Rechteckspannung Kondansatorspannung

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von SabineMaier, 11 Juni 2018.

  1. Hi
    muss ich um die Spannung zu den Zeitpunkten Uc(0.2s/0.4s/0.6s/0.8s mit dem Mittelwert rechnen oder die Spannung zum jeweiligen Zeitupunkt in die Lad/Entladefunktion einsetzen? Falls letzteres gilt ist es dann bei Zeitpunkt 0.2s Ent- oder Ladevorgang? Und bei 0.4s Ent-oder Ladevorgan?
    Danke schomal!
    upload_2018-6-11_13-9-36.png
     

    Anhänge:

    #1 SabineMaier, 11 Juni 2018
    Zuletzt bearbeitet: 11 Juni 2018
  2. Immer in die Zeitfunktion einsetzen. der Mittelwert bringt hier gar nichts, wenn Du die Spannungswerte zu bestimmten Zeitpunkten bestimmen willst.

    Das hängt davon ab, wie der Spannungsverlauf für t<0 ist.

    Ich würde hier auch nicht von Ladung und Entladung, sondern eher von Umladung sprechen. In jedem Fall gilt

    u_c(t)=\left( u_c(t_0) - u_c(\infty)\right)\cdot e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}+u_c(\infty)
     
    #2 GvC, 11 Juni 2018
    Zuletzt bearbeitet: 11 Juni 2018
  3. Ist dann Uc(∞) der Effektivwert? Zum Zeitpunkt t=0 ist der Kondensator ungeladen also Uc(t0)=0?
     
  4. Wieso stellst Du mir diese Frage? Die hab' ich doch Dir gestellt, als ich nach dem Spannungsverlauf für t<0 gefragt habe. Falls zum Zeitpunkt t=0 der Kondensator tatsächlich ungeladen ist, erhält die Schaltung bei t=0 einen Spannungssprung von 0 auf 2V. Es beginnt also ein Aufladevorgang, der 0,2 s anhält. Bei t=0,2 s ist die Kondensatorspannung dann auf einen bestimmten Wert gestiegen, der der Anfangswert für den dann folgenden Umladevorgang ist. Der Spannungsverlauf während des Umladevorgangs ist dann

    u_c(t)=\left(u_c(0,2s)-u_c(\infty)\right)\cdot e^{-\frac{t-0,2s}{\tau}}+u_c(\infty)

    Dabei ist u_c(\infty) der nach unendlich langer Zeit theoretisch erreichbare Spannungwert, hier also -12 V. Ob Du den als Effektivwert bezeichnest, ist doch vollkommen gleichgültig. 12 V sind 12 V.

    Wenn Du in obige Gleichung t=0,4s eingibst und die Zeitkonstante kennst (darüber hast Du noch gar nichts gesagt), erhältst Du den Anfangswert für den zur Zeit t=0,4s beginnenden neuen Umladvorgang usw.
     
  5. Ja der Kondensator ist bei t0=0 ungeladen. Die Zeitkonstante ist 0.36s (R1=900 ohm, C=400E-6 F).
    Danke für die hilfreiche Antwort
     
  6. Zwischen welchen beiden Spannungswerten Umin und Umax schwankt die Kondensatorspannung lange Zeit nach dem Einschalten der Rechteckspannung?
     
  7. Du kannst ja mal die ersten vier Zyklen oder so durchrechnen. Vielleicht erkennst Du, worauf das hinausläuft.
     
  8. @GvC, Korrektur zu #4: laut Grafik in #1 ist die "untere" (negative) Spannung des idealen Rechteck-Generators -13 V, nicht -12 V.
    Nicht, dass bei etwelchem Nachrechnen Verwirrung entstehen könnte. :happy:
    Schönen Abend
     
  9. Quell-Spannung 0V für t < 0s bisher nicht bestätigt.
    Annahme daher: uq(t) = 0V für t < 0s.
     
    #9 xeraniad, 13 Juni 2018
    Zuletzt bearbeitet: 13 Juni 2018
  10. Doch. Hier:

    Es kann natürlich sein, dass die Fragestellerin dabei einen Fehler gemacht hat. Aber worauf soll man sich verlassen, wenn nicht auf die hier gegebenen Informationen?
     
