Komplexe Größe in Zeitbereich übertragen

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von Tattana, 13 Juni 2018.

  1. Ich habe gerade ein Problem bei einer Aufgabe, wo ich so gar nicht nachvollziehen kann, wie eine Zeitunabhängige Größe in den Zeitbereich übertragen wurde. Und zwar hab ich folgenden Wert für die Spannung an einem Widerstand:
    u_R(t)=\sqrt{2} \cdot \frac{\hat{I}}{3} \cdot R\cdot cos(\omega t-45^\circ )
    Dieser Wert wurde hergeleitet von Wert
    U=\frac{\hat{I}}{3} \cdot R\cdot e^{-j\cdot 45}
    Das erscheint mir klar (.

    Gut, jetzt geht es darum die Leistung zu ermitteln, die an dem Widerstand umgesetzt wird, Also, hab ich folgendes getan:
    p_R(t)=\frac{u(t)}{R}^2 = \frac{1}{9} \cdot \hat{I}^2 \cdot R\cdot cos(2\omega t-90^\circ )
    Ist aber falsch, soll angeblich folgendes sein:
    \frac{1}{9} \cdot \hat{I}^2 \cdot R\cdot cos(2\omega t-90^\circ )+cos(2\omega t-90^\circ ) = \frac{1}{9} \cdot \hat{I}^2 \cdot R\cdot \left[ 1+cos(2\omega t-90^\circ ) \right]
    Meine Frage: Warum? Wie kommt man darauf. Weshalb dieses 1+cos() statt einfach cos() ?
    Auf meinen Wert bin ich gekommen durch
    Re \left [ e^{2 \cdot j\cdot (\omega t-45^\circ)} \right ] Das ergibt einfach cos(2 \omega t - 90^\circ) Ich verstehe nicht wie man auf das andere kommt, bzw. meins falsch ist
     
    #1 Tattana, 13 Juni 2018
    Zuletzt bearbeitet: 13 Juni 2018
  2. Da geht so Einiges durcheinander. Kannst Du mal den Originaltext der Aufgabenstellung ggf. mit Schaltskizze posten?
     
  3. Pr(t) muss über eine Periode integriert und dann gemittelt werden, wenn nach der mittleren Leistung Pr gefragt wurde.
     
  4. @GvC Ich hab die Angabe mal eben abgetippt. Dazu das Schaltbild das ich in circuitlab nachgebaut und hier angefügt habe:

    Der Schwingkreis werde seit langer Zeit von einer harmonischen Stromquelle i=\hat{i} \cdot cos ( \omega t-90^\circ ) bzw. I= \frac{ \hat{i} }{ \sqrt{2} } \cdot e^{-j90^\circ } gespeist. Der Innenwiderstand der Stromquelle beträgt 2R und es gilt:
    \omega = \frac{1}{2\cdot \sqrt{LC} } , R=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{C} }

    Und dann sind eben ganz am Schluss der Aufgabe die beiden Fragen:
    • Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Größe uR(t). Geben Sie das Ergebnis uR(t) in Abhängigkeit der Größen \hat{i} und R im Zeitbereich an.
    • Wie groß ist die am Widerstand R abgegebene effektive Wirkleistung? Geben Sie zudem die Augenblicksleistung p(t) an.

    Hilft die Fragestellung weiter bei der Beantwortung meiner Frage? Mein Problem ist nur, warum da dieses 1+cos() in der Lösung vorkommt, wo mein Lösungsweg einfach zu cos() führt, wie oben in meinem ersten Beitrag erläutert.



    @helmuts Gefragt ist nicht nach der mittleren Leistung, sondern nach der Augenblicksleistung, in Abhängigkeit von t eben. Die Lösung die eigentlich herauskommen sollte hab ich ja auch oben schon geschrieben, ich verstehe nur nicht wie man darauf kommt (da ich was anderes bei heraus bekomme).
     

