Magnetfeld_Aufgabe

[Kucma]

Hallo Leute,

ich hoffe hier antworten finden zu können zu einigen Fragen. Es geht darum, dass ich einige Aufgaben erhalten habe, die als Basis für eine Prüfung nächste Woche darstellen. Insgesamt sind es fünf Aufgaben. Damit es nicht ganz durcheinander wird erstelle ich einen eigenen Thread pro Aufgabe und hoffe ihr seid mir deswegen nicht ganz so böse

Themen sind: Kinematik, Reibung, Stoß, Gravitation und Magnetfeld.

Die Aufgaben habe ich soweit auch durchgerechnet nur bin mir jetzt nicht wirklich sicher, ob die Lösung auch korrekt ist :?

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Zur Aufgabe:
Ein Elektron wird durch eine Spannung von 250 V beschleunigt:

a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit?
Das Elektron bewegt sich nun durch ein 3cm breites Magnetfeld der magnetischen Induktion B=1,5mTesla senkrecht zu v.

b) Um wieviel wird das Elektron am Ende des Magnetfeldes aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt?

c) Unter welchem Winkel (alpha) verlässt das Elektron das Magnetfeld?

d) Welches 4cm breite elektrische Feld (Betrag und Richtung) bewirkt die gleiche Ablenkung wie das Magnetfeld?

e) Unter welche, Winkel (beta) verlässt dann das Elektron das elektrische Feld?

gegebene Konstanten: [tex]e=1,602\cdot 10^{-19} As,\ m_{e} =9,11\cdot 10^{-31} kg[/tex]


Mein Lösungsansatz:
Für meine Lösungen habe ich aus wikipedia etwas gefunden. In dem Artikel wird der Plattenkondensator beschrieben und die damit verbundenen Aufgaben nach einem Schema F abgearbeitet - meine Lösung ist daher mehr eine cut-copy-paste-Sache (denke das die Lösungen trotzdem richtig sind ). Unsicher bin ich bei Aufgabe d) und e)

Ich hoffe der Anhang Magnetfeld_Aufgabe_Skizze hilft meinen Lösungsweg zu verstehen​

zu a) Geschwindigkeit des Elektrons vor dem Magnetfeld​

aus der Formelsammlung gilt allgemein: [tex]e\cdot U=\frac{1}{2} \cdot m_{e} v^{2} [/tex]

Die Formel aufgelöst nach v: [tex]v=\sqrt{\frac{2e\cdot U}{m_{e} } } =WerteEinsetzen=9,38\cdot 10^{6} m/s[/tex]



Resultat: Das Elektron hat vor dem Eintritt in das Magnetfeld eine Geschwindigkeit von 9,38x10^6 m/s.

zu b): Ablenkung des Elektrons im Magnetfeld​

auch hier habe ich ein Schema F zum lösen der Aufgabe genutzt. Hoffe halt das die Lösung stimmt.

gesucht: d (Ablenkung)

Kreisbahn ---> Radialkraft
[tex]F_{r} =F_{l} \\ m_{e} \frac{v^{2} }{r} =e\cdot v\cdot B\Rightarrow r=\frac{m_{e}v_{e} }{eB} =3,56\cdot 10^{-11} =3,56cm[/tex]

Den Radius r von der Kreisbahn brauche ich als Ansatz um auf die Ablenkung d zu kommen, aber wieso ist das Ergebnis cm? Wenn ich die Einheiten betrachte erhalte ich kein Zentimeter, sondern Meter - laut Schema F soll es aber Zentimeter sein?

weiterführend wird die Formel aus dem Anhang Magnetfeld_Aufgabe_Skizze erklärt:

[tex]cos\varphi =\frac{3cm}{r} \Rightarrow \varphi =arcos\frac{3cm}{3,56cm} =32,57^{o} [/tex]

[tex]sin\varphi =\frac{r-d}{r} \Rightarrow d=-r\cdot sin\varphi +r=-3,56cm\cdot sin32,57^{o }+3,56cm =1,64cm[/tex]

Resultat: Die Ablenkung des Elektrons im Magnetfeld beträgt 1,64 cm???