  11. Wiie groß sind eigentlich R und C?
    Falls R*C<<0,2s ist, dann wird es etwas weniger Aufwand bei der Berechnung.
     
  12.  
  13. Guten Tag

    Es sind die beiden Spannungen U_1 \ = \ -13 \mathrm{V} und U_2 \ = \ 2 \mathrm{V} und die Periode T \ = \ 0.4 \mathrm{s} gegeben.
    Die Zeitfunktion der idealen Rechteck -Spannungsquelle kann als Summe von Sprungfunktionen dargestellt werden: u_q(t) \ = \ U_1 \cdot \epsilon(t) \ + (U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \epsilon(t-n \cdot \frac{T}{2}).
    Dabei ist n der Index für eine Halbperiode.

    Laplace-Transformation mit Anwendung des Verschiebungs-Satzes ergibt u_q(t) \ \circ-\bullet \ U_q(s) \ = \ \frac{U_1}{s} \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{\mathrm{e}^{-n \cdot s \cdot \frac{T}{2}}}{s}.

    Der Widerstand R \ = \ 900 \Omega und die Kapazität C \ = \ 400 \mu \mathrm{F} bilden einen Spannungsteiler mit der Bildbereich -Übertragungsfunktion H(s) \ = \ \frac{U_c(s)}{U_q(s)} \ = \ \frac{\frac{1}{s \cdot C}}{R + \frac{1}{s \cdot C}} \ = \ \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s + \frac{1}{\tau}} (Zeitkonstante: \tau \ = \ R \cdot C).

    Damit lässt sich die Kondensatorspannung im Bildbereich U_c(s) \ = \ U_q(s) \cdot H(s) \ = \ \frac{U_1}{s} \cdot \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}} \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{\mathrm{e}^{-n\cdot s \cdot \frac{T}{2}}}{s} \cdot \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}} angeben.

    Mit der Partialbruchzerlegung \frac{1}{\tau} \cdot \frac{1}{s \cdot (s + \frac{1}{\tau})} \ = \ \frac{1}{s} \ - \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}} wird daraus U_c(s) \ = \ U_1 \cdot (\frac{1}{s} \ -\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}) \ + (U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \mathrm{e}^ {-n\cdot s \cdot \frac{T}{2}} \cdot (\frac{1}{s} \ -\frac{1}{s + \frac{1}{\tau}}).

    Die Laplace-Rücktransformation ergibt die Kondenstaorspannungs -Zeitfunktion U_c(s) \ \bullet-\circ \ u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \epsilon(t \ -n\cdot\frac{T}{2}) \cdot (1 \ -\mathrm{e}^{\frac{t \ -n \cdot \frac{T}{2}}{\tau}}).
    Wegen der Sprungfunktion verschwinden die Summanden ab genügend grossen n.
    Deshalb kann die Summe wie folgt abgeschnitten werden: u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\left \lfloor 2 \cdot \frac{t}{T}\right  \rfloor}(-1)^n \cdot (1 \ -q^n \cdot \mathrm{e}^{\frac{t}{\tau}}), wobei noch die Grösse q \ = \ \mathrm{e}^{-\frac{T}{2 \cdot \tau}}  \ \ \gt 1 verwendet wird.

    Für jede Halbperiode kommt ein Summand hinzu.
    Mit Partialsummen endlicher geometrischer Reihen in  - q kann zusammengefasst werden.

    Für geradzahlige Halbperioden-Indices n  \ = \ 2 \cdot k, das Zeitintervall k \cdot T \ \le t \ \le \frac{2\cdot k+1}{2} \cdot T gilt die steigende Funktion u_{c_{2 \cdot k}} (t) \ = \ U_2 \ +(U_1 \cdot \frac{q^{2 \cdot k + 1} -q}{q+1} \ + U_2 \cdot \frac{-q^{2 \cdot k + 1} -1}{q+1}) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}.
    Es wird der MaximalwertU_{2 \cdot k}_{max} \ = \ u_{c_{2 \cdot k}} (\lbrace k + \frac{1}{2}\rbrace \cdot T) \ = \  \frac{U_1 \ +q \cdot U_2}{q+1} \ - \frac{q \cdot U_1 \ + U_2}{q^{2 \cdot k + 1} \cdot (q+1)}erreicht. Nach unendlich vielen Perioden verschwindet der zweite Term. Dann lautet der Maximalwert U_{max} \ = \ -3.468 \cdots \mathrm{V}.

