Gesamtleitwert komplex berechnen

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MrBitt

Gast
Hallo Leute,

gesucht ist ein Ausdruck für den Gesamtleitwert zwischen den Klemmen A und B der abgebildeten
Schaltung (im Anhang) in Abhängigkeit der Größen L,C,R1 und R2.
Dazu soll wie folgt vorgegangen werden:

1)
Bestimmen Sie zunächst die beiden Leitwerte der Teilzweige 1 und 2 . Geben Sie dabei
komplexwertige Ergebnisse in der Form: Realteil + j * Imaginärteil an.

Ist das soweit richtig?

Für 1

[tex]Y=\frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2}+\omega^{2}+L^{2}} }[/tex]

Mit Realteil + j * Imaginärteil

[tex]Y=\frac{R_{1}}{R_{1}^{2}+\omega^{2}*L^{2}}+j*\frac{\omega*L}{R_{1}^{2}+\omega^{2}*L^{2}}[/tex]

Für 2

[tex]Y=\frac{\omega*C}{\sqrt{1+R_{2}^{2}*\omega^{2}*L^{2}} }[/tex]

Mit Realteil + j * Imaginärteil

[tex]Y=\frac{R_{2} }{R_{2}^{2}+\frac{1}{\omega^{2}*C^{2}} }-j*\frac{\omega*C}{1+R_{2}^{2}*\omega^{2}*L^{2}}[/tex]
 

Anhänge

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MrBitt

Gast
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Und als 2) den Gesamtleitwert dann so?

[tex]G= \left( \frac{1}{\frac{1}{R_{1} }+{\frac{1}{R_{2}}}\right)+j*\left( \frac{1}{\frac{1}{\omega*L }-\omega*C }\right) [/tex]
 
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Z1_ = R1+jw*L

Y1_ = 1/(R1+jw*L)
----------------------


Z2_ = R2+1/(jw*C) = (1+jw*C*R2)/(jw*C)

Y2_ = jw*C/(1+jw*C*R2)
-----------------------------



Y = Y1_ + Y2_

Y_ = 1/(R1+jw*L) + jw*C/(1+jw*C*R2)

Die Frage ist dann wie Y_ dargestellt werden soll, z. B. wie gezeigt oder mit Realteil und Imaginärteil.
 
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MrBitt

Gast
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Ah danke,

ok ohne Potenzen...

Es steht nur so da: "Berechnen Sie aus den Ergebnissen der Aufgabe 1 den Gesamtleitwert."
 
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MrBitt

Gast
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Also dende ich das passt so: Y= 1/(R1+jw*L) + jw*C/(1+jw*C*R2)

Jetzt als Frage 3) Der in ermittelte Ausdruck für den Gesamtleitwert soll, unabhängig von der
Frequenz, stets reell sein.
Leiten Sie aus dieser Forderung die Bestimmungsgleichungen für R1 und R2 ab.

Da weiß ich leider nicht weiter... jemand eine (oder mehrere) Idee(n)?
 
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Nein, das passt so nicht. Die Aufgabenstellung sagt eindeutig

Zitat von MrBitt:
Bestimmen Sie zunächst die beiden Leitwerte der Teilzweige 1 und 2 . Geben Sie dabei
komplexwertige Ergebnisse in der Form: Realteil + j * Imaginärteil an.
Bis lang ist das noch nicht geschehen bzw. nicht richtig geschehen.

Beispiel:

[tex]\underline{Z}_1=R_1+j\Omega L\qquad\Rightarrow\qquad \underline{Y}_1=\frac{1}{R_1+j\omega L}[/tex]

Mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners erweitern (anders bekommt man den komplexen Ausdruck im Nenner nicht weg):

[tex]\underline{Y}_1=\frac{R_1}{R_1^2+(\omega L)^2}-j\frac{\omega L}{R_1^2+{ ( \omega L )^2}[/tex]

Für den kapazitiven Zweig entsprechend

[tex]\underline{Y}_2=\frac{R_2}{R_2^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}+j\frac{\frac{1}{\omega C}}{{R_2^2+\frac{1}{ (\omega C )^2}}[/tex]

Jetzt kann man die beiden Admittanzen auch leicht addieren. Ohne ihre Darstellung in kartesischer Form wäre das nicht gegangen.
 
