Integralrechnung

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von Steffen_83, 24 Feb. 2007.

  1. Hi,
    dass ist mein erster thread in diesem forum!

    nun zum thema:

    ich hab am donnerstag mathe und ne tolle hausaufgabe aufbekommen... natürlich mit note :-(
    das dumme an der sache ist, dass ich bei integral- und differenzialrechnung irgendwie kein land sehe!

    also brauche ich mal kräftige hilfe!

    ********

    ich hoffe, dass ihr das bild seht!!!

    mfg der hilflose steffen ;-)



    *************
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    #1 Steffen_83, 24 Feb. 2007
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 24 Feb. 2007
  2. AW: Integralrechnung

    da mein bild gelöscht wurde... :-( (mein Fehler)
    schreibe ich die aufgabe einfach mal hin:

    Eine Firma stellt sich die Aufgabe ein "Jojo" zubauen. Es soll 2,0 cm breit sein und einen Durchmesser von 5,0 cm besitzen. In der Mitte befindet sich ein zylindrischer Teil mit einem Durchmesser von 0,5 cm. Welche Masse besitzt ein solcher Jojo aus Buchenholz?

    Hinweis: Nehmen Sie eine genaue Betrachtung einer ganzrationale Funktion vierten Grades und einer lineare Funktion vor. Zeichnen Sie beide Funktionen zur Kontrolle Ihrer Berechnung in ein Koordinatensystem.)

    selbstgemaltes bild:
    http://img248.imageshack.us/img248/624/dsc00283gk5.jpg
    (zeichnen ist auch nicht meine stärke ;-) )
     
    #2 Steffen_83, 24 Feb. 2007
    Zuletzt bearbeitet: 24 Feb. 2007
  3. AW: Integralrechnung

    Hi,
    hast du schon nen Ansatz?
    Ich würde zuerst die Funktionen aufstellen, so wie sie im Hinweis beschrieben sind.
    Mit Hilfe der Skizze kannst du ja schon einige Punkte rauslesen und dir daraus dann eine Funktion basteln.

    Gruß
    Natalie
     
  4. AW: Integralrechnung

    HI!

    So mal als kleiner Tipp - versuch aus den Angaben die Fläche zu ermitteln - z.B. zwischen dem oberen Teil und der x-Achse - und dann gibt es so etwas wie Rotationskörper :)

    cu
    Volker
     
  5. AW: Integralrechnung

    ja gut die nullstellen kenne ich... (-1;0 und 1;0)

    und dann ist mein latein auch schon am ende...

    und mit einem rotationskörper kann ich nix anfangen :-(
     
  6. AW: Integralrechnung

    HI!

    Aus Deiner vorgegebenen Kurve kannst Du dann auch evtl. noch die Extremwerte ermitteln und zudem ist der Graph y-achsensymmetrisch.

    Dann solltest Du überlegen, wie allgemein eine ganzrationale Funktion 4. Grades aussieht.

    Das müsste eigentlich reichen.

    cu
    Volker
     
  7. AW: Integralrechnung

    da hörts bei mir schon auf... wie soll ich die extremwerte heraus bekommen? ich kriege ja noch nicht einmal die funktionsgleichungen heraus...

    und den 4.grad... siehts ja noch schlechter aus... :)
     
  8. AW: Integralrechnung

    HI!

    Die Extremwerte kannst Du evtl. aus der zeichnung ablesen - Deine eigene ist da etwas zu ungenau - und aus den Informationen kannst Du dann die Funktionsgleichung ermitteln.

    cu
    Volker
     
  9. AW: Integralrechnung

    also beim ablesen der hochpunkte komme ich auf -0,8;2,5 und 0,8;2,5

    aber ablesen ist zu ungenau und auch nicht erlaubt...

    die allgemeine form heißt doch:

    ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

    aber wie nun weiter...???

    wie mache ich aus meinen nullstellen eine funktionsgleichung?
     
  10. AW: Integralrechnung

    Hi!

    Zumindest kannst du aus der Information, dass das Ganze achsensymmetrisch ist, die Grundgleichung noch vereinfachen. Und dann brauchst Du für jede Variable (a;b;...) eine Gleichung, sodass du über ein Gleichungssystem diese Variablen ermitteln kannst.

