Knotenpotenzialverfahren2

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von Chrisx2, 30 Jan. 2013.

  1. Hallo leute ich muss euch leider nochmal nerven , da ich nicht weiss ob ich bei dieser Aufgabe die Knotengleichungen richtig aufgestellt habe.

    Gegeben sei die Wheatstonesche Brückenschaltung:

    R1 = 3 ohm R2 = 1 ohm R3 = 2 ohm R4 = 1 ohm R5 = 5 0hm

    R6 = 1ohm Uq6 = 10

    Verwenden sie D als Bezugsknoten .

    Ich muss anscheinen die Ströme berechnen, mit dem Knotenpotenzialverfahren .

    Ich poste die Schaltung und die Vereinfachung als foto:

    Nun meine Gleichungen:

    Knoten A:

    ( Ua - Uc ) * G4 + Ua * G2 + ( Ua - Ub ) *G5 = 0


    Knoten b:

    ( Ub - Ua ) *G5 + Ub *G3 +( Ub - Uc ) * G6 + Iq6 = 0


    Knoten c:

    (Uc -Ua ) * G4 + ( Uc - Ud) * G1 + ( Uc - Ub ) *G6 - Iq6 = 0


    Stimmen die Gleichungen leute?

    Weil sicher bin ich mir nicht.
     

    Anhänge:

  2. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Die Gleichungen stimmen. Was lässt Dich zweifeln?

    Eine Kleinigkeit: Da Ud=0, kannst Du es in der dritten Gleichung auch getrost weglassen.
     
  3. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Eine kleine frage noch . Hast du einen tipp wie ich das Lgs ein wenig schneller vielleicht mit einem trick lösen kann?

    Oder muss ich hier die cramersche regl anwenden?

    Der Leitwert von R1 z.B wäre doch 1/3 Siemenss oder ?
     
  4. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Der Trick legt weniger beim Lösen des Gleichungssystems, das kannst Du per Cramerscher Regel oder durch das Gaußsche Eliminationsverfahren bewerkstelligen, der Trick liegt vielmehr im Aufstellen des Gleichungssystems. So wie Du das machst, ist es zwar richtig, aber auch ziemlich umständlich.

    Einfacher wäre es, sich klarzumachen, dass der Knotenpunktsatz "Summe aller Zweigströme an einem Knoten ist Null" gleichbedeutend mit der Aussage ist "Summe aller an einem Knoten beteiligten Teilströme ist Null". Dabei sind die Teilströme die Ströme infolge einzelner Ursachen. Ursache eines Stromes ist immer eine Spannung. Nach ohmschem Gestz ist I=U*G.

    An einem Knoten sind als Ursachen beteiligt:
    1. Die Knotenspannung des gerade betrachteten Knotens selber, die verursacht Ströme in die angrenzenden Zweige hinein, also vom Knoten weg
    2. Die Knotenspannung aller direkt benachbarten Knoten, die verursachen Ströme zum gerade betrachteten Knoten hin
    4. In den angrenzenden Zweigen eventuell vorhandene Spannungsquellen, die verursachen je nach Polarität Ströme zum Knoten hin oder von ihm weg
    5. In den angrenzenden Zweigen eventuell vorhandene Stromquellen, die ihre eingeprägten Ströme je nach vorgegebener Richtung zum Knoten hinschicken oder von ihm abziehen.

    Nr. 4 und 5 sind eingeprägte Größen und gehören (mit umgekehrtem Vorzeichen) auf die rechte Seite der jeweiligen Knotenpunktgleichung. Apropos Vorzeichen: Beim Knotenspannungsverfahren hat es sich durchgesetzt, die von Knoten wegfließenden Ströme positiv, die zu ihm hinfließenden Ströme demzufolge negativ zu zählen.

    Beispiel: Knoten C in deiner Beispielaufgabe:

    Die Spannung Uc schickt in jeden der angrenzenden Zweige einen (Teil-)Strom, also vom Knoten weg (positiv)

    U_C\cdot G_1+U_C\cdot G_4+U_C\cdot G_6=U_C\cdot (G_1+G_4+G_6)

    Die Spannung UA des Nachbarknotens A verursacht einen Strom zum Knoten C hin (negativ)  -U_A\cdot G_4

    Die Spannung UB des Nachbarknotens B verursacht einen Strom zum Knoten C hin (negativ)  -U_B\cdot G_6

    Die Spannung UD des Nachbarknotens d ist Null und verursacht deshalb keinen Strom.

