakete so.

Gruß:
Manni
 

derschwarzepeter

Mitarbeiter
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Moment:
Ein Raketenantrieb hat im Stillstand definitiv keine Leistung,
weshalb man da meist die Schubkraft angibt.
Insofern hat dobi also recht:
Der Zug kann nicht über die gesamte Beschleunigungszeit konstant die 8000kW abgeben, denn dann wäre die Beschleunigung bei t=0 (also wenn der Zug noch gerade stillsteht) unendlich hoch, was nun wirklich nicht geht. Also muss die Leistung von der Zeit t abhängen (P=P(t) )
... und das tut sie auch bei einem realen Zug,
der jedoch NIE mit konstanter Leistung beschleunigen könnte.

Bei unserem HÖCHST irrealen Zug schaut die Sache jedoch so aus:
F = P / v
... wenn v gegen 0 geht, geht die beschleunigende Kraft F gegen unendlich,
wodurch nach a = F / m die Beschleunigung a zwar beim Anfahren unendlich wird,
jedoch mit zunehmender Geschwindigkeit v stetig sinkt:
a = P / (v*m)
Mit a = v / t bringen wir die Zeit ins Spiel:
v / t = P / (v*m)
Zum Zeitpunkt t würde der Zug deshalb in der Ebene folgende Geschwindigkeit erreichen:
[tex]v= \sqrt{\frac{P\cdot t}{m} } =111,41 km/h<200 km/h[/tex]

Antwort:
Nachdem der Zug hügelan nicht schneller beschleunigen kann als in der Ebene
und er mit den 8000 kW schon dort nicht bis 200 km/h eine durchschnittliche Beschleunigung von 1 m/s² erreicht,
möchte er vergeblich.
 
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AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Ein Raketenantrieb hat im Stillstand definitiv keine Leistung,
weshalb man da meist die Schubkraft angibt.

Hömma,
ich war Motorseglerpilot.
Vor dem Start hat man nach dem Warmlaufen die Bremse angezogen und Vollgas gegeben, um den Motor zu testen (prüfen ob er "spuckt" die Nenndrehzahl erreicht usw.)
Da hatte der Motor die volle Leistung, von z.B. 75 kW. Der Flieger stand trotzdem still.
Er gab also auch im Stillstand seine Leistung ab.
Dann hat man die Bremse gelöst und der Flieger beschleunigte mit der konstanten Motorleistung von z.B. 75 kW von "Null" an.
Die Motorleistung erzeugte durch den Propeller in eine konstante Vorschubkraft und das Flugzeug beschleunigte.
Nicht anders ist es bei einem Zug. Zweifellos wirkt ja eine Kraft, die ihn beschleunigt.

Ich weiß nicht, welche Probleme ihr da konstruiern wollt;-)

Warten wir doch ab, bis der poster seine Arbeit zurück erhält.

Gruß:
Manni
 

derschwarzepeter

Mitarbeiter
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Aha,
welchen Teil der Physik werden wir jetzt neu schreiben müssen?
Stimmt P = F * v nicht oder müssen wir den alten Newton mit seinem F = m * a wieder ausgraben?

Spatz beiseite - verzeih mir die kleine Spitze, Manni:
Sicher liefert der Flugzeugmotor auch beim stehenden Flieger Leistung,
nur halt keine ANTRIEBS-Leistung für das Flugzeug, auf die´s ja wohl hier ankommt.
(Die Motorleistung geht dabei in Turbulenz verloren bzw. wir in Wärme umgesetzt.)

Zu warten, was der arme dobi auf seine Arbeit für eine Note bekommt, ist durchaus interessant,
jedoch eher aus psychologischen Gründen denn als physikalischen,
denn offenbar ist der Verfasser seiner Aufgaben voll undefinierter Fragestellungen weitab jeglicher Praxis
ein technisches Nullerl, dessen Sicht der Dinge mehr als hinterfragbar sind.
(Der hätte mit mir als Student seine "Freude" gehabt!)
 
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Aha,
welchen Teil der Physik werden wir jetzt neu schreiben müssen?
Stimmt P = F * v nicht oder müssen wir den alten Newton mit seinem F = m * a wieder ausgraben?

Haha (statt Aha).
Eigentlich weiß ich mit Deiner Antwort nichts Richtiges anzufangen;-)

P= F*v stimmt auch (natürlich), denn Du kannst statt F auch G (der Luftmasse) einsetzen.
Und eine v hat die Luftmasse allemale.
Also stimmt auch im Stillstand P= G*v.

