Rechteckspannung Kondansatorspannung

Hi
muss ich um die Spannung zu den Zeitpunkten Uc(0.2s/0.4s/0.6s/0.8s mit dem Mittelwert rechnen oder die Spannung zum jeweiligen Zeitupunkt in die Lad/Entladefunktion einsetzen? Falls letzteres gilt ist es dann bei Zeitpunkt 0.2s Ent- oder Ladevorgang? Und bei 0.4s Ent-oder Ladevorgan?
Danke schomal!
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muss ich um die Spannung zu den Zeitpunkten Uc(0.2s/0.4s/0.6s/0.8s mit dem Mittelwert rechnen oder die Spannung zum jeweiligen Zeitupunkt in die Lad/Entladefunktion einsetzen?
Immer in die Zeitfunktion einsetzen. der Mittelwert bringt hier gar nichts, wenn Du die Spannungswerte zu bestimmten Zeitpunkten bestimmen willst.

Falls letzteres gilt ist es dann bei Zeitpunkt 0.2s Ent- oder Ladevorgang?
Das hängt davon ab, wie der Spannungsverlauf für t<0 ist.

Ich würde hier auch nicht von Ladung und Entladung, sondern eher von Umladung sprechen. In jedem Fall gilt

[tex]u_c(t)=\left( u_c(t_0) - u_c(\infty)\right)\cdot e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}+u_c(\infty)[/tex]
 
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Zum Zeitpunkt t=0 ist der Kondensator ungeladen also Uc(t0)=0?
Wieso stellst Du mir diese Frage? Die hab' ich doch Dir gestellt, als ich nach dem Spannungsverlauf für t<0 gefragt habe. Falls zum Zeitpunkt t=0 der Kondensator tatsächlich ungeladen ist, erhält die Schaltung bei t=0 einen Spannungssprung von 0 auf 2V. Es beginnt also ein Aufladevorgang, der 0,2 s anhält. Bei t=0,2 s ist die Kondensatorspannung dann auf einen bestimmten Wert gestiegen, der der Anfangswert für den dann folgenden Umladevorgang ist. Der Spannungsverlauf während des Umladevorgangs ist dann

[tex]u_c(t)=\left(u_c(0,2s)-u_c(\infty)\right)\cdot e^{-\frac{t-0,2s}{\tau}}+u_c(\infty)[/tex]

Dabei ist [tex]u_c(\infty)[/tex] der nach unendlich langer Zeit theoretisch erreichbare Spannungwert, hier also -12 V. Ob Du den als Effektivwert bezeichnest, ist doch vollkommen gleichgültig. 12 V sind 12 V.

Wenn Du in obige Gleichung t=0,4s eingibst und die Zeitkonstante kennst (darüber hast Du noch gar nichts gesagt), erhältst Du den Anfangswert für den zur Zeit t=0,4s beginnenden neuen Umladvorgang usw.
 
Zwischen welchen beiden Spannungswerten Umin und Umax schwankt die Kondensatorspannung lange Zeit nach dem Einschalten der Rechteckspannung?
 
@GvC, Korrektur zu #4: laut Grafik in #1 ist die "untere" (negative) Spannung des idealen Rechteck-Generators -13 V, nicht -12 V.
Nicht, dass bei etwelchem Nachrechnen Verwirrung entstehen könnte. :happy:
Schönen Abend
 
Quell-Spannung 0V für t < 0s bisher nicht bestätigt.
Annahme daher: uq(t) = 0V für t < 0s.
 
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Guten Tag

Es sind die beiden Spannungen [tex]U_1 \ = \ -13 \mathrm{V}[/tex] und [tex]U_2 \ = \ 2 \mathrm{V}[/tex] und die Periode [tex]T \ = \ 0.4 \mathrm{s}[/tex] gegeben.
Die Zeitfunktion der idealen Rechteck -Spannungsquelle kann als Summe von Sprungfunktionen dargestellt werden: [tex]u_q(t) \ = \ U_1 \cdot \epsilon(t) \ + (U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \epsilon(t-n \cdot \frac{T}{2})[/tex].
Dabei ist [tex]n[/tex] der Index für eine Halbperiode.