    Für ungeradzahlige Indices n \ = \ 2 \cdot k+1, Intervall \frac{2 \cdot k+1}{2}\cdot T \ \le \ t \ \le (k+1) \cdot T gibt es die fallende Funktion u_{c_{2 \cdot k + 1}} (t) \ = \ U_1 \ +(U_1 \cdot \frac{-q^{2 \cdot (k + 1)}-q}{q+1} \ +U_2 \cdot \frac{q^{2 \cdot (k + 1)}-1}{q+1}) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}.
    Das Minimum ist U_{2 \cdot k+1}_{min} \ = \ u_{c_{2 \cdot k +1}} (\lbrace k + 1 \rbrace \cdot T) \ = \  \frac{q \cdot U_1 \ +U_2}{q+1} \ - \frac{q \cdot U_1 \ + U_2}{q^{2 \cdot (k + 1)} \cdot (q+1)}.
    Für den stationären (eingeschwungenen) Zustand kann der zweite Term weggelassen werden, dann folgt das Minimum U_{min} \ = \ -7.531 \cdots \mathrm{V}.

    Die Funktionen lassen sich z. B. mit gnuplot darstellen. quatsch.png
    Code:
     U1 = -13.    # V
      U2 =   2.    # V
       T =   0.4   # s
       R = 900.    # Ohm
       C = 400.e-6 # F
     tau =   R*C   # 0.36 s
       q = exp(T/(2.*tau))  # > 1
    
       eps(t) = 0.5*(1.+abs(t)/t)  # Sprungfunktion
       uq(t)  = U1*eps(t) +(U2-U1)*sum [n=0:10] (-1.)**n * eps(t-n*T/2.)
    
       uc0(t) = U2*(1-exp(-t/tau))                                                   #   0   ..   T/2
       uc1(t) = U1 -( U1*q                     +U2*(1.-q)             )*exp(-t/tau)  #   T/2 ..   T
       uc2(t) = U2 -( U1*q*(1.-q)              +U2*(1.-q+q*q)         )*exp(-t/tau)  #   T   .. 3*T/2
       uc3(t) = U1 -( U1*q*(1.-q+q*q)          +U2*(1.-q+q*q-q*q*q    )*exp(-t/tau)  # 3*T/2 .. 2*T
       uc4(t) = U2 -( U1*q*( q** 4-1.)/(-q-1.) +U2*(-q** 5-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 2*T   .. 5*T/2
       uc5(t) = U1 -( U1*q*(-q** 5-1.)/(-q-1.) +U2*( q** 6-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 5*T/2 .. 3*T
       uc6(t) = U2 -( U1*q*( q** 6-1.)/(-q-1.) +U2*(-q** 7-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 3*T   .. 7*T/2
       uc7(t) = U1 -( U1*q*(-q** 7-1.)/(-q-1.) +U2*( q** 8-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 7*T/2 .. 4*T
       uc8(t) = U2 -( U1*q*( q** 8-1.)/(-q-1.) +U2*(-q** 9-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 4*T   .. 9*T/2   steigend
       uc9(t) = U1 -( U1*q*(-q** 9-1.)/(-q-1.) +U2*( q**10-1.)/(-q-1.))*exp(-t/tau)  # 9*T/2 .. 5*T     fallend
       set xrange [-T/4.  : 5.*T ]
       set yrange [-1.+U1 : U2+1.]
       set samples 1024
    
       plot uq(x), uc0(x), uc1(x), uc2(x), uc3(x), uc4(x), uc5(x), uc6(x), uc7(x), uc8(x), uc9(x) #, uc8(9.*T/2.), uc9(10.*T/2.)
    
    
     
  14. Korrektur zu #13: bei der Definition des q muss das Vorzeichen im Exponenten weg. Im gnuplot Code ist es richtig.
     
  15. nochmals Korrektur zu #13:
    Bei u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \epsilon(t \ -n\cdot\frac{T}{2}) \cdot (1 \ -\mathrm{e}^{-\frac{t \ -n \cdot \frac{T}{2}}{\tau}})
    und u_c(t) \ = \ U_1 \cdot (1-\mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}}) \ +(U_2-U_1) \cdot \sum_{n=0}^{\left \lfloor 2 \cdot \frac{t}{T}\right  \rfloor}(-1)^n \cdot (1 \ -q^n \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}) (vor der Definition des "q") fehlte jeweils das "-" vor dem Bruchstrich im Exponenten rechts.
    Und, wie in #14 erwähnt, es muss q \ = \ \mathrm{e}^{\frac{T}{2 \cdot \tau}} heissen.
     
  16. Das hat mir sehr geholfen. Danke das du dir die Mühe gemacht hast.
     
Schlagworte:

Diese Seite empfehlen