Gesamtleitwert komplex berechnen

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von MrBitt, 6 Feb. 2013.

  1. Hallo Leute,

    gesucht ist ein Ausdruck für den Gesamtleitwert zwischen den Klemmen A und B der abgebildeten
    Schaltung (im Anhang) in Abhängigkeit der Größen L,C,R1 und R2.
    Dazu soll wie folgt vorgegangen werden:

    1)
    Bestimmen Sie zunächst die beiden Leitwerte der Teilzweige 1 und 2 . Geben Sie dabei
    komplexwertige Ergebnisse in der Form: Realteil + j * Imaginärteil an.

    Ist das soweit richtig?

    Für 1

    Y=\frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2}+\omega^{2}+L^{2}} }

    Mit Realteil + j * Imaginärteil

    Y=\frac{R_{1}}{R_{1}^{2}+\omega^{2}*L^{2}}+j*\frac{\omega*L}{R_{1}^{2}+\omega^{2}*L^{2}}

    Für 2

    Y=\frac{\omega*C}{\sqrt{1+R_{2}^{2}*\omega^{2}*L^{2}} }

    Mit Realteil + j * Imaginärteil

    Y=\frac{R_{2} }{R_{2}^{2}+\frac{1}{\omega^{2}*C^{2}} }-j*\frac{\omega*C}{1+R_{2}^{2}*\omega^{2}*L^{2}}
     

    Anhänge:

  2. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Und als 2) den Gesamtleitwert dann so?

    G= \left( \frac{1}{\frac{1}{R_{1} }+{\frac{1}{R_{2}}}\right)+j*\left( \frac{1}{\frac{1}{\omega*L }-\omega*C }\right)
     
  3. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Z1_ = R1+jw*L

    Y1_ = 1/(R1+jw*L)
    ----------------------


    Z2_ = R2+1/(jw*C) = (1+jw*C*R2)/(jw*C)

    Y2_ = jw*C/(1+jw*C*R2)
    -----------------------------



    Y = Y1_ + Y2_

    Y_ = 1/(R1+jw*L) + jw*C/(1+jw*C*R2)

    Die Frage ist dann wie Y_ dargestellt werden soll, z. B. wie gezeigt oder mit Realteil und Imaginärteil.
     
  4. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Ah danke,

    ok ohne Potenzen...

    Es steht nur so da: "Berechnen Sie aus den Ergebnissen der Aufgabe 1 den Gesamtleitwert."
     
    #4 MrBitt, 6 Feb. 2013
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 6 Feb. 2013
  5. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Also dende ich das passt so: Y= 1/(R1+jw*L) + jw*C/(1+jw*C*R2)

    Jetzt als Frage 3) Der in ermittelte Ausdruck für den Gesamtleitwert soll, unabhängig von der
    Frequenz, stets reell sein.
    Leiten Sie aus dieser Forderung die Bestimmungsgleichungen für R1 und R2 ab.

    Da weiß ich leider nicht weiter... jemand eine (oder mehrere) Idee(n)?
     
  6. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Nein, das passt so nicht. Die Aufgabenstellung sagt eindeutig

    Bis lang ist das noch nicht geschehen bzw. nicht richtig geschehen.

    Beispiel:

    \underline{Z}_1=R_1+j\Omega L\qquad\Rightarrow\qquad \underline{Y}_1=\frac{1}{R_1+j\omega L}

    Mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners erweitern (anders bekommt man den komplexen Ausdruck im Nenner nicht weg):

    \underline{Y}_1=\frac{R_1}{R_1^2+(\omega L)^2}-j\frac{\omega L}{R_1^2+{ ( \omega L )^2}

    Für den kapazitiven Zweig entsprechend

    \underline{Y}_2=\frac{R_2}{R_2^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}+j\frac{\frac{1}{\omega C}}{{R_2^2+\frac{1}{ (\omega C )^2}}

    Jetzt kann man die beiden Admittanzen auch leicht addieren. Ohne ihre Darstellung in kartesischer Form wäre das nicht gegangen.
     
