Gradientenfeld

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von 0x008, 4 Jan. 2013.

  1. Ich möchte das Gradientenfeld zu

    sinh \left( \frac{2y}{x^2 + 1+y^2}\right)

    bestimmen. Die Funktion ist total-differenzierbar und \alpha ist Element der reellen Zahlen.

    Dazu möchte ich die Funktion in die Kreisgleichung überführen

    1= (x_{1}-x_{0})^{2} + (y_{1}-y_{0})^{2}

    An dieser Stelle harkt es. Bishheriger Rechenweg:

    1. \alpha=sinh \left( \frac{2y}{x^2 + 1+y^2}\right)
    2. arcsinh \alpha=\frac{2y}{x^2 + 1+y^2}

    Und an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Ziel ist es wie oben zu sehen einen Ausdruck zu bekommen in dem ich auf der einen Seite des Terms eine Funktion von alpha habe und auf der anderen Seite des Terms einen quadratischen Ausdruck von x addiert mit einem quadratischen Ausdruck mit y.

    Kennt sich da jemand gut aus?
     
  2. AW: Gradientenfeld

    Bei der Frage kann ich nicht genau zwischen Aufgabe und Lösungsansatz trennen.

    Die Aufgabe könnte lauten:
    Berechne des Gradientenfeld der Funktionen
     \alpha(x,y) = sinh \left( \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}\right)

    Der Rechenweg dazu:
    Definition des Gradientenfelds eines Skalarfelds über den Nabla-Operator.
     \vec{G}(x,y) = \vec{\nabla} \alpha(x,y)

    Der Nabla-Operator.
     \vec{G}(x,y) = {\frac{\partial }{ \partial x} \choose \frac{\partial }{ \partial y}} \alpha(x,y)

    Die partielle Ableitung nach der X-Koordinate.
     \frac{\partial }{\partial x} \alpha( x,y ) = -4 \frac{ cosh \left( \frac{2 \, y}{ x^2+1+y^2 } \right) \, x \, y }{ \left( x^2+1+y^2 \right) ^2 }

    Die partielle Ableitung nach der Y-Koordinate.
     \frac{\partial }{\partial y} \alpha( x,y ) = 2 \frac{ cosh \left( \frac{2 \, y}{ x^2+1+y^2 } \right) \, \left( x^2+1-y^2 \right) }{ \left( x^2+1+y^2 \right) ^2 }

    Zusammenfassen.
     \vec{G}(x,y) = \frac{ 2 cosh \left( \frac{2 \, y}{ x^2+1+y^2 } \right) }{ \left( x^2+1+y^2 \right) ^2 }{-2 \, x \, y \choose x^2+1-y^2}
     
  3. AW: Gradientenfeld

    In welchen Punkten des Definitionsbereiches D \in \mathbb{R}^{2} ist das nachstehende
    Skalarfeld \phi : D \rightarrow  \mathbb{R} total-differenzierbar? Skizzieren Sie für verschiedene
    Niveaus \alpha \in \mathbb{R} den Verlauf der Niveaulinien.

    N_{\alpha} =  \left{  \left( x,y \right)^{tr} \in D  \left| \phi (x,y )=a  \right.  \right}

    und berechnen Sie das zugehörige Gradientenfeld grad(\phi) : D \rightarrow \mathbb{R}^{2}

    sinh \left( \frac{2y}{x^2 + 1+y^2}\right)

    Skizzieren Sie anschließend dieses Gradientenfeld und bestimmen Sie im Punkt  \left( 0, 0, 0 \right) ^{tr} \in M die Tangentialebene an die durch die \phi beschriebene Fläche

    M:= \left{ (x,y,\ph(x,y))^{tr} \in \mathbb{R}^{3} \left| (x,y)^{tr} \in D \right. \right}
     
  4. AW: Gradientenfeld

    Den Ansatz den du geschrieben hast, den habe ich soweit - der ist kein Problem. Was mich etwas fertig macht ist dann das in die Kreisgleichung zu überführen um es dann zu zeichnen.

    In der Aufgaben kann man davon ausgehen, dass man einen (entarteten-)Kreis hat. Daher ist die vorgehensweise, den ganzen Kram zur Kreisgleichung umzuformen um dann aus dem Zähler die x,y Koordinaten des Mittelpunktes zu bestimmen und durch den Nenner dann den Radius festzulegen. Wenn man das hat kann man wunderbar losmalen und muss nurnoch die Poolstellen beachten und ein paar Gradienten einzeichnen um lokale Richtungsangaben zu machen.
     
  5. AW: Gradientenfeld

    Gesucht sind Niveaulinien der Funktion
     \phi(x,y) = sinh \left( \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}\right) .

    Die Punkte (x,y) einer Niveaulinie erfüllen die Bedingung
     \alpha = sinh \left( \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}\right)
    mit einer Konstanten alpha.

    Der Sinus-Hyperbolicus ist invertierbar.
     arsinh \left( \alpha \right) = \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}

    Eine neue Konstante definieren.
     a := arsinh \left( \alpha \right)

    Mit der neuen Konstante die Bedingung für eine Niveaulinie schreiben.
     a = \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}

    Eine besondere Niveaulinie herausgreifen: a = 0.
     0 = \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}
    wird gelöst mit
     y = 0 \, , \, x \in \mathbb{R}
    Die X-Achse des Koordinatensystems ist eine Niveaulinie der Funktion phi.

    Weitere Niveaulinien suchen: Versuchen die Bedingung in eine Funktion y = y(x) umzuformen.
     a = \frac{2 \, y}{x^2 + 1+y^2}

    Mit Nenner multiplizieren.
     a \, x^2 + a \, y^2 + a = 2 \, y

    Konstanten auf rechter Seite isolieren.
     a \, x^2 + a \, y^2 - 2 \, y = -a

    Faktor vor den Variablen im Quadrat auf 1 normieren.
     x^2 + y^2 - \frac{2}{a} \, y = -1

    Quadratische Ergänzung für die Summanden mit Variable y.
     x^2 + y^2 - \frac{2}{a} \, y + \frac{1}{a^2} = -1 + \frac{1}{a^2}

    Binomische Formel.
     x^2 + \left( y - \frac{1}{a} \right)^2 = -1 + \frac{1}{a^2}

    Vergleich mit der Formel für einen Kreis
     \left( x - x_0 \right)^2 + \left( y - y_0 \right)^2 = r^2

    Die Niveaulinien sind Kreis um den Mittelpunkt
     x_0 = 0 \, , \, y_0 = \frac{1}{a}
    mit dem Radius
     r = \sqrt{ -1 + \frac{1}{a^2} }
     

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  6. AW: Gradientenfeld

    Hahaha nicht schlecht! Wenn man sich eine rauspickt kann das das ganze noch deutlich vereinfachen. Ich habe gleich eine ähnliche Aufgabe fertig die ich glaube ich dann mal hier reinstelle. Anfürsich das selbe vorgehen nur das ich alpha als konstante mitgeschlept habe.
     

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