zu c): Austritt (alpha) des Elektrons aus dem Magnetfeld​

[tex]tan\alpha =\frac{d}{x} \Rightarrow \alpha =arctan\frac{d}{x} =arctan\frac{1,64cm}{3cm} =28,66^{o } [/tex]

zu d): Das elektrische Feld, welches die selbe Ablenkung wie a) bewirkt​

Hierzu habe ich eine Aufgabe gefunden, wo die selben Sachen gefragt wurden - die Formel verstanden (wie komme ich auf die Formel) habe ich leider aber nicht. Wenn jemand erklären könnte wie ich auf die Formel komme und was mir das Ergebnis jetzt tatsächlich sagt wäre super :)
[tex]E=\frac{2\cdot d\cdot m_{e} }{e\cdot (\frac{0,04m}{9,38\cdot 10^{6}m/s }) ^{2} }=WerteEingesetzt=10256,88\frac{V}{m} [/tex]

zu d) Ablenkung (beta) für Elektron durch das elektrische Feld​

[tex]\beta =arctan\frac{d}{x_{E} } =arctan\frac{0,0164m}{0,04m} =22,29^{o } [/tex]





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[GvC]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

a) und b) richtig, obwohl ein bisschen umständlich berechnet. Man sollte immer mit allgemeinen Größen bis zum Schluss rechnen. Zuvor berechnete Zahlenwerte sind immer mit Rundungsfehlern behaftet. So ist z.B die Formel für den Kreisradius

[tex]r = \sqrt{\frac{2mU}{eB^2}}[/tex]

Man verwendet also nicht den zuvor berechneten (gerundeten) Geschwindigkeitswert.

c) Da hast Du Dich verrechnet. Wenn Du Dir Deine Skizze genau anschaust, musst Du erkennen, dass der Austrittswinkel gerade der Ergänzungswinkel von [tex]\varphi[/tex] zu 90° sein muss.

d1) Ebenfalls verrechnet. Selbst mit den (gerundeten) Zahlenwerten kommt nicht das von Dir genannte Ergebnis raus. Aber auch hier würde ich zunächst mit allgemeinen Größen rechnen, bis sich nichts mehr kürzen und vereinfachen lässt. Dann erhältst Du nämlich

[tex]E = \frac{4dU}{l^2}[/tex]

mit d = unter b) berechnete Auslenkung
und l = "Breite" es elektrischen Feldes

d2) Mit der Winkelberechnung hat's ja schon bei c) gehapert. Den Tangens des Winkels kannst Du nur durch das Verhältnis von senkrechtem zu waagrechtem Geschwindigkeitsanteil bestimmen, also

[tex]tan\beta = \frac{v_y}{v_x}[/tex]

Wenn Du für die Geschwindigkeitsanteile die zuvor bestimmten allgemeinen Ausdrücke einsetzt, kürzt sich das meiste raus, und es bleibt übrig

[tex]tan\beta = \frac{2d}{l}\qquad \Rightarrow\qquad\beta = 60,6^{\circ}[/tex]

 

[Kucma]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

Hmm werde die Aufgaben noch mal nachrechnen müssen. Zum Runden: Mein Lehrer meint immer man solle bis nach der dritten Nachkommastelle runden denn alles andere wäre nur Spießerei, da die meisten Messgeräte auch Rundungsfehler haben.

Aufgabenteil d) und e) muss ich mir noch mal ganz in Ruhe zu Gemüte nehmen :)
Formel hinnehmen ist ja nicht verstehen.

 

[GvC]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

Ich glaube, Du hast meinen Einwand bzgl. des Rechnens mit allgemeinen Größen missverstanden und nur auf die Frage bezogen, nach welcher Stelle man runden sollte. Das habe ich aber gar nicht gemeint. Wenn Du mit allgemeinen Größen rechnest, kürzt sich meistens 'ne Menge weg, wie ich an Beispielen aus der Aufgabe gezeigt habe. Ein schöner Nebeneffekt ist, dass man im Zuge der gesamten Rechnung nur einmal, und zwar ganz zum Schluss rundet, während Du nach Deiner Methode mit mehreren Werten rechnest, die bereits gerundet sind und das Ergebnis dann noch einmal runden musst. Da können sich im Extremfall erhebliche Abweichungen ergeben. Aber eigentlich kannst Du natürlich machen, was Du für richtig hältst. War nur ein Tipp von mir.

