Schaltvorgang Kondensator

Hab eine Frage zum Schaltvorgang:
Hier die Aufgabe:
Den Anhang 66628 betrachten

(Punkt 1) Grundsätzlich hätte ich zuerst durch die angegebene Leistung den Strom durch R1 zum Zeitpunkt t1 berechnet:

[tex] p_{R1}=150W\;\;\rightarrow\;\;I_{R1}=\sqrt{\frac{150}{70}}=1,46A [/tex]

Da zum Zeitpunkt t2 weniger Strom durch R1 fließt gehe ich davon aus, dass es sich bei dem unbekannten Bauteil also um einen Kondensator handelt (da dieser im Gleichstromnetz mit zunehmender Zeit den Strom sperrt)

(Punkt 2) Hier hätte ich zuerst eine Masche aufgestellt und anschließend mithilfe des Bauteilgesetzes umgeformt:

[tex] M1:\;\; U_0-U_{Ri}-U_{R1}-U_{C}=0 [/tex]

[tex] i_C(t)=\frac{du_C(t)}{dt}C \;\;\rightarrow\;\; u_C(t)=\frac{1}{C} \int{i_C(t) dt} [/tex]

[tex] M1:\;\; U_0-i_C(t)R_i-i_C(t) R_1- \frac{1}{C} \int{i_C(t) dt} =0 [/tex]

Ableiten:

[tex] M1:\;\; -\dot{i_C(t)}(R_i+R_1)= \frac{1}{C} i_C(t)[/tex]

[tex] M1:\;\; \dot{i_C(t)}= -\frac{1}{C(R_i+R_1)} i_C(t) = -\frac{i_C(t)}{\tau} [/tex]

Lösen der Diff-Dgl:

[tex] \dot{i_C(t)}= -\frac{i_C(t)}{\tau} \;\; \rightarrow \;\; i_c(t)=ke^{-\lambda t} \;,\;\dot{i_c(t)}=-\lambda ke^{-\lambda t} \;\;\rightarrow\;\;
-\lambda ke^{-\lambda t} =-\frac{ke^{-\lambda t}}{\tau} [/tex]

Das ergibt mit dem Ansatz als Lösung dann folgendes:

[tex] \lambda = \frac{1}{\tau} \;\; \rightarrow\;\; i_C(t)= ke^{-\frac{1}{\tau} t}[/tex]

Jetzt muss ich noch k berechnen. Hierzu wähle ich t=t0=0. Bei diesem Zeitpunkt ist der Strom im Kondensator ja maximal:

[tex] I(t=0) = k \;\; \rightarrow\;\; i_C(t)= I(t=0)e^{-\frac{1}{\tau} t} = I_0 e^{-\frac{1}{\tau} t}, \; \text{mit} \;\tau=C(R_i+R_1)[/tex]


Das müsste meiner Meinung nach stimmen, Schwierigkeiten hab ich auch erst im nächsten Punkt:

(Punkt 3) Hier hätt ich wieder übers Bauteilgesetz den Zusammenhang gesucht:

[tex] i_C(t)=\frac{du_C(t)}{dt}C \;\;\rightarrow\;\; u_C(t)=\frac{1}{C} \int{i_C(t) dt} [/tex]

Jetzt hätte ich für i_C einfach eingesetzt:

[tex] u_C(t)=\frac{1}{C} \int{I_0 e^{-\frac{1}{\tau} t} dt} = \frac{I_0}{C} \int{e^{-\frac{1}{\tau} t} dt} = \frac{I_0}{C}[-\tau e^{-\frac{1}{\tau} t} + constant] = -\frac{I_0 \tau}{C} e^{-\frac{1}{\tau} t} + constant = -I_0 (R_1+R_i) e^{-\frac{1}{\tau} t} + constant [/tex]

So jetzt hab ich zwei Probleme: Einmal die Konstante und einmal der Koeffizient vor der e-Funktion. Die charakteristische Gleichung würde ja eigentlich so aussehen:

[tex] u_C(t)=U_q-U_q e^{-\frac{1}{\tau}t} [/tex], wobei Uq die Quellspannung wäre.

Meine Gleichung sieht aber nicht mal annähernd danach aus. Der Koeffizient vor der e-Funktion ist bei mir lediglich der Spannungsabfall über Ri und R1, nicht aber die Quellspannung. Weiters weiß ich nicht wie ich jetzt mathematisch darauf schließen kann, dass die Konstante ebenfalls die Quellspannung sein muss (durch Überlegung wäre es möglich, ich denke aber kaum, dass dies für den Test reichen wird)
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Du hast vergessen, im zweiten Aufgabenteil den Anfangsstrom I0 zu bestimmen. Das geschieht mit Hilfe der Anfangsbedingung uc(0)=0. Wenn die Kondensatorspannung null ist, fällt die gesamte Spannung U0 an den beiden Widerständen ab, nach ohmschem Gesetz also

[tex]\large I_0=\frac{U_0}{R_i+R_1}[/tex]

So jetzt hab ich zwei Probleme: Einmal die Konstante und einmal der Koeffizient vor der e-Funktion.

Der Koeffizient vor der e-Funktion dürfte jetzt kein Problem mehr sein (s.o.):

[tex]\large -I_0\cdot (R_i+R_1)=-U_0[/tex]

Also

[tex]\large u_C(t)=-U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}+K[/tex]

K aus Anfangsbedingung

[tex]\large u_C(0)=0=-U_0+K\quad\Rightarrow\quad K=U_0[/tex]

Daraus folgt

[tex]\large u_C(t)=U_0\cdot\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)[/tex]
 
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