    Die Spannungsquelle Uq6 verursacht einen Strom zum Knoten C hin (negativ), wird aber auf die andere Seite der Gleichung gebracht und wird deshalb dort positiv U_{q6}\cdot G_6

    Damit sind alle am Knoten B beteilgten Ursachen abgehakt. Der Knotenpunktsatz für den Knoten C lautet deshalb

    U_C\cdot (G_1+G_4+G_6)-U_A\cdot G_4-U_B\cdot G_6-=U_{q6}\cdot G_6

    oder in der Reihenfolge der Ursachen A B C

     -U_A\cdot G_4-U_B\cdot G_6+U_C\cdot (G_1+G_4+G_6)=U_{q6\cdot G_6

    Das machst Du für die beiden anderen Knoten genauso und schreibst das Gleichungssystem gleich in Matrizenform auf. Du kannst jede Zeile direkt aus dem Schaltbild ablesen (die gerade hergeleitete Gleichung erscheint als dritte Gleichung in dem folgenden System, da es sich um die letzte Gleichung in der Reihenfolge A B C handelt):

    \begin{pmatrix}G_2+G_4+G_5&-G_5&-G_4\\-G_5&G_3+G_5+G_6&-G_6\\-G_4&-G_6&G_1+G_4+G_6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}U_A\\U_B\\U_C\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-U_{q6}\cdot G_6\\U_{q6} \cdot G_6 \end{pmatrix}

    Aus der Struktur der Leitwertmatrix erkennst Du, dass in der Hauptdiagonalen immer die positive Summe der an dem jeweilgen Knoten anliegenden Leitwerte steht, an allen anderen Stellen die negativen Koppelleitwerte zwischen den entsprechnenden Knoten. Du kannst also in Zukunft das Gleichungssystem ganz automatisch aufschreiben, ohne viel nachdenken zu müssen, dank mener obigen Erklärung weißt Du jetzt aber auch, warum die Struktur so aussieht.

    Auf eine solche Trivialität antwotrte ich nicht.
     
  5. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Du meinst wohl Iq6 in der Matrix oder?
     
  6. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Iq6 ist doch 10 A oder ?
     
  7. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Ich hab mal meine Matrix aufgestellt mit Werten:

    Aber wie soll ich das lösen .

    Cramersche regel mit Brüchen anwende ist ziemlich schwer.

    [TABLE="width: 500"]
    [TR]
    [TD]11/5[/TD]
    [TD]-1/5[/TD]
    [TD]-1[/TD]
    [TD]Ua[/TD]
    [TD]0[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]-1/5[/TD]
    [TD]17/10[/TD]
    [TD]-1[/TD]
    [TD]Ub[/TD]
    [TD]-10A[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]-1[/TD]
    [TD]-1[/TD]
    [TD]7/3[/TD]
    [TD]Uc[/TD]
    [TD]10A[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]


    Vielleicht habt ihr einen schlauen tipp , ansonsten probier ich es wohl alleine.
     
  8. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Ich sehe in der Originalschaltung keine Stromquelle, sondern nur eine Spannungsquelle mit der Quellenspannung Uq6.
     
  9. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Wenn Du die erste Gleichung mit 5 multiplizierst, die zweite mit 10 und die dritte mit 3, sind alle Brüche auf wunderbare Art und Weise verschwunden.

    Im Übrigen gibt es doch Taschenrechner.
     
  10. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Ich glaube jetzt verstehe ich was nicht. Beim Knotenpotenzialverfahren muss Mann doch die Spannungsquellen in stromquellen umwandeln oder? In meinen Gleichungen hat ich ja auch Iq6. Wieso kommen dann in der Matrix auf einmal Uq6 ?
     
  11. AW: Knotenpotenzialverfahren2

    Wie ich Dir gezeigt habe, muss man das nicht, aber man kann.

    Wenn Du genau hinschaust, dann siehst Du, dass dort, wo bei Dir Iq6 steht, bei mir Uq6*G6 steht, also genau dasselbe. Denn Du hast Iq6 ja selber als Uq6*G6 vorher berechnet.

    Ich wollte Dir nur zeigen, dass Du Dich nicht an auswendig gelernte Regeln zu erinnern brauchst, sondern bei gesundem Menschenverstand und konsequenter Anwendung einer Handvoll von Grundgesetzmäßigkeiten solche Kochrezepte gar nicht benötigst. Die Umwandlung von Spannungs- in Stromquellen ergibt sich bei diesem Verfahren ganz automatisch.
     

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