 

[Kucma]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

a) und b) richtig, obwohl ein bisschen umständlich ...

Wenn Du für die Geschwindigkeitsanteile die zuvor bestimmten allgemeinen Ausdrücke einsetzt, kürzt sich das meiste raus, und es bleibt übrig

[tex]tan\beta = \frac{2d}{l}\qquad \Rightarrow\qquad\beta = 60,6^{\circ}[/tex]

Irgendwie mag ich es umständlich :) Ist leider ein Manko von mir. Einfacher ist, aber i.d.R. besser da gebe ich dir auf jeden Fall recht.

Zu deiner Lösung habe ich aber noch eine Frage: Wieso nimmst du 2d? In der Aufgabe war doch die Rede, dass ein elektrisches Feld gesucht wird wo die Ablenkung gleich dem magnetischen Feld ist. Also müsste doch d(B) = d(E) sein oder nicht?

 

[GvC]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

Ich sag ja, Du hast es nicht so mit den Winkeln. Aber rechne mal, wie von mir vorgeschlagen, mit allgemeinen Ausdrücken bis zum Schluss. Dann siehst Du, was automatisch bei vy/vx rauskommt.

Oder Du machst Dir eine Skizze trägst Dir dort die Parabelbahn des Elektrons ungefähr ein. Dazu die Tangente an die Bahn im Austrittspunkt. Du wirst sehen, dass die Tangente die gedachte geradlinige Bahn (ohne E-Feld) nicht am Eingang in den Ablenkkondensator schneidet, sondern irgendwo mittendrin (nämlich genau bei l/2). Das lässt sich auch durch die Ableitung der Parabelfunktion nachweisen.

Ich hab' aber, so scheint's, einen Fehler beim arctan gemacht. Dürften eigentlich nur 39,4° sein.

 

[Kucma]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

c) Da hast Du Dich verrechnet. Wenn Du Dir Deine Skizze genau anschaust, musst Du erkennen, dass der Austrittswinkel gerade der Ergänzungswinkel von [tex]\varphi[/tex] zu 90° sein muss.

d1) Ebenfalls verrechnet. Selbst mit den (gerundeten) Zahlenwerten kommt nicht das von Dir genannte Ergebnis raus. Aber auch hier würde ich zunächst mit allgemeinen Größen rechnen, bis sich nichts mehr kürzen und vereinfachen lässt. Dann erhältst Du nämlich

[tex]E = \frac{4dU}{l^2}[/tex]

mit d = unter b) berechnete Auslenkung
und l = "Breite" es elektrischen Feldes

d2) Mit der Winkelberechnung hat's ja schon bei c) gehapert. Den Tangens des Winkels kannst Du nur durch das Verhältnis von senkrechtem zu waagrechtem Geschwindigkeitsanteil bestimmen, also

[tex]tan\beta = \frac{v_y}{v_x}[/tex]

Wenn Du für die Geschwindigkeitsanteile die zuvor bestimmten allgemeinen Ausdrücke einsetzt, kürzt sich das meiste raus, und es bleibt übrig

[tex]tan\beta = \frac{2d}{l}\qquad \Rightarrow\qquad\beta = 60,6^{\circ}[/tex]

Ich möchte wirklich nicht nerven, aber ich verstehe echt nicht wie du das meinst. Habe die Sachen mehrmals umgezeichnet nur kommt einfach nichts bei raus außer mehr Verwirrung. Könntest du mir das vielleicht mit einer Zeichnung erklären? Auf den Punkt gebracht verstehe ich nicht wieso PHI um 90° verdreht ist und die Erklärung zu Teilaufgabe d ist gänzlich von mir unverstanden geblieben :(

 

[GvC]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

Dein grundsätzlicher Fehler bei der Winkelbestimmung ist, dass Du die direkte Verbindung zwischen Eintritts- und Austrittspunkt als die Richtung annimmst, in der das Elektron das Feld verlässt. Das ist falsch! Richtig ist, dass die Richtung, in der das Feld verlassen wird, die am Austrittspunkt bestehende Geschwindigkeitsrichtung ist, also die Tangente an die Bahnkurve am Austrittspunkt. Im Falle der Kreisbahn steht die Tangente senkrecht auf dem Berührradius. Deshalb ist im ersten Fall (magn. Feld, Kreisbahn) der Austrittswinkel der Ergänzungswinkel zu 90° des von Dir berechneten Winkels phi. Im zweiten Fall (elektrisches Feld, Parabelbahn) ist die Richtung der Geschwindigkeit beim Verlassen des Feldes gerade gleich dem Winkel, dessen Tangens vx/vy ergibt (vx = Geschwindigkeit in x-Richtung, vy = Geschwindigkeit in y-Richtung).

