Kurvendiskussion

[quasimodo]

Hallo. Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich komm einfach nicht drauf wie ich hier die Nullstelle(n) berechne. Über eine Aufklärung wäre ich sehr dankbar. DANKE AN EUCH! :)

f(x)= 3/8x^4 -x^3 +2

 

[Isabell]

AW: Kurvendiskussion

Hallo. Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich komm einfach nicht drauf wie ich hier die Nullstelle(n) berechne. Über eine Aufklärung wäre ich sehr dankbar. DANKE AN EUCH! :)

f(x)= 3/8x^4 -x^3 +2

Lösen der biquadratischen Gleichung 0,375x^4 - x³ + 2 = 0
——————————————————————————————————————————————————————————————

Die Gleichung wird zunächst durch Division mit 0,375 auf die Normalform
x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 gebracht.

x^4 - 2,6666666666666665x³ + 5,333333333333333 = 0

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y + 0,6666666666666666)^4 - 2,6666666666666665(y + 0,6666666666666666)³ + 5,333333333333333 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = -2,6666666666666665
q = a³/8-ab/2+c = -2,3703703703703702
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 4,7407407407407405

y^4 - 2,6666666666666665y² - 2,3703703703703702y + 4,7407407407407405 = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ + 5,333333333333333z² - 11,851851851851851z + 5,618655692729766 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

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Lösen der kubischen Gleichung x³ + 5,333333333333333x² - 11,851851851851851x + 5,618655692729766 = 0
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 1,7777777777777777)³ + 5,333333333333333(y - 1,7777777777777777)² - 11,851851851851851(y - 1,7777777777777777) + 5,618655692729766 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -21,333333333333332
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 37,925925925925924

y³ - 21,333333333333332y + 37,925925925925924 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -21,333333333333332 q = 37,925925925925924

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 0.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 0

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -2,6666666666666665

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -2,6666666666666665

y1 = u + v = -5,333333333333333
y2 = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 2,6666666666666665
y3 = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 2,6666666666666665
Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=5,333333333333333 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x1 = -7,111111111111111
x2 = 0,8888938849031974
x3 = 0,8888938849031974

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Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z1 = -7,111111111111111
z2 = 0,8888938849031974
z3 = 0,8888938849031974

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 5,618655692729766.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y1 = ( sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) + sqr(-z 3) ) / 2
y2 = ( sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2
y3 = (-sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2
y4 = (-sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) + sqr(-z3 ) ) / 2

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 2,3703703703703702 ist.

Die Wurzeln

sqr(7,111111111111111) = -2,6666666666666665
sqr(-0,8888938849031974) = -0,9428116911150378·î
sqr(-0,8888938849031974) = -0,9428116911150378·î

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y1 = -1,3333333333333333 - 0,9428090415820634·î
y2 = -1,3333333333333333 + 0,9428090415820634·î
y3 = 1,3333333333333335
y4 = 1,3333333333333335

und nach Subtraktion von a/4 ( = -0,6666666666666666 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:

x1 = -0,6666666666666666 - 0,9428090415820634·î
x2 = -0,6666666666666666 + 0,9428090415820634·î
x3 = 2
x4 = 2

Einfacher gehts mit aufzeichnen und Polynomdivision zweimal durch (x-2)

 

[Isabell]

AW: Kurvendiskussion

Noch die Polynomdivisionen

 

[MartinRo]

AW:Kurvendiskussion

Dem kann ich nicht mehr folgen, vor allem, wie Du auch noch die komplexen Nullstellen ermittelt hast, Genial!

Polynomdivision mit (x-2) verstehe ich, jedoch musst man die doppelte Nullstelle bei 2 schätzen! Oder?

Wie komme ich mit der Polynomdivision dann auf die komplexen Nullstellen?


Edit: Antwort bereits da! 3/8x^2+1/2x+1/2 auf Null setzten. Zumindest erhalte ich dann zwei von vier komplexen Nullstellen.

 

[Isabell]

AW: Kurvendiskussion

Nur der Vollständigkeit halber:
@Martin: es sind nur 2 komplexe Nullstellen, die anderen beiden sind 2 und 2

Lösen der Gleichung 0,375x² + 0,5x + 0,5 = 0


Zunächst wird die Gleichung durch Division mit dem Koeffizienten vor x²
auf Normalform gebracht:

x² + 1,3333333333333333x + 1,3333333333333333 = 0

An der Normalform werden p und q abgelesen,
p ist der Faktor vor dem x, und q ist die einzelne Zahl:

p = 1,3333333333333333 q = 1,3333333333333333

Diese Werte werden in die p-q-Lösungsformel für x und x eingesetzt:
x1 = -1,3333333333333333/2 - sqr( 1,3333333333333333²/4 - 1,3333333333333333 )

= -0,6666666666666666 - sqr( 0,4444444444444444 - 1,3333333333333333 )

Vorsicht: negativer Radikand, daher keine reelle Lösung!

