Koppelgetriebe mit Umlenkhebel. Übertragungsfunktion EIngangsweg zu Ausgangsweg

[Heinopei]

Hallo liebe Techniker,

ich tüftle gerade an einer Antriebslösung herum bei der ich eine (nahezu) horizontale Bewegung eines Hydraulikzylinders in eine rein vertikale Bewegung einer Rolle überführen möchte.
Die Achse der Rolle ist vertikal geführt und über eine Koppelstange (der Länge l_ss) mit einem Umlenkhebel (90°, Schenkellängen l_1 und l_2) verbunden. Am anderen Schenkel des Umlenkhebels ist die Kolbenstange des Hydraulikzylinders befestigt. Der Hydraulikzylinder (mit der Gesamtlänge l_z ) ist am Boden über ein Schwenkauge drehbar gelagert. Der Ausfahrweg (s_z) des Hydraulikzylinders ist im Ausgangszustand = 0.
Gesucht ist die Übertragungsfunktion des vertikalen Wegs der Rolle (s_rolle) zu dem Weg der Kolbenstange (s_z) unabhängig der Winkel.

Ich habe eine Zeichnung angehängt in der ich alle relevanten Größen und zusätzlich einiger Winkel dargestellt habe. Dargestellt ist einerseits die Ausgangsposition (Umlenkhebel hellgrau, Linien durchgehend) sowie eine ausgelenkte Position (Umlenkhebel dunkelgrau, Linien gestrichtelt). In hellgrau gepunktet sind außerdem die Bewegungsradien des Umlenkhebels sowie der des Zylinders dargetellt.
Zudem habe ich die Längen x,y und z eingezeichnet. Mithilfe derer ich folgende Überlegungen angestellt habe.

[tex] s_{rolle} = 𝑙_{𝑠𝑠}\cdot cos⁡(\beta)+𝑙_2\cdot sin⁡(\varphi)−𝑙_{𝑠𝑠}\\ \\ \text{Aus Überlegungen zur Strecke x folgt }\\ x = 𝑙_{𝑠𝑠}\cdot sin⁡(\beta)\\ x = l_2 - l_2 \cdot cos(\varphi)\\ \Rightarrow sin⁡(\beta) = \frac{l_2}{l_{ss}} \cdot (1-cos(\varphi))\\ \text{Aus Überlegungen zur Strecke z folgt }\\ z = (l_z + s_z) \cdot cos(\alpha)-l_z\\ z = l_1 \cdot sin{\varphi}\\ \Rightarrow sin⁡(\varphi) = \frac{l_z + s_z}{l_1} \cdot cos(\alpha)- \frac{l_z}{l_1} \\ [/tex]

Nun kann man hier schön nach den Winkeln auflösen, und ineinander einsetzen und umstellen und bekommt schließlich folgende herrlich komplizierte Formel heraus.

[tex] s_{rolle}= l_{ss} \cdot \sqrt{1-\frac{l_2^2((1-\sqrt{1-(\frac{l_z}{l_1}-\frac{cos(\alpha)\cdot(l_s+s_z)}{l_1})^2})^2}{l_{ss}^2} } - l_{ss}+l_2\cdot(\frac{l_z}{l_1}-\frac{cos(\alpha)\cdot(l_s+s_z)}{l_1}) [/tex]

Allerdings wird dadurch nicht erreicht, dass die Formel unabhängig von allen Winkeln ist. Da ich alle Winkel durch einen anderen darstellen kann, würde es mir also reichen, wenn ich einen Winkel durch die gegeben Längen l_ss, l_z, l_1, l_2, s_z angeben könnte. Mir persönlich erscheint es am einfachsten den Winkel φ durch die Längen darzustellen, komme jedoch auch nach reichlicher Überlegung nicht auf die passende Lösung.

Ich hoffe ich habe meine Problemstellung genau genug beschrieben und bedanke mich schon mal für die Hilfe!
H.

 

[derschwarzepeter]

Wenn du das wirklich ...

... unabhängig von allen Winkeln ...

... willst, dann würde ich - sofern nur Druckkräfte übertragen werden sollen - eine "Kugel-Hydraulik" bauen:
Eine Reihe von (Stahl-)Kugeln liegt aneinander in einem knapp größeren Rohr,
über welches die auf die 1. Kugel wirkende Druckkraft vom Hydraulikzylinder verlustarm in jegliche Richtung umgelenkt wird,
solange die Radien der Rohrkrümmung nicht zu klein werden.

 

[Heinopei]

Hallo schwarzer Peter,

danke für deine schnelle Antwort. Die Idee mit der "Kugelhydraulik" muss ich mir noch durch den Kopf gehen lassen.

Ganz unabhängig davon, ob sie funktionieren würde, würde mich die eigentliche Fragestellung interessieren: Also ob sich einer der Winkel (alpha, beta oder Phi) durch die gegebenen Längen ausdrücken lässt.

Viele Grüße
H

 

[derschwarzepeter]

Google mal nach dem Stichwort "Kurbeltrieb",
aber du hast ja schon gemerkt, dass das auf jeden Fall mühsam wird!

 

[Heinopei]

Ja daran habe ich natürlich auch schon gedacht. Allerdings trifft der Fall nicht ganz zu, da die Drehachse des Umlenkhebels außerhalb der Bewegungsachse der Rolle liegt bzw der Zylinder ja (durch das Ausfahren) seine Länge verändert und sich der endpunkt nicht wie beim Kurbelrieb auf einer Geraden bewegt...

