Problem bei ganzrationaler Funktion

Hallo zusammen,
ich ein Problem folgende Aufgabe zu lösen:

"Der Graph einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymmetrisch und hat im Punkt P1( 1 | 8 ) einen Sattelpunkt. Bestimen Sie die Funktionsgleichung."

Folgende Schritte hab ich bisher unternommen:

[tex]f \left( x \right) = a_{5}\cdot X^{5} + a_{4}\cdot X^{4} + a_{3}\cdot X^{3} + a_{2}\cdot X^{2} + a_{1}\cdot X + a_{0}[/tex]

- Hierbei fallen alle Terme mit geradem Exponenten weg (Punktsymmetrie)

[tex]f \left( x \right) = a_{5}\cdot X^{5} + a_{3}\cdot X^{3} + a_{1}\cdot X[/tex]

- Jetzt weiß ich nicht genau weiter, ich kann noch die Werte des Punktes einsetzen

[tex]8 = a_{5}\cdot 1^{5} + a_{3}\cdot 1^{3} + a_{1}\cdot 1[/tex]
[tex]8 = a_{5} + a_{3}+ a_{1}[/tex]

- Jetzt weiß ich noch, dass ich einen Sattelpunkt habe. Bei dem gilt dann doch das die 1te und 2te Ableitung 0 sind!? Also mal her mit der ersten und zweiten Ableitung.

1te:
[tex]f^{\'} \left( x \right) = 5a_{5}\cdot X^{4}+ 3a_{3}\cdot X^{2}+ a_{1}[/tex]
[tex]0= 5a_{5} \cdot 1^{4} + 3a_{3} \cdot 1^{2} + a_{1} [/tex]

2te:
[tex]f^{\'\'} \left( x \right) = 20a_{5}\cdot X^{3}+ 6a_{3}\cdot X[/tex]
[tex]0= 20a_{5} \cdot 1^{3} + 6a_{3} \cdot 1[/tex]

Mein Problem ist hier irgendwie, dass sich kein a zu einer Zahl auflösen lässt um dann später per Additionsverfahren weiter zu machen.

Kann mir einer weiterhelfen, ich stehe da gerade auf dem Schlauch! o_O
 
AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

Ich finde du bist verdammt weit gekommen.
Mit dem was du hast, kannst du bereits ein Gleichungssystem aufstellen.

[tex]a_5+a_3+a_1=8[/tex]

[tex]5a_5+3a_3+a_1=0[/tex]

[tex]20a_5+6a_3=0[/tex]

Gruß,
Michl
 
AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

Ich finde du bist verdammt weit gekommen.
Mit dem was du hast, kannst du bereits ein Gleichungssystem aufstellen.

[tex]a_5+a_3+a_1=8[/tex]

[tex]5a_5+3a_3+a_1=0[/tex]

[tex]20a_5+6a_3=0[/tex]

Gruß,
Michl
Hi Michl,
hast ja recht!

Ich habe [tex]a_{5} [/tex] mal wie folgt aufgelöst:

[tex]20a_5+6a_3=0[/tex]
[tex]a_{5} = - \frac{3}{10} a_{3} [/tex]

Dann habe ich [tex]a_{1} [/tex] so aufgelöst:

[tex]5a_5+3a_3+a_1=0[/tex]
[tex]a_{1} = - \frac{15}{10} a_{3} [/tex]

Und jetzt nur noch einsetzen:

[tex]a_5+a_3+a_1=8[/tex]
[tex]8 = - \frac{3}{10} a_{3} + \frac{10}{10} a_{3} - \frac{15}{10} a_{3} = - \frac{8}{10} a_{3}[/tex]
[tex]a_{3} = 8 \cdot - \frac{10}{8}= 10[/tex]

usw ...

Dass passt auch mit meiner Lösung!

Dank dir für den Denkanstoß, ich hätte es mir vielleicht auch mal so untereinanber schreiben sollen!
 
AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

Bitte, gern geschehen,

aber [tex]a_3 = \quad -10[/tex] nicht [tex]10[/tex], ist wohl aber nur ein Flüchtigkeitsfehler wie ich sehe.


Habe dir hier mal die Lösung :

[tex]a_5=3[/tex]
[tex]a_3=-10[/tex]
[tex]a_1=15[/tex]





Gruß,
Michl
 

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