RRC Schaltung

Hallo,
meine Aufgabe ist, alle notwendigen Differenzialgleichungen aufzustellen um alle Spannungen und den
Strom (Systemzustände) der Schaltung zu beschreiben, die resultierende Differentialgleichung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung angeben und die Zeitkonstanten bestimmen.

Ich steh glaube ich einfach total auf dem Schlauch.


Die Ausgangs/Eingangsspannung habe ich mal versucht zu berechnen...aber selbst da bin ich mir nicht sicher...und eine differentialgleichung ist das ja auch nicht...Kann mir jemand Helfen???
Danke schonmal!
 

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Tipp: Maschensatz und die Beziehung zwischen Strom und Spannung an einer Kapatität

[tex]i=C\cdot\frac{du_c}{dt}[/tex]
bzw.
[tex]u_c=\frac{1}{C}\int i\, dt[/tex]
 
Okay ich hab jetzt mal für die zwei Maschen Gleichungen aufgestellt...aber wie komm ich jetzt weiter?
[TEX]Ue=R_{2}*i+u_{c}+R_{1}*i [/TEX]

[TEX]Ua=u_{c}+R_{1}*i [/TEX]

aber wie komm ich jetzt weiter? Muss ich nur i und uc ersetzen mit den Formeln die GvC angegeben hat?
 
Also so?

[TEX]Ue=R_{2}*C\frac{du_{c}}{dt} +C\int_{}^{}i du +R_{1}*C\frac{du_{c}}{dt}[/TEX]
[TEX]Ua=C\int_{}^{}i du +R_{1}*C\frac{du_{c}}{dt}[/TEX]

ich bin trotzdem noch total verwirrt
 
Du musst Dich schon entscheiden, für welche Größe Du die Dgl. aufstellen willst. Ich würde ja zunächst den Strom berechnen, da der für alle drei Elemente derselbe ist.

[tex]U_e=i\cdot (R_1+R_2)+u_c[/tex]

[tex]U_e=i\cdot (R_1+R_2)+\frac{1}{C}\int i\, dt[/tex]

Kommst Du damit weiter?

Wie sieht denn die Zeitfunktion der Eingangsspannung aus? So wie Du sie bezeichnet hast (mit Großbuchstaben), müsste es sich um eine Gleichspannung handeln, denn zeitabhängige Größen werden im Allgemeinen mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet.
 
Okay ich hatte das Integral berechnet... ist wohl echt nicht meine Aufgabe...:meh:
Wenn ich es alles zeitlich ableite kommt das raus:
[TEX]Ue/dt=i'(t)(R1+R2)+1/C*i(t)[/TEX]
oder bin ich schon wieder total falsch??
 
Und weil, wie Du in #6 erwähntest, die Eingangsspannung konstant ist, wird die Linke Seite der Ableitung [tex]\frac{\mathrm{d} U_e}{\mathrm{d} t} \[/tex] Null.
 
Zitat von Raeubertochter:

Ja, das bist Du. Du scheinst nicht zu wissen, wie man eine Ableitung bildet.

Die Ausgangsgleichung (Maschensatz) war doch

[tex]U_e=i\cdot (R_1+R_2)+\frac{1}{C}\cdot\int i\, dt[/tex]

Regeln:
Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden.
Die Ableitung eines konstanten Summanden ist Null
Konstante Faktoren bleiben beim Differenzieren erhalten.

In der obigen Gleichung steht links vom Gleichheitszeichen ein konstanter Summand. Demzufolge egibt die Differentiation:

[tex]0=(R_1+R_2)\cdot\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\cdot i[/tex]

Kommst Du jetzt weiter, d.h. weißt Du wie, man eine homogene Dgl. 1. Ordnung löst bzw. kennst Du ihre Lösung auswendig?
 
Aber i' ist doch die Ableitung, zumindest haben wir das immer so bezeichnet. und ja Ue/dt wird 0 aber dann ist meine DGL doch nicht falsch? oder denk ich jetzt total falsch??

Ich teile erst durch R1+ R2 um auf die allg. Form zu kommen und dann ist die Lösung der DGL:
[TEX]i=Const.*e^{-\int_{\infty }^{\infty } 1/(C(R1+R2)) } [/TEX]
Hoffe das stimmt jetzt wenigstens... Dann ist i eine Konstante??
Danke auf jeden Fall für eure Mühen!!!!
 
i(t) ist keine Konstante, sondern eine gesuchte Zeitfunktion
{R₁+R₂}·i'(t) = -1÷C ·i(t)
i'(t)÷i(t) = -1÷({R₁+R₂}·C)
Auf beiden Seiten bestimmt integrieren:
https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Logarithmische_Integration entspricht TDV
∫0…t i'(t₁)÷i(t₁) dt₁ = ∫0…t -1÷({R₁+R₂}·C) dt₁
ln[i(t)] -ln[i(0)] = -t÷({R₁+R₂}·C)
i(t)÷i(0) = exp[-t÷({R₁+R₂}·C)] [die Zeitkonstante ist τ ={R₁+R₂}·C ]
i(t) = i(0)·exp[-t÷τ] mit Anfangsbedingung i(0) = Uₑ ÷ {R₁+R₂} [weil C zum Zeitpunkt 0 kurzschliesst]

Dies i(t) kann jetzt in den Integralausdruck für z. B. Uc(t) eingesetzt werden.
 