    Evtl. kannst Du aus dem y-Wert der Hochpunkte noch was machen.

    cu
    Volker
     
  11. AW: Integralrechnung

    Du bist auf dem richtigen Weg:

    y = ax^4 + cx^2 + 0,25
    y' = 4ax³ + 2cx = 0 ---> x1 = 0
    ... wissen wir schon,
    dann bleibt:
    4ax2 + 2c = 0 und zwar bei y = 2,5
    2,5 = ax^4 + cx^2 + 0,25
    und noch Deine Nullstellen:
    0 = ax^4 + cx^2 + 0,25 bei x = 1 und x = -1

    .... das sollte reichen, um a und c heraus zu bekommen?
     
  12. AW: Integralrechnung

    Wenn ich das ausrechne, werden meine Maxima nur 1cm hoch und nicht 2,5.

    Beim nochmaligen Lesen der Aufgabenstellung sehe ich da was von einer linearen Fkt. - das soll wohl die Achse sein? Dann fällt die Bedingung e = 0,25 weg.
    Wir haben also für die Fkt. 4. Grades:

    y = ax^4 + cx^2 + e
    y' = 4ax³ + 2cx = 0 ---> x1 = 0 ... wissen wir schon,
    dann bleibt:
    4ax² + 2c = 0 und zwar bei y = 2,5
    2,5 = ax^4 + cx^2 + e
    und noch Deine Nullstellen:
    0 = ax^4 + cx^2 + e bei x = 1 und x = -1
     
  13. AW: Integralrechnung

    ok das kann ich jetzt nachvollziehen...

    aber was mache ich jetzt mit a und c
     
  14. AW: Integralrechnung

    Leider habe ich noch nicht genug Angaben. wenn ich willkürlich e=0 setze, kommt a=-10 und c=10 raus.
    Das sähe dann so aus (denkst Du, dass das stimmt?):
    Falls wir das gelten lassen, müssen wir uns jetzt sie Schnittpunkte der roten und blauen Linie ermitteln. Dann können wir die Volumina des Rotationskörpers um die X-Achse integrieren.
     

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    #14 Isabell, 25 Feb. 2007
    Zuletzt bearbeitet: 25 Feb. 2007
  15. AW: Integralrechnung

    HI!

    Das war auch mein Problem, dass ich aus der Zeichnung nicht erkennen kann, wo die Funktion die y-Achse schneiden würde...

    cu
    Volker
     
  16. AW: Integralrechnung

    Steffen, hast Du noch mehr Angaben? Das spezifische Gewicht des Buchenholzes fehlt auch noch.
     
  17. AW: Integralrechnung

    also das bild stimmt auffällig

    wäre richtig schön, wenn du mir mal jeden einzelnen schritt erklären könntest...

    @isabell :drink: nicht schlecht! respekt ;-)
     
  18. AW: Integralrechnung

    Die Buche hat eine mittlere Rohdichte von 0,72 g/cm³ bezogen auf 12-15% Holzfeuchte
     
  19. AW: Integralrechnung

    Mit e = 0 wären die 3 Gleichungen:
    (1) 4ax² + 2c = 0
    (2) 2,5 = ax^4 + cx^2
    0 = ax^4 + cx^2bei x = 1 --->
    (3) a = - c
    Die Gl. (3) eingesetzt:
    (1a) 4ax² = 2a ---> x = \frac{\sqrt(2)}{2}
    und x eingesetzt:
    (2a) 2,5 = a/4 - a/2 ---> a = -10
    (3a) c = 10
     
  20. AW: Integralrechnung

    Schnittpunkt rot und blau:
    x = \frac{\sqrt{5\cdot(10-3\cdot\sqrt{10})}}{10} = 0,160182

    Achse: V_a = r^2\pi * 2x = 0,0629 cm^3

    Rest: V_{Rest} = 2\cdot\pi\cdot    \int_{0,160182}^{1}{y^2}dx V_{Rest} = 2\cdot\pi\cdot    \int_{0,160182}^{1}{(10x^2-10x^4)^2}dx = 15,945 cm^3

    Gewicht = 0,72\cdot 16 = 11,52g

    Bitte genau nachkontrollieren!
     

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