 

[derschwarzepeter]

Zumindest die Wirkungsseite, d.h. dort wo der Winkel Beta ist, ist EXAKT ein Kurbeltrieb.

 

[Heinopei]

Stimmt. Es heißt dann, wie ich gerade gelent habe Kurbeltrieb mit Schränkung. Die dazugehörigen Formeln habe ich auch gefunden (zB: hier) und sie stimmen auch mit denen überein die ich mir selber hergeleitet habe. Leider wird auch dort immer angenommen dass man einen Winkel kennt...

 

[Vespacracker]

und bekommt schließlich folgende herrlich komplizierte Formel heraus.

Ja, die ist herrlich kompliziert!
Wofür brachst Du das? Normalerweise hat man doch den Verfahrweg (von der Rolle) gegeben und sucht dann den nötigen Antriebsweg.
Die Winkel interessieren doch im ersten Moment nicht? Gibt es einen speziellen Grund, wofür Du die Winkel brauchst?

 

[Heinopei]

Hallo Vespacracker,

Du hast Recht, ich suche genau den Verfahrweg des Zylinders bei gegebenem Verfahrweg der Rolle. Aber so wie es die Formel bisher wiedergibt ist dieser eben abhängig von einem mir unbekannten Winkel. Genau das möchte ich eliminieren und dafür muss ich einen der Winkel durch die gegebenen Längen darstelllen können.


Ich hoffe das wird so etwas klarer.

Viele Grüße
H


PS: Zugegebenermaßen ist die obenstehende Formel etwas irreführend nach s_rolle umgestellt (das hat den Grund, dass sie nach sz umgestellt noch umständlicher aussehen würde und ich es auch nicht danach umstellen könnte )

 

[derschwarzepeter]

Um den Verfahrweg zu ermitteln, musst du doch nur die beiden Endlagen zeichnen bzw. errechnen!

 

[Vespacracker]

Um den Verfahrweg zu ermitteln, musst du doch nur die beiden Endlagen zeichnen bzw. errechnen!

Genau das war auch mein Gedanke!

 

[Heinopei]

Liebe Techniker,

die Idee mit den Endlagen ist nicht ganz verklehrt, allerdings erhalte ich dadurch auch nur die beiden Längen für die Endlagen. Ich möchte allerdings für jedemögliche Position der Rolle die benötigte Ausfahrposition des Zylinders exakt wissen.

Nach reichlich nachdenken und darüber reden mit Bekannten sind wir schließlich auch auf die Lösung gekommen, die ich selbstverständlich auch noch Präsentieren werden. Allerdings erst morgen. Bis dahin gute Nacht!

 

[Vespacracker]

noch Präsentieren werde

Da bin ich mal gespannt!

 

[derschwarzepeter]

Wenn man die mittels Hydraulikzylinder angefahrene Position GENAU wissen will,
dann setzt man dort, wo´s drauf ankommt, einen Positions-Sensor oder einen Weg-Sensor.
Wenn der am Ende deiner Hebelei sitzt, kannst du die gewünschte Position exakt anfahren.
(Niemand kennt die Übersetzung seiner Autolenkung, aber man kommt trotzdem nach Hause!)

Der einzige Grund, den ich mir vorstellen kann, warum man das Übersetzungsverhältnis wirklich genau wissen müsste,
wäre wenn das kraftmäßig grenzwertig ausgelegt ist, denn der Cosinus reduziert natürlich die aufbringbare Kraft!

 

[Vespacracker]

Wie sieht die Lösung jetzt aus? Würde mich schon interessieren!

 

[Heinopei]

Hallo ihr beiden,

bitte entschuldigt die späte Antwort. Hatte viel zu tun in den letzten Tagen.

Ich habe es auch mit vielen versuchen (und auch mit der hilfe des Wolfram-alpha) leider nicht hinbekommen die Formel in ihrer Endform hinzuschreiben. Es ist aber gelungen den Winkel φ durch die bekantnen Längen anzugeben und somit müsste es einen Lösung geben.


Zunächst zum oberen rechten Teil der Skizze:
[tex] s_{rolle}=l_{ss}⋅cos⁡(β)+l_2⋅sin⁡(φ)−l_{ss} \\ mit\\ sin⁡(β)=\frac{l_{ss}}{l2} (1−cos(φ)) \\ \Rightarrow s_{rolle}=l_{ss}⋅cos⁡(arcsin(\frac{l_{ss}}{l2} (1−cos(φ))))+l_2⋅sin⁡(φ)−l_{ss} [/tex]

Damit hat man schon mal den Hub nur in Abhängigkeit von dem Winkel angegeben.


Dann zum unteren Linken teil der Skizze:
[tex] l_z+s_z = \sqrt{(l_z+z)^2+y^2} \\ z = l_1 \cdot sin(\varphi)\\ y = l_1 - l_1 \cdot cos(\varphi)\\ \Rightarrow s_z = \sqrt{(l_z+ l_1 \cdot sin(\varphi))^2+( l_1 - l_1 \cdot cos(\varphi))^2} -l_z\\ [/tex]


Jetzt müsste noch die obere Formel nach φ Ungestellt werden und dann in die untere eingesetzt werden. Aber wie schon gesagt, das wird danns chnell sehr kompliziert.

Für die reale Anwendung lässt sich übrigens einfach die Kleinwinkelnäherung verwenden, da alpha wohl unuter 2° bleibt. Aber mir gibng es ja vor Allem um die Theorie. :)