Gruß:
Manni

PS: Ende
 
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AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Hallo allerseits

Zu warten, was der arme dobi auf seine Arbeit für eine Note bekommt, ist durchaus interessant,

Nur mal so nebenbei, es war nicht meine Aufgabe sondern die von Cavi. Aber egal ;). Ich denke, Manni und ich hatten anfangs die gleiche Lösung vorgeschlagen und ich denke immernoch dass das die Richtige war.
Es ist halt eine komisch gestellte Aufgabe, bei der man nicht weiß, welche Annahmen man über die Motorleistung des Zugs machen kann.

Natürlich ist dieser Zug höchst irreal und sowas wird es in der Praxis nie geben. Aus der Aufgabenstellung (u.a. die Angabe, dass alles reibungsfrei sein soll) kann man aber nun mal nur schließen, dass die Motorleistung vollständig und zu jeder Zeit in Antriebs- bzw. Vortriebsleistung gewandelt wird, also zur Erhöhung der kinetischen und potentiellen Energie. Sowas gibts natürlich nicht in der Praxis. Aber sonst kann man hier nichts rechnen.

P= F*v stimmt auch (natürlich), denn Du kannst statt F auch G (der Luftmasse) einsetzen.
Und eine v hat die Luftmasse allemale.
Also stimmt auch im Stillstand P= G*v.

Das mit der Luftmasse kapiert ich jetzt nicht wirklich, also was du damit meinst. Aber wie die Formel P=F*v schon sagt, muss die Vortriebsleistung P bei v=0 ebenfalls 0 sein. Im Übrigen gilt P=m*v nur bei konstanter Beschleunigung aber davon sind wir ja auch die ganze Zeit ausgegangen. Dass du bei v=0 dennoch Motorleistung aufbringen kannst hat ja schon Peter erläutert. Alles andere würde gegen den Energieerhaltungssatz verstoßen.

Also wie gesagt, es gibt zwei Interpretationen der Aufgabenstellung:
1.) Die Maximale Motorleitung beträgt 8000kW
2.) Im Mittel kann der Motor 8000kW aufbringen

Und ich denke es ist die Maxmial-Leistung gemeint. In den KFZ-Papieren steht ja auch drin: maximale Leistung von xy kW bei 5000 1/min. und nicht: im Mittel kann das Fahrzeug die Leistung xy kW aufbringen.

Man stelle sich vor, der Zug ist gerade erst in Bewegung gekommen und habe eine noch sehr niedrige Geschwindigkeit von z.B. v=0,01m/s. Außerdem lass ich mal die Steigung weg, die macht nicht viel aus.
Wenn der Zug nun 8000kW in Antrieb umsetzten würde, dann hätten wir

P=F*v=m*a*v

=> a=P/(m*v)=1724,138 m/s² = 175*g WOW,

Das wird keiner überleben, auch wenns nur ganz kurz ist. Das ist der Aufprall aus 2km Höhe ohne Fallschirm auch.

Sorry aber auf die Rechung konnt ich nun nicht verzichten, fand die Vorstellung davon toll. :LOL:

Gruß
Dome
 
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Ich persönlich würde die Aufgabe von Cawi möglichst praxisnah interpretieren. Das wäre eine 3. Interpretation.

Der ICE hat Elektromotoren, die über Räder den Zug antreiben. Daher sehe ich beim ICE mehr Ähnlichkeit mit einem PKW als mit einem Flugzeug.

In der Aufgabe von Cawi steht, dass die Steigung konstant ist. Nur die Steigung ist in der Aufgabe als konstant beschrieben.

Der Beschleunigungswert ist mit einem „möchte“ versehen. Dieses verstehe ich so: Wenn der ICE mit 1m/s² beschleungigen kann, dann wird der ICE mit 1m/s² beschleunigen. Nur wenn diese Beschleunigung nicht erreichbar ist, wird der ICE mit einem anderen Wert beschleunigen.

Die Motorleistung ist mit 8000kW angegeben. Diesen Wert verstehe ich, wie die Aufschrift auf dem Typenschild. 8000kW ist die Leistung, die der ICE leisten kann. Typisch beim Fahren eines Zuges (und beim Autofahren) die Leistung des Motors nichts vollständig abgerufen, sondern nur wenn es notwendig ist.

Am Anfang: Der ICE steht. Der Zugführer möchte mit 1m/s² beschleunigen. Also wird der Leistungshebel gedrückt, bis die Beschleunigung von 1m/s² beträgt.

Der Zug wird schneller: Der Zugführer möchte mit 1m/s² beschleunigen. Also wird der Leistungshebel weiter gedrückt, um die Beschleunigung von 1m/s² zu halten.

