kleinste Oberfläche an einem Zylinder

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von rstar, 11 Okt. 2007.

  1. Ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht, kann mir vielleicht jemand helfen.
    Ich habe einen Zylinder mit einem Volumen von 800m³.
    gesucht ist die geringste manteloberfläche.

    Wie kann ich diese Berechnen. zeichnerisch habe ich die Lösung herausbekommen.

    Vielen dank
     
  2. AW: kleinste Oberfläche an einem Zylinder

    Schau mal hier: http://homepage.uibk.ac.at/~c403119/Lagrange.pdf oder such bei google mal nach Extrema mit Nebenbedingung.
     
  3. AW: kleinste Oberfläche an einem Zylinder

    Hi,

    hilft dir das weiter?

    V= \pi \cdot r^2 \cdot h \quad \rightarrow \quad h= \frac{V}{\pi \cdot r^2}

    und

    A= 2 \cdot \pi \cdot r^2  + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

    Das h in der 2. Gleichung kannst du nun gegen

     \frac{V}{\pi \cdot r^2}

    ersetzen.

    A= 2 \cdot \pi \cdot r^2  + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{V}{\pi \cdot r^2} \quad \rightarrow \quad A=2 \cdot \pi \cdot r^2  + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{8000m^3}{\pi \cdot r^2}

    Suche nach dem Tiefpunkt dieser Funktion und du hast es.

    Gruß,
    Michl
     
  4. AW: kleinste Oberfläche an einem Zylinder



    Sorry,
    ich meinte 800m³, nicht 8000m³.

    Michl
     
  5. AW: kleinste Oberfläche an einem Zylinder

    Die Formel die Ihr mir angegeben habt, habe ich auch so.

    Mein problem liegt darin den Tiefpunkt festzulegen.

    Vielleicht könnt ihr mir dabei noch helfen.

    danke
     
  6. AW: kleinste Oberfläche an einem Zylinder

    Tach,

    den T.P. findest du mit der ersten und zweiten Ableitung.

    Die erste Ableitung ist:

    4 \pi r - \frac{1600}{r^2}


    Und die zweite Ableitung ist:

    \frac{3200}{r^3}+4 \pi

    Mit der ersten Ableitung prüfst du die Steigung auf "0".
    Mit der zweiten, ob diese positiv wird oder negativ.
    Hat die zweite Ableitung einen positiven Wert, würde die Kurve
    an dieser Stelle wieder anfangen zu steigen, also hast du einen T.P.

    Gruß,
    Michl
     
  7. AW: kleinste Oberfläche an einem Zylinder

    Alles klar, konnte die Aufgabe jetzt lösen.


    Danke an alle
     
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