    #6 GvC, 6 Feb. 2013
    Zuletzt bearbeitet: 6 Feb. 2013
  7. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Y_ = 1/(R1+jw*L) + jw*C/(1+jw*C*R2)


    Y_ = (1+jw*C*R2 +jw*C*R1 +(jw)^2*L*C) /((R1+jw*L) *(1+jw*C*R2))

    Y_ = (1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(R1+jw*C*R1*R2 +jw*L +(jw)^2*L*C*R2)

    Y_ = (1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(R1-w^2*L*C*R2 +jw*(C*R1*R2 +L))

    Y_ = (1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(1-w^2*L*C*R2/R1 +jw*(C*R2 +L/R1))
    ------------------------------------------------------------------------------------------

    Y_ ist unabhängig von der Frequenz, wenn

    imag(Zähler)/real(Zähler) = imag(Nenner)/real(Nenner)


    w*C*(R1+R2)/(1-w^2*L*C) = w*(C*R2 +L/R1)/(1-w^2*L*C*R2/R1)

    C*(R1+R2)/(1-w^2*L*C) = (C*R2 +L/R1)/(1-w^2*L*C*R2/R1)

    (R1+R2)/(1-w^2*L*C) = (R2+L/(C*R1))/(1-w^2*L*C*R2/R1)


    (R1+R2)*(1-w^2*L*C*R2/R1) = (R2+L/(C*R1))*(1-w^2*L*C)

    R1 -w^2*L*C*R2 +R2 -w^2*L*C*R2*R2/R1 = R2 -w^2*L*C*R2 +L/(C*R1) - L/(C*R1)*w^2*L*C

    R1 -w^2*L*C*R2*R2/R1 = L/(C*R1) - L/(C*R1)*w^2*L*C


    Terme mit w müssen links und rechts gleich sein damit es frequenzunabhängig wird und damit die Terme ohne w auch.

    1.
    -w^2*L*C*R2*R2/R1 = - L/(C*R1)*w^2*L*C

    R2*R2 = L/C

    R2 = sqrt(L/C)
    ==========

    2.
    R1 = L/(C*R1)
    R1*R1 = L/C

    R1 = sqrt(L/C)
    =========

    Vielleicht gibt es auch andere Möglichkeiten zur Lösung.
     
  8. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Korrektur meiner vorherigen Lösung: (1/R1)

    Y_ = 1/R1*(1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(1-w^2*L*C*R2/R1 +jw*(C*R2 +L/R1))



    Die intelligentere Lösung.

    Y_ = 1/R1*(1-w^2*L*C +jw*C*(R1+R2))/(1-w^2*L*C*R2/R1 +jw*(C*R2 +L/R1))

    Bei f->0Hz Z=R1

    Bei f->unendlich Z=R2

    Damit muss R1=R2=R sein, damit Z konstant bleibt.

    2. Bedingung:

    Y_ = 1/R*(1-w^2*L*C +2*jw*C*R)/(1-w^2*L*C +jw*(C*R +L/R))

    Man beachte, dass im Zähler und Nenner der gleiche Realteil 1-w^2*L*C steht.

    Folglich muss auch der Imaginärteil im Zähler und Nenner gleich sein.

    2*jw*C*R) = jw*(C*R +L/R))

    2*C*R = C*R+L/R

    C*R = L/R

    R^2 = L/C

    R = sqrt(L/C)
    =========
     
  9. AW: Gesamtleitwert komplex berechnen

    Das war auch meine allererste Überlegung (war nämlich mal 'ne Klausuraufgabe von mir). Allerdings steht in dieser Aufgabenstellung nicht, dass Z konstant sein müsse, sondern nur reell.

    Rein theoretisch hätte man sich durchaus vorstellen können, dass bei geschickter Wahl von R1 und R2 die Impedanz für unterschiedliche Frequenzen zwar reell bleibt, aber unterschiedliche (relle) Werte annimmt, so wie das bei den extremen Frequenzen null und unendlich zunächst ja auch ist, im einen Fall R1 im anderen R2. Ich war deshalb sehr froh, dass Du auch ohne die Bedingung R1=R2 darauf gekommen bist, dass diese Bedingung automatisch erfüllt ist.

    (Es wäre jetzt natürlich besonders ärgerlich, wenn die Bedingung eines konstanten reellen Widerstandes bei allen Frequenzen in der originalen Aufgabenstellung genannt gewesen, hier aber verschwiegen worden wäre.)
     

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