Der Zug wird noch schneller: Der Zugführer möchte mit 1m/s² beschleunigen. Jetzt ist der Leistungshebel am Anschlag. Die Motoren liefern die 8000kW. Die Beschleunigung wird geringer.

Der Zug hat 200 km/h erreicht. Der Zugführer nimmt die Leistung zurück, bis die Beschleunigung gleich 0 ist.

Für die Berechnung werden die Regelungsprozesse des Zugführers vernachlässigt. Die Leistung ist zu jedem Zeitpunkt perfekt eingestellt.

Wird für diese Bewegung die Beschleunigung aufgetragen über die Geschwindigkeit, dann ist die Beschleunigung konstant bis zu einer Grenzgeschwindigkeit. Dann fällt die Beschleunigung bis zur Grenzbeschleunigung bei 200km/h.

Berechnet wird die Bewegung im ersten Teil über konstante Beschleunigung 1m/s² und im zweiten Teil über konstante Leistung 8000kW.

Soweit ich es kenne, beschleunige ein Flugzeug oder eine Rakete anders als ein Zug oder ein Auto. Flugzeug und Rakete können bei Geschwindigkeit 0 die maximale Motorleistung einstellen. Beim Zug oder beim Auto drehen die Räder durch, wenn beim Start die maximale Motorleistung eingestellt wird. Das Quietschen der durchdrehenden Räder will in der Praxis niemand. Daher bringen Fahrzeuge mit Antriebsrädern beim Start nur einen Teil der verfügbaren Motorleistung auf die Räder. Es ist also praxisnah die Beschleunigung von 1m/s² beim Start anzunehmen und auf die maximale Motorleistung zu verzichten.

Soll praxisfern die maximale Motorleistung des ICE beim Start verwendet werden, dann muss der Schlupf berücksichtigt werden. Ich vermute, das wäre eine physikalisch korrekte, aber schwer zu rechnende und praxisferne Lösung.

Soll noch praxisferner angenommen werden, es gibt keinen Schlupf (zum Beispiel der Zug rollt auf Zahnrädern auf einer Zahnstange), dann muss der Wirkungsgrad der Elektromotoren berücksichtigt werden. Zum Startzeitpunkt erzeugen die Elektromotoren nur ein Drehmoment, aber die Elektromotoren geben keine Leistung ab. So könnte mit konstanter Leistungsaufnahme der Elektromotoren gerechnet werden. Ich vermute, das wäre einfacher zu rechnen, physikalisch korrekt, aber sehr praxisfern.
 
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derschwarzepeter

Mitarbeiter
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Also PIIIIs Interpretation gefällt mir außerordentlich gut:
Sie ist realisierbar, praxisnah (Bahnreisende nehmen unendlich hohe Anfahrbeschleunigung krumm!) und berechenbar,
muss jedoch um eine Winzigkeit ergänzt werden, denn der Beschleunigungsprozess zerfällt in 2 Phasen:

  1. Zunächst gibt der Lokführer DOSIERT "Gas" um die 1 m/s² zu erreichen und nicht zu überschreiten.
  2. Ab einer gewissen Geschwindigkeit* muss der Lokführer VOLLGAS geben, wobei die Beschleunigung sinkt.
Mit 55 Sekunden ist so jedoch nix.
:(​
*) Selbst wenn der Zug NOCH so "möchte", kann er mit 8 MW nicht bei 200 km/h mit 1 m/s² beschleunigen:
Auch in der Ebene schafft er das über 111,41 km/h nicht mehr - irgendwann ist Schluss, zu wenig Schmalz.
 
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Hallo Peter

lso PIIIIs Interpretation gefällt mir außerordentlich gut:
Sie ist realisierbar, praxisnah (...) und berechenbar,

Stimme dir zu (1 m/s² kann man gut vertragen und er Zug ist flott auf Reisegeschwindigkeit).

