Polstelle auf Funktionen schließen ?

Hallo Leute, wie man aus Funktionen die Polstelle bestimmt weiß ich ja, aber wie mache ich aus der Polstelle eine Funktion ??

Beispiel :

1. Lücke bei x = 1; Polstelle mit VZW bei x = -2
2. Lücke bei x = -1, Polstellen ohne VZW bei x = 0 und mit VZW bei x = 1

Während nett wenn mir das jemand erklären könnte. =)

MfG
 
AW: Polstelle auf Funktionen schließen ?

Vermutung: Das Thema heißt gebrochen rationale Funktionen.

Eine gebrochen rationale Funktion f(x) kann in der Form
f(x) = Z(x) / N(x)
geschrieben werden, wobei Z(x) und N(x) Polynome von x sind.

Hat das Polynom N(x) eine einfache Nullstelle und ist Z(x) an dieser Stelle ungleich 0, dann hat die Funktion f(x) an dieser Stelle einen Pol mit Vorzeichenwechsel.

Hat das Polynom N(x) eine doppelte Nullstelle und ist Z(x) an dieser Stelle ungleich 0, dann hat die Funktion f(x) an dieser Stelle einen Pol ohne Vorzeichenwechsel.

Hat das Polynom N(x) eine einfache Nullstelle und ist ebenfalls Z(x) an dieser Stelle gleich 0, dann hat die Funktion f(x) an dieser stelle eine hebbare Lücke.

(1)

Hebbare Lücke bei x = 1. Also Nullstellen von Z(x) und N(x) bei x = 1 bauen.
Z(x) = x - 1
N(x) = x - 1

Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = -2. Also noch eine Nullstelle in N(x) bei x = -2 einbauen.
N(x) = ( x - 1 ) ( x + 2 )

Funktion aufschreiben:
[tex] f(x) = \frac{ x - 1 }{ (x - 1 ) \cdot ( x + 2 ) } [/tex]

(2)

Hebbare Lücke bei x = -1. Also Nullstellen von Z(x) und N(x) bei x = -1 bauen.
Z(x) = x + 1
N(x) = x + 1

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = 0. Also noch eine doppelte Nullstelle in N(x) bei x = 0 einbauen.
N(x) = x^2 ( x + 1 )

Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 1. Also noch eine Nullstelle in N(x) bei x = 1 einbauen.
N(x) = x^2 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Funktion aufschreiben:
[tex] f(x) = \frac{ x + 1 }{ x^2 \cdot (x + 1 ) \cdot ( x - 1 ) } [/tex]
 
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