Ich habe versucht, die richtigen Winkel in Deine Skizzen einzutragen (s.u.).

Zur Rechnung eines vorweg: Du hast die Feldstärke richtig berechnet. Ich habe meinen Taschenrechner falsch bedient.

Die Vorgehensweise bei der allgemeinen Rechnung ist so (Bewegung beim Eintritt ins Feld sei die x-Richtung, die Ablenkung in y-Richtung):

[tex]\frac{1}{2}mv_x^2 = e\cdot U[/tex]

[tex]v_x^2 = \frac{2eU}{m}[/tex]

[tex]v_x = \sqrt{\frac{2eU}{m}}[/tex]

Magnetfeld, Kreisbahn:

[tex]\frac{mv_x^2}{r} = ev_xB[/tex]

vx kürzen:

[tex]\frac{mv_x}{r} = eB\qquad\Rightarrow\qquad r = \frac{mv_x}{eB}[/tex]

vx von oben einsetzen:

[tex]r=\frac{m}{eB}\sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2mU}{eB^2}} = 3,56cm[/tex]

Jetzt kommt die von Dir richtig durchgeführte Berechnung der Auslenkung mit dem Ergebnis

d = 1,64cm

Elektrisches Feld, Parabelbahn:

In x-Richtung gleichmäßige Bewegung mit der oben bestimmten Geschwindigkeit vx. In y-Richtung gleichmäßig beschleunigte Bewegung infolge der konstanten Feldkraft F = e*E.

[tex] d = \frac{1}{2}a_yt^2[/tex]

Dabei lässt sich die Beschleunigung in Auslenkrichtung aus der Feldkraft bestimmen. Die Zeit, in der das Elektron in y-Richtung beschleunigt wird, ist dieselbe Zeit, die das Elektron braucht, um das Feld der Breite l in x-Richtung zu durchfliegen. Also:

[tex] F = eE = ma_y\qquad\Rightarrow\qquad a_y = \frac{eE}{m}[/tex]

[tex] t = \frac{l}{v_x}\qquad\Rightarrow\qquad t^2=\frac{l^2}{v_x^2}[/tex]

Einsetzen in die Bestimmungsggleichung für d:

[tex]d = \frac{1}{2}\frac{eE}{m}\frac{l^2}{v_x^2}[/tex]

vx² von oben einsetzen und kürzen:

[tex]d = \frac{1}{2}\frac{eEl^2}{m}\frac{m}{2eU} = \frac{El^2}{4U}[/tex]

Nach E auflösen und Zahlenwerte einsetzen:

[tex]E = \frac{4Ud}{l^2} = 10,25\frac{kV}{m}[/tex]

Bestimmung der Geschwindigkeit in y-Richtung bei Austritt aus dem Feld:

[tex]v_y=at=\frac{eE}{m}\frac{l}{v_x}[/tex]

Tangens des Austrittswinkels:

[tex]tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eEl}{mv_x^2}[/tex]

E und vx² waren oben bereits allgemein berechnet worden und können hier eingesetzt werden. Danach kürzen:

[tex]tan\beta = \frac{eEl}{m}\frac{m}{2eU} = \frac{El}{2U} = \frac{4Ud}{l^2}\frac{l}{2U} = \frac{2d}{l}[/tex]

[tex]\Rightarrow\qquad\beta=arctan\left(\frac{2d}{l} \right)=39,35^{\circ}[/tex]

 

[Kucma]

AW: Magnetfeld_Aufgabe

Vielen vielen vielen lieben Dank. Dank dir werden mir auch jetzt die Formulierungen im Tipler verständlich.