Weil bei der Aufgabe als Einstieg die aus der Spannungsteiler-Regel folgende komplexe Übertragungsfunktion [tex]{\underline G}(\mathrm{j} \cdot \omega) \ = \ \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} \ = \ \frac{R_1 + \frac{1}{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot C}}{R_1 + R_2 + \frac{1}{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot C}}[/tex] aus der komplexen Wechselstromrechnung gegeben war, könnte eine Absicht auch gewesen sein, anzuwenden, dass die Übertragungsfunktion mittels "Substitution" [tex]s \ := \ \mathrm{j} \cdot \omega[/tex] im Laplace-Bildbereich dargestellt werden kann: [tex]G(s) \ = \ \frac{U_a(s)}{U_e(s)} \ = \ \frac{R_1+\frac{1}{s \cdot C}}{R_1+R_2+\frac{1}{s \cdot C}}[/tex].
Die (zum Zeitpunkt [tex]t \ = \ 0 \mathrm{s}[/tex] eingeschaltete, dann konstante) Eingangs-Spannung ist eine Sprungfunktion [tex]u_e(t) \ = \ U_e \cdot \eps(t) \ \ \circ-\bullet \ \ U_e(s) \ = \ \frac{U_e}{s}[/tex].
Damit folgt für die Ausgangs-Spannung im Bildbereich [tex]U_a(s) \ = \ U_e(s) \cdot G(s) \ = \ U_e \cdot \frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{s+\frac{1}{R_1\cdot C}}{s +\frac{1}{(R_1+R_2) \cdot C}}[/tex].
Partialbruchzerlegung ergibt die Ausgangs-Bild-Spannung [tex]U_a(s) \ = \ U_e \cdot ( \frac{1}{s} \ -\frac{\frac{R_2}{R_1+R_2}}{s \ +\frac{1}{(R_1+R_2) \cdot C}})[/tex], welche u. a. mittels Korrespondenzen https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation in den Zeitbereich [tex]u_a(t) \ = \ U_e \cdot (1 \ -\frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{(R_1+R_2) \cdot C}})[/tex] zurücktransformiert werden kann.
 
Zitat von Raeubertochter:
Aber i' ist doch die Ableitung, zumindest haben wir das immer so bezeichnet.

Die zeitliche Ableitung wird im Allgemeinen nicht durch einen Apostroph, sondern durch einen Punkt gekennzeichnet:

[tex]\frac{di}{dt}=\dot{i}[/tex]


Die Notation ist falsch. Richtig wäre

[tex]\frac{dU_e}{dt}=0[/tex]

Du bist außerdem (noch) nicht in der Lage, eine einfache Differentialgleichung zu lösen. xeraniad hat's Dir vorgemacht (obwohl es in diesem einfachen Fall auch einfacher geht). Jedenfalls ist die Lösung der Dgl.

[tex]i=K\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}[/tex]
mit
[tex]\tau=(R_1+R_2)\cdot C[/tex]

Die Konstante K berechnet man immer aus der Anfangsbedingung, die bei der Kondensatorladung oder -entladung immer lautet: Die Spannung am Kondensator kann sich nicht sprunghaft ändern, ist also unmittelbar nach dem Schalten genauso groß wie unmittelbar davor. Im vorliegenden Fall ist die Kondensatorspannung vor dem Schalten Null, also auch unmittelbar danach. Der Maschensatz nach dem Schalten lautet

[tex]U_e=i(t)\cdot (R_1+R_2)+u_c(t)[/tex]

Zum Zeitpunkt t=+0 also

[tex]U_e=i(+0)\cdot (R_1+R_2)+u_c(+0)=i(+0)\cdot (R_1+R_2)+0[/tex]

[tex]\Rightarrow\quad i(0)=\frac{U_e}{R_1+R_2}[/tex]

Wenn Du das in die Allgemeine Lösung einsetzt, erhältst Du

[tex]i(0)=K\cdot e^0=K[/tex]

Demzufolge

[tex]i(t)=\frac{U_e}{R_1+R_2}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}[/tex]

Die einzelnen Spannungen erhältst Du dann durch die bekannten Beziehungen:

[tex]u_{R_1}(t)=R_1\cdot i(t)[/tex]

[tex]u_{R_2}(t)=R_2\cdot i(t)[/tex]

[tex]u_c(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\, dt[/tex]

Die Integrationskonstante ist wieder aus der Anfangsbedingung zu bestimmen.
 
Hallo miteinander,
ich habe an sich eine ähnliche Aufgabe, wo das selbe RCR-Netzwerk angegeben ist.
Jedoch wird bei mir gefragt, dass ich alle notwendigen DGLs erfassen soll, die dieses Netzwerk beschreiben.
Ich konnte mehr oder weniger eure Lösung nachvollziehen, und dass die DGL für die Ausgangsspannung gleich tau = (R1+R2)*C ist.
Aber wo soll ich jetzt noch weitere Differentialgleichungen herleiten?
 
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