Problem bei ganzrationaler Funktion

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von ati, 2 Nov. 2007.

  1. Hallo zusammen,
    ich ein Problem folgende Aufgabe zu lösen:

    "Der Graph einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymmetrisch und hat im Punkt P1( 1 | 8 ) einen Sattelpunkt. Bestimen Sie die Funktionsgleichung."

    Folgende Schritte hab ich bisher unternommen:

    f \left( x \right) = a_{5}\cdot X^{5} + a_{4}\cdot X^{4} + a_{3}\cdot X^{3} + a_{2}\cdot X^{2} + a_{1}\cdot X + a_{0}

    - Hierbei fallen alle Terme mit geradem Exponenten weg (Punktsymmetrie)

    f \left( x \right) = a_{5}\cdot X^{5} + a_{3}\cdot X^{3} + a_{1}\cdot X

    - Jetzt weiß ich nicht genau weiter, ich kann noch die Werte des Punktes einsetzen

    8 = a_{5}\cdot 1^{5} + a_{3}\cdot 1^{3} + a_{1}\cdot 1
    8 = a_{5} + a_{3}+ a_{1}

    - Jetzt weiß ich noch, dass ich einen Sattelpunkt habe. Bei dem gilt dann doch das die 1te und 2te Ableitung 0 sind!? Also mal her mit der ersten und zweiten Ableitung.

    1te:
    f^{\'} \left( x \right) = 5a_{5}\cdot X^{4}+ 3a_{3}\cdot X^{2}+ a_{1}
    0= 5a_{5} \cdot 1^{4} + 3a_{3} \cdot 1^{2} + a_{1}

    2te:
    f^{\'\'} \left( x \right) = 20a_{5}\cdot X^{3}+ 6a_{3}\cdot X
    0= 20a_{5} \cdot 1^{3} + 6a_{3} \cdot 1

    Mein Problem ist hier irgendwie, dass sich kein a zu einer Zahl auflösen lässt um dann später per Additionsverfahren weiter zu machen.

    Kann mir einer weiterhelfen, ich stehe da gerade auf dem Schlauch! o_O
     
  2. AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

    Ich finde du bist verdammt weit gekommen.
    Mit dem was du hast, kannst du bereits ein Gleichungssystem aufstellen.

    a_5+a_3+a_1=8

    5a_5+3a_3+a_1=0

    20a_5+6a_3=0

    Gruß,
    Michl
     
  3. AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

    Hi Michl,
    hast ja recht!

    Ich habe a_{5} mal wie folgt aufgelöst:

    20a_5+6a_3=0
    a_{5} = - \frac{3}{10} a_{3}

    Dann habe ich a_{1} so aufgelöst:

    5a_5+3a_3+a_1=0
    a_{1} = - \frac{15}{10} a_{3}

    Und jetzt nur noch einsetzen:

    a_5+a_3+a_1=8
    8 = - \frac{3}{10} a_{3} + \frac{10}{10} a_{3} - \frac{15}{10} a_{3} = - \frac{8}{10} a_{3}
    a_{3}  = 8 \cdot  - \frac{10}{8}= 10

    usw ...

    Dass passt auch mit meiner Lösung!

    Dank dir für den Denkanstoß, ich hätte es mir vielleicht auch mal so untereinanber schreiben sollen!
     
  4. AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

    Bitte, gern geschehen,

    aber a_3 = \quad -10 nicht 10, ist wohl aber nur ein Flüchtigkeitsfehler wie ich sehe.


    Habe dir hier mal die Lösung :

    a_5=3
    a_3=-10
    a_1=15





    Gruß,
    Michl
     

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  5. AW: Problem bei ganzrationaler Funktion

    Wah, natürlich "-10"! :rolleyes:

    Danke nochmal für die Lösung.

    Gruß
    Andre
     

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