Laplace-Transformation mit Anwendung des Verschiebungs-Satzes ergibt [tex]u_q(t) \ \circ-\bullet \ U_q(s) \ = \ \frac{U_1}{s} \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{\mathrm{e}^{-n \cdot s \cdot \frac{T}{2}}}{s}[/tex].

Der Widerstand [tex]R \ = \ 900 \Omega[/tex] und die Kapazität [tex]C \ = \ 400 \mu \mathrm{F}[/tex] bilden einen Spannungsteiler mit der Bildbereich -Übertragungsfunktion [tex]H(s) \ = \ \frac{U_c(s)}{U_q(s)} \ = \ \frac{\frac{1}{s \cdot C}}{R + \frac{1}{s \cdot C}} \ = \ \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s + \frac{1}{\tau}}[/tex] (Zeitkonstante: [tex]\tau \ = \ R \cdot C[/tex]).

Damit lässt sich die Kondensatorspannung im Bildbereich [tex]U_c(s) \ = \ U_q(s) \cdot H(s) \ = \ \frac{U_1}{s} \cdot \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}} \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{\mathrm{e}^{-n\cdot s \cdot \frac{T}{2}}}{s} \cdot \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}[/tex] angeben.

Mit der Partialbruchzerlegung [tex]\frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s \cdot (s + \frac{1}{\tau})} \ = \ \frac{1}{s} \ - \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}[/tex] wird daraus [tex]U_c(s) \ = \ U_1 \cdot (\frac{1}{s} \ -\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}) \ + (U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \mathrm{e}^ {-n\cdot s \cdot \frac{T}{2}} \cdot (\frac{1}{s} \ -\frac{1}{s + \frac{1}{\tau}})[/tex].

Die Laplace-Rücktransformation ergibt die Kondenstaorspannungs -Zeitfunktion [tex]U_c(s) \ \bullet-\circ \ u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \epsilon(t \ -n\cdot\frac{T}{2}) \cdot (1 \ -\mathrm{e}^{\frac{t \ -n \cdot \frac{T}{2}}{\tau}}).[/tex]
Wegen der Sprungfunktion verschwinden die Summanden ab genügend grossen [tex]n[/tex].
Deshalb kann die Summe wie folgt abgeschnitten werden: [tex]u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\left \lfloor 2 \cdot \frac{t}{T}\right \rfloor}(-1)^n \cdot (1 \ -q^n \cdot \mathrm{e}^{\frac{t}{\tau}})[/tex], wobei noch die Grösse [tex]q \ = \ \mathrm{e}^{-\frac{T}{2 \cdot \tau}} \ \ \gt 1[/tex] verwendet wird.

Für jede Halbperiode kommt ein Summand hinzu.
Mit Partialsummen endlicher geometrischer Reihen in [tex] - q [/tex] kann zusammengefasst werden.

Für geradzahlige Halbperioden-Indices [tex]n \ = \ 2 \cdot k[/tex], das Zeitintervall [tex]k \cdot T \ \le t \ \le \frac{2\cdot k+1}{2} \cdot T[/tex] gilt die steigende Funktion [tex]u_{c_{2 \cdot k}} (t) \ = \ U_2 \ +(U_1 \cdot \frac{q^{2 \cdot k + 1} -q}{q+1} \ + U_2 \cdot \frac{-q^{2 \cdot k + 1} -1}{q+1}) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}[/tex].
Es wird der Maximalwert[tex]U_{2 \cdot k}_{max} \ = \ u_{c_{2 \cdot k}} (\lbrace k + \frac{1}{2}\rbrace \cdot T) \ = \ \frac{U_1 \ +q \cdot U_2}{q+1} \ - \frac{q \cdot U_1 \ + U_2}{q^{2 \cdot k + 1} \cdot (q+1)}[/tex]erreicht. Nach unendlich vielen Perioden verschwindet der zweite Term. Dann lautet der Maximalwert [tex]U_{max} \ = \ -3.468 \cdots \mathrm{V}[/tex].