Die erste Phase konstanter Beschleunigung ist sehr einfach zu handhaben, da man die Bewegungsgleichungen a(t), v(t) und (wenn man möchte) s(t) bestimmen kann. Am Ende der Phase konstanter Beschleunigung (Index 1) mit a1=1 m/s² = const. erhalte ich:

v1=14,4139 m/s
t1=14,4139 s

Zur Phase 2:
Ich hatte in Beitrag 13 mal ein DGL für die Bewegung aufgestellt, die so aussieht:

[tex]P(t)=m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\cdot \dot{x}(t) +m\cdot \dot{x}(t)\cdot \ddot{x}(t)[/tex]

Wäre schön wenn die jemand bestätigen könnte. So einfach zu berechnen finde ich das nicht für Physik Klasse 12. Denn man kennt hier lediglich die Anfangsbedingungen bei Zustand 1 (also t1, v1, a1) und beim Endzustand 2 nur die Geschwindigkeit v2=200km/h; und natürlich die kontante Vortriebsleistung von 8MW.
Wenn die DGL von oben stimmt, dann ist P(t) = 8MW = const. und stellt keine Schwierigkeit mehr dar.
Wie du selbst sagst:
Ab einer gewissen Geschwindigkeit* muss der Lokführer VOLLGAS geben, wobei die Beschleunigung sinkt.
Leider wissen wir nicht, wie die Beschleunigung sinken wird. Wir können also direkt keine Bewegungs-Zeit-Gleichungen aufstellen. Aber man kann die Endbeschleunigung bestimmen: Wenn ich das richtig verstehe mit der DGL oben, dann muss sie auch zu dem noch unbekannten Zeitpunkt t2 erfüllt sein, wenn der Zug gerade die 200km/h erreicht. Und zu diesem Zeitpunkt hat der Zug eine bestimmte Beschleunigung. Also müsste doch folgende Gleichung erfüllt sein:
[tex]P_{max}=m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\cdot \dot{x}(t_2) +m\cdot \dot{x}(t_2)\cdot \ddot{x}(t_2)=m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\cdot v_2 +m\cdot v_2 \cdot a_2[/tex]

Das lässt sich einfach nach a2 auflösen und man erhält wieder die 0,114 m/s². Daher weiß ich keine andere Grenzbeschleunigung zu bestimmen.

Was die benötigte Zeit t2 angeht, wirds es nicht ganz trivial meiner Meinung nach. Denn versuche mal die DGL von oben zu lösen (also Trennung der Variablen, Integration) Es lässt sich immerhin die benötigte Zeit berechnen wenn man beim Integrieren die entsprechenden "Randwerte" einsetzt (bekomme t2 =174,07s raus; Irrtum vorbehalten), aber die Bewegungsgleichungen: also ich bekomms mathematisch nicht hin v(t) zu bestimmen.

Ich weiß die Aufgabe scheint recht einfach; und das wär sie auch, wenn der Zug keine Steigung hochfahren würde. Daher habe ich mich ein bischen darin verbissen.

Gruß
Dome
 
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Ich persönlich würde die Aufgabe von Cawi möglichst praxisnah interpretieren. Das wäre eine 3. Interpretation.

physikalisch korrekt, aber sehr praxisfern.

Hallo Ulrich,
es handelt sich um eine Schulaufgabe aus dem Physikunterricht. Vorausgegangen wird sicherlich sein eine Behandlung des Themas Energieerhaltungsgesetz, Leistung= Arbeit/ Zeit, Massenträgheit, Beschleunigung etc.
Zum Verständnistest wird diese jetzige Aufgabe gestellt worden sein.
Bei solchen Schulaufgaben werden idealisierte Bedingungen vorausgesetzt.

Praxisnah ist das nicht unbedingt, wie diese Annahme zeigt:
Da keine Reibung vorliegen soll, kann der Zug nicht einmal anfahren, geschweige denn eine Steigung bewältigen.
Ich nehme an, dass der Physiklehrer seinen Schülern keine Aufgabe gestellt hat, die für sie überhaupt nicht lösbar ist.
Man muß sie wohl im Zusammenhang mit seinem Unterricht sehen.

Gruß.
Manni
 
B

Benutzer155553

Gast
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Zur Phase 2:
Ich hatte in Beitrag 13 mal ein DGL für die Bewegung aufgestellt, die so aussieht:

[tex]P(t)=m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\cdot \dot{x}(t) +m\cdot \dot{x}(t)\cdot \ddot{x}(t)[/tex]

Wäre schön wenn die jemand bestätigen könnte. So einfach zu berechnen finde ich das nicht für Physik Klasse 12. Denn man kennt hier lediglich die Anfangsbedingungen bei Zustand 1 (also t1, v1, a1) und beim Endzustand 2 nur die Geschwindigkeit v2=200km/h; und natürlich die kontante Vortriebsleistung von 8MW.

Bestätigt! Die Lösung ist finde ich auch die schönste, da man nur schwer etwas bei der Energie vergessen kann und keine Formeln voraussetzen muss, dh. man direkt mit der Definition arbeiten kann. Ich würde die Gleichung allerdings nicht als DGL bezeichnen (das hört sich für viele völlig grundlos gefährlich an :D), da die genannte Gleichung in unserem Fall nicht zur Suche einer ganzen Funktion verwendet wird, sondern nur zur Bestimmung eines Wertes.

