Potenzrechnung die 3.

R

RudiW

Gast
Hallo habe folgende Potenzrechnung leider ohne betstätigte Lösung.

[tex]\frac{X^{n} - X^{n+ 2}- X^{n+ 1} + X^{n+ 3} }{X^{n+ 2} + X^{n- 2}- 2X^{n} } [/tex]

Viel Spass beim Lösen

RudiW
 
AW: Potenzrechnung die 3.

Hallo RudiW, netter Versuch:

[tex]X^{n}[/tex] kürzen:

[tex]\frac{ X^{3} -X^{2}-X +1 }{X^{2} + X^{-2}- 2 } [/tex]=[tex]\frac{(X+1)\cdot (X^2-1)^2}{X^{-2}\cdot(X+1)^2\cdot (X^2-1)^2 } = \frac{X^{2}}{ X+1} [/tex]
 
AW: Potenzrechnung die 3.

Hi!
Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen? Den ersten Schritt kann ich nachvollziehen, aber beim nächsten fehlts mir völlig!

netti
 
AW: Potenzrechnung die 3.

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen? Den ersten Schritt kann ich nachvollziehen, aber beim nächsten fehlts mir völlig!
Geht schon, netti,
nur so rumspielen, dann klappts schon:

Nehmen wir den Nenner und klammern aus:

[tex]X^{2} + X^{-2}- 2 [/tex] da passt das [tex]X^{-2}[/tex] nicht in das Bild, also holen wir es heraus:

[tex]X^{-2} \cdot \(X^4 - 2X^2 + 1\) [/tex] Hier sieht jetzt die Klammer aus wie die binomische Formel (a-b)²,
also das a = X² und das b = 1, das ergibt:

[tex]X^{-2} \cdot \(X^2 - 1\)^2 [/tex]

Da das eine Aufgabe für die Schule ist (bei denen meistens alles aufgeht), vermuten wir einfach, dass dieses (x²-1)² im Zähler auch enthalten ist.

Teilen wir den Zähler einfach durch (x²-1) (Polynomdivision)

und was soll ich sagen: tatsächlich geht das, wir erhalten als Ergebnis (x-1)

So jetzt setzen wir unsere Erkenntnisse mal ein:

[tex]\frac{ X^{3} -X^{2}-X +1 }{X^{2} + X^{-2}- 2 } [/tex]= [tex]\frac{(X-1)\cdot (X^2-1)}{X^{-2} (X^2-1)^2 } [/tex]

Jetzt sehen wir, dass wir die 2. Klammer kürzen können, oben die Klammer und unten das 'hoch 2'

[tex]\frac{(X-1)}{X^{-2} (X^2-1) } [/tex]

Jetzt sehen wir an der unteren Klammer noch eine Binomische Klammer: a²-b²=(a+b)(a-b)

[tex]\frac{(X-1)}{X^{-2} (X-1)(X+1) } [/tex] und schon wieder können wir kürzen, ausserdem multiplizieren wir oben und unten mit x², damit das hässliche [tex]X^{-2} [/tex] wegfällt:

[tex]\frac{X^2}{ (X+1) } [/tex]

Schon haben wir den obigen Ausdruck. :flowers:
 
AW: Potenzrechnung die 3.

Hi Isabell!

Danke für Deine Erläuterungen!!!

Das mit dem "Nur so rumspielen, dann klappts schon" finde ich echt süß! Woher wisst ihr bloß immer in welche Richtung man "rumspielen" muss???o_O

netti
 
AW: Potenzrechnung die 3.

Es gibt immer viele Wege, die zum Ziel führen, z.B.

zuerst Zähler und Nenner mal X²

[tex]\frac{x^5 - x^4 - x^3 + x^2}{(x^2 - 1)^2} [/tex]

Dann Polynomdivision durch (x²-1):
[tex]\frac{x^3 - x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2\cdot(x-1)}{(x + 1)\cdot (x-1)} = \frac{x^2}{x + 1} [/tex]

So ist es vielleicht leichter verständlich.
 
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