    Anhänge:

  5. Nach der Originalaufgabe hatte ich gefragt, weil mir Deine Angabe der Spannung ohne Kenntnis der zugehörigen Schaltung obskur erschien. Es hätte ja auch sein können, dass Du an anderer Stelle bereits Fehler gemacht hättest, die bei dieser Gelegenheit hätten korrigiert werden können. Dass da irgendetwas nicht stimmen konnte, wurde auch deulich an dieser Stelle:

    Der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen ist nämlich nicht richtig, obwohl von Dir behauptet wird, dass er das sei. Tatsächlich müsste da stehen

    \frac{1}{9}\cdot\hat{I}^2\cdot R\cdot\cos{(2\omega t-90^\circ)}+\frac{1}{9}\cdot\hat{I}^2\cdot R=\, ...\.

    Denn aus Deinem Ausdruck käme niemals die rechte Seite heraus.

    Aber Dir ging es ja um ganz was Anderes, was ich wegen der für mich unverständlichen sonstigen Ausführungen zunächst nicht sofort herausdestillieren konnte

    Die Frage ist ja vielmehr, wie Du darauf kommst, dass \cos^2{(\omega t-45^\circ)} dasselbe sei wie \cos{(2\omega t-90^\circ)}. Ich fürchte, Du hast da die Rechnung im Komplexen und im Zeitbereich durcheinandergebracht, ganz abgesehen davon, dass die komplexe Leistung nicht das Produkt aus komplexer Spannung und komplexem Strom ist, sondern das Produkt aus komplexer Spannung und konjugiert komplexem Strom. Außerdem hat der so erzeugte (Schein-)Leistungszeiger ganz andere Eigenschaften als die komplexen Spannungs- und Stromzeiger. Wenn man die nämlich in den Zeitbereich transformiert, ist ihr Mittelwert null, wie das bei einer Sinus- oder Kosinusfunktion auch sein muss. Der Mittelwert der Leistung kann aber nicht null sein. Denn es fließt Strom und es fällt Spannung ab. Also wird das Produkt aus den Momentanwerten in den allermeisten Fällen von Null verschieden sein, und der Mittelwert nur dann null, wenn Spannung und Strom um 90° gegeneinander phasenverschoben sind.

    Nein, in dieser Aufgabe wurde ganz bewusst der zeitliche Verlauf des Stromes gegeben und nach dem zeitlichen Verlauf der Spannung und folgerichtig auch nach dem zeitlichen Verlauf der Leistung gefragt. Also muss die Rechnung auch im Zeitbereich durchgeführt werden. Du kannst Dir auch mal die Kosinusfunktion aufzeichnen und das Quadrat davon skizzieren. Das verläuft ausschließlich im positiven Bereich. Der Mittelwert der Leistung ist also nicht null, während er bei Deiner Funktion null wäre. Aus einer solchen Skizze würdest Du auch erkennen, dass

    \cos^2{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos{(2x)}\right)

    ist. Ansonsten kannst Du in der Formelsammlung auch mal unter "Additionstheoreme" nachschauen.
     
    #5 GvC, 13 Juni 2018
    Zuletzt bearbeitet: 13 Juni 2018
    Tattana gefällt das.
  6. Da hast du völlig recht. Das liegt daran weil ich zu doof bin eine Klammer auszumultiplizieren. Sorry für die Verwirrung. Natürlich sollte statt dem letzten cosinus der Term vor der Klammer stehen; oder anders gesagt: Vergiss den Teil links vom Gleichheitszeichen.

    Den Rest betreffend: Erst mal vielen Dank für die Erklärung bezüglich der Leistung im komplexen. Ja, genauso hatte ich den cosinus bestimmt, indem ich die e-Funktion hoch zwei nahm und davon den Realteil. Mir dämmert jetzt, warum das so nicht geht.
    Dass da eine trigonometrische Formel mit in die Rechnung eingeflossen ist konnte ich nicht ahnen... Ich verstehe jetzt wie man auf das Ergebnis kommt, vielen Dank für deine Hilfe.
     

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