Für ungeradzahlige Indices [tex]n \ = \ 2 \cdot k+1[/tex], Intervall [tex]\frac{2 \cdot k+1}{2}\cdot T \ \le \ t \ \le (k+1) \cdot T[/tex] gibt es die fallende Funktion [tex]u_{c_{2 \cdot k + 1}} (t) \ = \ U_1 \ +(U_1 \cdot \frac{-q^{2 \cdot (k + 1)}-q}{q+1} \ +U_2 \cdot \frac{q^{2 \cdot (k + 1)}-1}{q+1}) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}[/tex].
Das Minimum ist [tex]U_{2 \cdot k+1}_{min} \ = \ u_{c_{2 \cdot k +1}} (\lbrace k + 1 \rbrace \cdot T) \ = \ \frac{q \cdot U_1 \ +U_2}{q+1} \ - \frac{q \cdot U_1 \ + U_2}{q^{2 \cdot (k + 1)} \cdot (q+1)}[/tex].
Für den stationären (eingeschwungenen) Zustand kann der zweite Term weggelassen werden, dann folgt das Minimum [tex]U_{min} \ = \ -7.531 \cdots \mathrm{V}[/tex].

Die Funktionen lassen sich z. B. mit gnuplot darstellen.quatsch.png
Code:
 U1 = -13.    # V
  U2 =   2.    # V
   T =   0.4   # s
   R = 900.    # Ohm
   C = 400.e-6 # F
 tau =   R*C   # 0.36 s
   q = exp(T/(2.*tau))  # > 1

   eps(t) = 0.5*(1.+abs(t)/t)  # Sprungfunktion
   uq(t)  = U1*eps(t) +(U2-U1)*sum [n=0:10] (-1.)**n * eps(t-n*T/2.)

   uc0(t) = U2*(1-exp(-t/tau))                                                   #   0   ..   T/2
   uc1(t) = U1 -( U1*q                     +U2*(1.-q)             )*exp(-t/tau)  #   T/2 ..   T
   uc2(t) = U2 -( U1*q*(1.-q)              +U2*(1.-q+q*q)         )*exp(-t/tau)  #   T   .. 3*T/2
   uc3(t) = U1 -( U1*q*(1.-q+q*q)          +U2*(1.-q+q*q-q*q*q    )*exp(-t/tau)  # 3*T/2 .. 2*T
   uc4(t) = U2 -( U1*q*( q** 4-1.)/(-q-1.) +U2*(-q** 5-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 2*T   .. 5*T/2
   uc5(t) = U1 -( U1*q*(-q** 5-1.)/(-q-1.) +U2*( q** 6-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 5*T/2 .. 3*T
   uc6(t) = U2 -( U1*q*( q** 6-1.)/(-q-1.) +U2*(-q** 7-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 3*T   .. 7*T/2
   uc7(t) = U1 -( U1*q*(-q** 7-1.)/(-q-1.) +U2*( q** 8-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 7*T/2 .. 4*T
   uc8(t) = U2 -( U1*q*( q** 8-1.)/(-q-1.) +U2*(-q** 9-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 4*T   .. 9*T/2   steigend
   uc9(t) = U1 -( U1*q*(-q** 9-1.)/(-q-1.) +U2*( q**10-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 9*T/2 .. 5*T     fallend
   set xrange [-T/4.  : 5.*T ]
   set yrange [-1.+U1 : U2+1.]
   set samples 1024

   plot uq(x), uc0(x), uc1(x), uc2(x), uc3(x), uc4(x), uc5(x), uc6(x), uc7(x), uc8(x), uc9(x) #, uc8(9.*T/2.), uc9(10.*T/2.)
 
nochmals Korrektur zu #13:
Bei [tex]u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \epsilon(t \ -n\cdot\frac{T}{2}) \cdot (1 \ -\mathrm{e}^{-\frac{t \ -n \cdot \frac{T}{2}}{\tau}})[/tex]
und [tex]u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\left \lfloor 2 \cdot \frac{t}{T}\right \rfloor}(-1)^n \cdot (1 \ -q^n \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}})[/tex] (vor der Definition des "q") fehlte jeweils das "-" vor dem Bruchstrich im Exponenten rechts.
Und, wie in #14 erwähnt, es muss [tex]q \ = \ \mathrm{e}^{\frac{T}{2 \cdot \tau}}[/tex] heissen.
 
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