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AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Y_ = 1/(R1+jw*L) + jw*C/(1+jw*C*R2)


Y_ = (1+jw*C*R2 +jw*C*R1 +(jw)^2*L*C) /((R1+jw*L) *(1+jw*C*R2))

Y_ = (1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(R1+jw*C*R1*R2 +jw*L +(jw)^2*L*C*R2)

Y_ = (1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(R1-w^2*L*C*R2 +jw*(C*R1*R2 +L))

Y_ = (1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(1-w^2*L*C*R2/R1 +jw*(C*R2 +L/R1))
------------------------------------------------------------------------------------------

Y_ ist unabhängig von der Frequenz, wenn

imag(Zähler)/real(Zähler) = imag(Nenner)/real(Nenner)


w*C*(R1+R2)/(1-w^2*L*C) = w*(C*R2 +L/R1)/(1-w^2*L*C*R2/R1)

C*(R1+R2)/(1-w^2*L*C) = (C*R2 +L/R1)/(1-w^2*L*C*R2/R1)

(R1+R2)/(1-w^2*L*C) = (R2+L/(C*R1))/(1-w^2*L*C*R2/R1)


(R1+R2)*(1-w^2*L*C*R2/R1) = (R2+L/(C*R1))*(1-w^2*L*C)

R1 -w^2*L*C*R2 +R2 -w^2*L*C*R2*R2/R1 = R2 -w^2*L*C*R2 +L/(C*R1) - L/(C*R1)*w^2*L*C

R1 -w^2*L*C*R2*R2/R1 = L/(C*R1) - L/(C*R1)*w^2*L*C


Terme mit w müssen links und rechts gleich sein damit es frequenzunabhängig wird und damit die Terme ohne w auch.

1.
-w^2*L*C*R2*R2/R1 = - L/(C*R1)*w^2*L*C

R2*R2 = L/C

R2 = sqrt(L/C)
==========

2.
R1 = L/(C*R1)
R1*R1 = L/C

R1 = sqrt(L/C)
=========

Vielleicht gibt es auch andere Möglichkeiten zur Lösung.
 
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Korrektur meiner vorherigen Lösung: (1/R1)

Y_ = 1/R1*(1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(1-w^2*L*C*R2/R1 +jw*(C*R2 +L/R1))



Die intelligentere Lösung.

Y_ = 1/R1*(1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(1-w^2*L*C*R2/R1 +jw*(C*R2 +L/R1))

Bei f->0Hz Z=R1

Bei f->unendlich Z=R2

Damit muss R1=R2=R sein, damit Z konstant bleibt.

2. Bedingung:

Y_ = 1/R*(1-w^2*L*C +2*jw*C*R)/(1-w^2*L*C +jw*(C*R +L/R))

Man beachte, dass im Zähler und Nenner der gleiche Realteil 1-w^2*L*C steht.

Folglich muss auch der Imaginärteil im Zähler und Nenner gleich sein.

2*jw*C*R) = jw*(C*R +L/R))

2*C*R = C*R+L/R

C*R = L/R

R^2 = L/C

R = sqrt(L/C)
=========
 
AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

Zitat von helmuts:
Damit muss R1=R2=R sein, damit Z konstant bleibt.
Das war auch meine allererste Überlegung (war nämlich mal 'ne Klausuraufgabe von mir). Allerdings steht in dieser Aufgabenstellung nicht, dass Z konstant sein müsse, sondern nur reell.

Zitat von MrBitt:
Der in ermittelte Ausdruck für den Gesamtleitwert soll, unabhängig von der
Frequenz, stets reell sein.
Leiten Sie aus dieser Forderung die Bestimmungsgleichungen für R1 und R2 ab.
Rein theoretisch hätte man sich durchaus vorstellen können, dass bei geschickter Wahl von R1 und R2 die Impedanz für unterschiedliche Frequenzen zwar reell bleibt, aber unterschiedliche (relle) Werte annimmt, so wie das bei den extremen Frequenzen null und unendlich zunächst ja auch ist, im einen Fall R1 im anderen R2. Ich war deshalb sehr froh, dass Du auch ohne die Bedingung R1=R2 darauf gekommen bist, dass diese Bedingung automatisch erfüllt ist.

(Es wäre jetzt natürlich besonders ärgerlich, wenn die Bedingung eines konstanten reellen Widerstandes bei allen Frequenzen in der originalen Aufgabenstellung genannt gewesen, hier aber verschwiegen worden wäre.)
 
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