= -0,6666666666666666 - sqr(-0,8888888888888888)

= -0,6666666666666666 - 0,9428090415820634·î


x2 = -1,3333333333333333/2 + sqr( 1,3333333333333333²/4 - 1,3333333333333333 )
= -0,6666666666666666 + sqr( 0,4444444444444444 - 1,3333333333333333 )

Vorsicht: negativer Radikand, daher keine reelle Lösung!

= -0,6666666666666666 + sqr(-0,8888888888888888)

= -0,6666666666666666 + 0,9428090415820634·î

 

[MartinRo]

AW: Kurvendiskussion

es sind nur 2 komplexe Nullstellen, die anderen beiden sind 2 und 2

Ja nur zwei!

Mit Deinen genialen Beiträge habe ich echt dazu gerlernt, obwohl ich den ersten noch studieren muss. Klasse Isi

 

[Isabell]

AW: Kurvendiskussion

Mit Deinen genialen Beiträge habe ich echt dazu gerlernt, obwohl ich den ersten noch studieren muss.

Nix genial, Martin, dank Arnt Brünner kann das jeder:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

 

[MartinRo]

AW: Kurvendiskussion

Hallo Isi,

Du kommst mit "Arndt Brünner" auf diese Lösungsvorstellung?

Lösen der biquadratischen Gleichung 0,375x^4 - x³ + 2 = 0
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Die Gleichung wird zunächst durch Division mit 0,375 auf die Normalform
x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 gebracht.

x^4 - 2,6666666666666665x³ + 5,333333333333333 = 0

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y + 0,6666666666666666)^4 - 2,6666666666666665(y + 0,6666666666666666)³ + 5,333333333333333 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = -2,6666666666666665
q = a³/8-ab/2+c = -2,3703703703703702
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 4,7407407407407405

y^4 - 2,6666666666666665y² - 2,3703703703703702y + 4,7407407407407405 = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ + 5,333333333333333z² - 11,851851851851851z + 5,618655692729766 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

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Lösen der kubischen Gleichung x³ + 5,333333333333333x² - 11,851851851851851x + 5,618655692729766 = 0
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 1,7777777777777777)³ + 5,333333333333333(y - 1,7777777777777777)² - 11,851851851851851(y - 1,7777777777777777) + 5,618655692729766 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -21,333333333333332
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 37,925925925925924

y³ - 21,333333333333332y + 37,925925925925924 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -21,333333333333332 q = 37,925925925925924

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 0.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 0

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -2,6666666666666665

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -2,6666666666666665

y1 = u + v = -5,333333333333333
y2 = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 2,6666666666666665
y3 = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 2,6666666666666665
Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=5,333333333333333 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x1 = -7,111111111111111
x2 = 0,8888938849031974
x3 = 0,8888938849031974

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Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z1 = -7,111111111111111
z2 = 0,8888938849031974
z3 = 0,8888938849031974

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 5,618655692729766.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y1 = ( sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) + sqr(-z 3) ) / 2
y2 = ( sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2
y3 = (-sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2
y4 = (-sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) + sqr(-z3 ) ) / 2

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 2,3703703703703702 ist.

Die Wurzeln

sqr(7,111111111111111) = -2,6666666666666665
sqr(-0,8888938849031974) = -0,9428116911150378·î
sqr(-0,8888938849031974) = -0,9428116911150378·î

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y1 = -1,3333333333333333 - 0,9428090415820634·î
y2 = -1,3333333333333333 + 0,9428090415820634·î
y3 = 1,3333333333333335
y4 = 1,3333333333333335

und nach Subtraktion von a/4 ( = -0,6666666666666666 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:

x1 = -0,6666666666666666 - 0,9428090415820634·î
x2 = -0,6666666666666666 + 0,9428090415820634·î
x3 = 2
x4 = 2
[/B]

Das glaub ich nicht

 

[MartinRo]

AW: Kurvendiskussion

Geht Doch!

 

[quasimodo]

AW: Kurvendiskussion

auweiaaaaaaaaaaaaa. das mit der polynomdivision versteh ich auch noch aber der rest ist zu hoch...... dank euch...........

 

[Isabell]

AW: Kurvendiskussion

auweiaaaaaaaaaaaaa. das mit der polynomdivision versteh ich auch noch aber der rest ist zu hoch...... dank euch...........

Hallo quasimodo,
wahrscheinlich stören Dich die komplexen Wurzeln? Denn die Auflösung der quadratischen Gleichung nach der Polynomdivision ist Dir doch geläufig, oder?

 

[quasimodo]

AW: Kurvendiskussion

hi isi.... ja genau das mit den k. wurzel ist etwas kompliziert so etwas hatten
wir gar nicht geübt aber das mit der polynomdivision ist genial....:)

 

[Karlibert]

AW: Kurvendiskussion

HI!

Bis zu einem gewissen Punkt (wenn es denn überhaupt vorkommt) arbeitet man in (Fach-)Schulen nicht mit komplexen Zahlen sondern bleibt im Zahlenraum der reellen Zahlen, wo es eben auch nur reelle Zahlen Lösungen für solche Gleichungen gibt.

cu
Volker