Massenträgheitsmoment I

Dieses Thema im Forum "techn. Mechanik" wurde erstellt von shifty83, 13 Dez. 2012.

  1. Hi,

    ich hätte eine Frage bezüglich der "Dynamischen Rotation".

    Ich hab ein Körper, den steck ich auf ne Welle und will ihm drehen lasen.
    Um seine eigene Achse.



    Das weiß ich:


    Eine Kraft F wirk so ...
    Rotation 1.jpg

    Jetzt wirk ihr die Trägheitskraft FT entgegen.
    Rotation 2.jpg



    für die Trägheitskraft:
    [TABLE="class: grid, width: 800"]
    [TR]
    [TD]F = m * a[/TD]
    [TD="align: center"][/TD]
    [TD="align: center"][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]FT = m * aT[/TD]
    [TD="align: center"][/TD]
    [TD="align: center"][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]FT = m * r * \alpha [/TD]
    [TD="align: center"]aT = r * \alpha [/TD]
    [TD="align: center"]\alpha ist in meinen Unterlagen die Winkelbeschleunigung[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]




    FT verursacht ein Drehmoment -> MT
    [TABLE="class: grid, width: 500"]
    [TR]
    [TD]M = F * l[/TD]
    [TD][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]MT = FT * r[/TD]
    [TD][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]MT = m * r * \alpha * r[/TD]
    [TD="align: center"]FT von oben eingesetzt[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]MT = m * r * r * \alpha [/TD]
    [TD][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]MT = m * r2 * \alpha [/TD]
    [TD][/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]

    Jetzt steht in meinen Unterlagen drin ...
    I = ∑m * r2

    [TABLE="class: grid, width: 500"]
    [TR]
    [TD]MT = m * r2 * \alpha [/TD]
    [TD][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]MT = I * \alpha [/TD]
    [TD]I = ∑m * r2[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]







    Soweit komm ich mit den Formeln zurecht.
    Glaub zu verstehen was wo herkommt und warum.

    Jetzt das Problem.
    In meiner Formelsammlung stehen gewisse Formeln für I.
    Einfache Körper bei Rotation.


    zum Beispiel ...


    Für Kreizylinder :
    (Schleifscheibe)
    Kreiszylinder.jpg

    [TABLE="class: grid, width: 250"]
    [TR]
    [TD]I = \frac{m}{2} \cdot r^{2} [/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]
    Warum hier die Masse durch zwei teilen???



    Für Kugel :

    Kugel.jpg

    [TABLE="class: grid, width: 250"]
    [TR]
    [TD]I = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^{2} [/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]
    Hier wird mit \frac{2}{5} der Masse gerechnet.
    Warum???




    Woher kommen die Formeln?
    Dachte zuerst ich teile die Masse einfach durch zwei, aber nein das ist ja leider nicht der Fall.
    :D





    Mfg
    shifty
     
  2. AW: Massenträgheitsmoment I

    Hallo shifty,
    gib mir per PN deine Mail- Adresse, dann maile ich dir eine gute Erklärung aus einem Buch.

    Gruß:
    Manni
     
  3. AW: Massenträgheitsmoment I

    Das 1/2 kommt daher, weil man über Zylinderkoordinaten integriert mit nem 3 fach Integral wenn man das Trägheitsmoment um die Schwereachse des Zylinders mit homogener Massenverteilung,also kostanter Dichte wissen wissen will :

    Definiert ist I als I= Dichte rho mal Volumenintegral r² dv

    Das Volumenelement dv kann man als dv= dx*dy*dz= r* dphi* dr *dz schreiben, wobei das r aus der Jacobimatrix für Koordinatensythemtrasformationen folgt, wenn man dx und dy in dphi und dr umwandelt, was eben güstiger ist bei nem Zylinder.

    Das sind die Grenzen dann für nen Zylinder:
    0 bis 2pi wird dphi integriert
    o bis r das dr
    -z/2 bis +z/2 das dz

    So sieht das Integral dann ohne Grenzen aus
    I= roh*Integral dphi Integral r^3*dr Integral dz

    Setzt man obige Grenzen ein und rechnets aus kommt I= Pi r^4/2*z*roh raus.
    Nun ist Dichte roh= m/V=m/(Pi*r²*z) , weil Pi*r²*z das Zylindervolumen ist .
    Wenn man das in I= Pi r^4/2*z*roh einsetzt kommt I= m/2 *r² raus.



    In deinen Formeln oben ist gemeint du musst das jeweilige I für die entsprechende Drehachse in der jeweiligen Aufgabenstellung reinsetzten, daher ist es im Regelfall immer anders, weil Steineranteile dazukommen, wenn nicht um die Hautpträgheitsachse gedreht wird.
    Jeder Körper hat auch ein anderes Trägheitsmoment, je nach Form, Volumen und Dichte und Achslage, bei der Kugel kann man das von dir aus ner Formelsammlung angebene Trägheitsmoment I auch über integration herleiten, nur habe ich keine Zeit das jetzt hinzuschreiben.
    Deswegen steht es auch in Formelsammlungen, damit mans nicht selber ausrechnen muss, man muss dann in der Formelsammlung nur für die jeweilige Aufgabe dann mit dem Steinersatz die I umrechnen, wenn sich die Drehachslage des Körpers paralelle verschiebt.
     
    #3 neoneoneo, 13 Dez. 2012
    Zuletzt bearbeitet: 13 Dez. 2012

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