Begründung mithilfe der Definition der Leistung!
Über einen endlichen Zeitraum ist sie folgendermaßen definiert: Leistung = Arbeit/Zeit und für einen Moment gilt [tex]P = \frac{dE}{dt} [/tex], also die totale Zeitableitung.

Das heisst, die Gesamt-Energie die sich in dem System befindet nach der Zeit abgeleitet, ist die Leistung die in das System gespeisst wird - bleibt die Gesamt-Energie erhalten ist die Ableitung Null es wird, es wird nichts geleistet, ändert sie sich, ist die Ableitung von Null verschieden, es wird Leistung am System erbracht.

Energie des Systems:

[tex]E(x(t), \dot x(t)) = \frac{m}{2} \dot x(t) + mg \sin \alpha x(t)[/tex]

Die totale Zeitableitung (nicht zu verwechseln mit der partiellen Ableitung) der Energie ergibt dann die Leistung:

[tex]\frac{dE(x(t), \dot x(t))}{dt} = \frac{dE(x(t), \dot x(t))}{d \dot x} \ \frac{d\dot x(t)}{dt} + \frac{dE(x(t), \dot x(t))}{d x} \ \frac{dx(t)}{dt} + \frac{\partial E(x(t), \dot x(t))}{\partial t}= [/tex]

[tex]\frac{dE(x(t), \dot x(t))}{dt} = \frac{dE(x(t), \dot x(t))}{d \dot x} \ \frac{d\dot x(t)}{dt} + \frac{dE(x(t), \dot x(t))}{d x} \ \frac{dx(t)}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dE(x(t), \dot x(t))}{dt} = m \dot x(t) \ \frac{d\dot x(t)}{dt} + mg \sin \alpha \ \frac{dx(t)}{dt} = m\dot x(t) \ddot x (t) + mg \sin \alpha \dot x(t)[/tex]

Im übrigen errechnet sich die Formel P = Fv völlig analog dazu, dh. deine und meine Lösungen sind völlig äquivalent:

[tex]P = \frac{d}{dt} E = \frac{d}{dt} \int_{x(t)} \vec{F} \cdot \vec{dr}= \frac{d}{dt}\int_{t_0}^{t} \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{\dot x}(t) dt = \vec{F}(x(t)) \cdot \dot x(t) = \vec{F} \cdot \vec{v}[/tex]
 

derschwarzepeter

Mitarbeiter
AW: Schiefe Ebene aufwärts beschleunigen, Beschleunigungszeit & Grenzbeschleunigung

Eine kleine Vereinfachung hätte ich noch:
Würde der Zug auf 2 % Steigung mit 1 m/s² gleichmäßig* auf 200 km/h beschleunigen,
so befände er sich danach einen einzigen nebbichen Meter höher als zuvor,
wofür bloß 1 %o der Antriebsleistung erforderlich wäre,
was wir getrost vernachlässigen dürfen,
weil das nicht messbar ist
und im Rauschen, der gleichfalls vernachlässigten Reibung, Luftwiderstand, Wicklungstemperatur, usw. untergeht.
*) Möchte er, kann er aber nicht, tut er auch nicht, weiss ich eh und es ändert daran auch nix Wesentliches.

:idea: Fazit:
Lasst uns den Zug in der Ebene beschleunigen!
(Wer sich daran stößt, der kann mit guter Näherung einfach nur 99,9 % der Antriebsleistung wirken lassen.)

Bis 111,41 km/h möchte er und kann er mit 1 m/s² beschleunigen,
darüber schaut´s, wie ich schon geschrieben habe, so aus:
Die Beschleunigungskraft F = P/v
und die bewirkt eine Beschleunigung von a = P / (v * m) = v/t ... v freistellen:
v²/ t = P / m

[tex]v=\sqrt{\frac{P\cdot t}{m} } [/tex]

Damit kann man dann ein schönes v/t-Diagramm zeichnen:
Die zur Beschleunigung auf 200 km/h ist da direkt ablesbar;
die Fläche unter der Kurve ist der dabei verfahrene Weg.

(Leider sind meine infinitesimalen Fähigkeiten durch jahrelangen Nichtgebrauch ein wenig eingerostet,
sonst hätt ich´s gerne vorgerechnet. :oops: Im Zweifelsfall kann man´s immer noch ins EXCEL klopfen.)
 
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