Hallo liebe Foren-Gemeinde,

könnte mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabenstellung zur Klausurvorbereitung helfen?

3. Eine Stahlkugel (Radius r, Dichte p1) wird in einem mit Öl (Dichte p2, dynamische Viskosität n) gefüllten Standzylinder fallen gelassen.
a) Welche Endgeschwindigkeit vE erreicht die Kugel?
b) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit vE1 bei doppeltem Radius?
c) Leiten Sie die Gleichung für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von Zeit für den Fall her, dass die Kugel zur Zeit t = 0 die Bewegung im Öl mit der Geschwindigkeit v0 = 0 beginnt.

Gegeben: r = 1 mm; p1 = 8300 kg/m3; p2 = 800 kg/m3; n = 1,5 Pa · s
 
Hallo,

fang doch mal mit a) an.
Welche Kräfte wirken denn auf die Kugel?
Wenn die Kugel eine konstante Endgeschwindigkeit erreicht hat, heißt das doch, dass dann die Beschleunigung gleich Null ist. Was heißt das für die Kräfte, die an der Kugel angeifen?

Gruß
 
Hallo,

mein Ansatz wäre den laminaren Widerstand mit der Gewichtskraft gleichzusetzen.
Dann müsste sich hierbei für die Endgeschwindigkeit ein Gleichgewicht zwischen dem Widerstand und der Gewichtskraft einstellen.
 
Genau, (wenn auf der linken Seite die Dichte des Oels und auf der rechten Seite die Dichte der Kugel gemeint ist).
 
Ja genau.

Bei der Aufgabe b) muss man ja nur den doppelten Radius einsetzen.

Könntest du mir noch einen Tipp zur herleitung der Gleichung geben?
 
bei der Gleichung setzt Du alle an der Kugel angreifenden Kräfte in die Gleichung F = m * a ein.
Die Beschleunigung a kannst Du ja auch als dv/dt schreiben.
Das ergibt eine lineare Differentialgleichung. Die Lösung der Differentialgleichung ist die gesuchte Gleichung für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit.
 
Könntest du mir das vielleicht nochmal genauer erklären/errechnen?
Aus einer ähnlichen Aufgabe ist mir v(t)=v0*(1-e^-lambda*t) für die konstante Fallbeschleunigung bekannt.
Wäre das hier nicht die Lösung?

Danke schon mal für deine Geduld bis hierher.
 
Es wird etwas mit einer e- Funktion herauskommen. Aber schreib doch erstmal die DGL hin. Schaffst Du das? Also es gilt F = m*a
Nun trägst Du für F sämtliche Kräfte ein, die auf die Kugel wirken.
 
Ich habe für mich jetzt die dgl aufgestellt und versucht diese nach dv aufzulösen.
Könntest du vielleicht zum Vergleich trotzdem nochmal die "musterlösung" präsentieren?
 
Ich fänd es eigentlich besser, wenn Du hier Deine Rechnung postest, und ich Dir helfe, wenn es klemmt.
Zeig doch mal Deine DGL.
Das wird ja eine inhomogene, lineare DGL 1. Ordnung sein, oder? Wie löst man die?
 
Ich habe mich jetzt nochmal mit der Aufgabe beschäftigt, aber ich bekomme den Schritt bis zur Lösung wohl nicht alleine hin.
Ich bin mit der Gleichung 6*pi*n*r*v+ g*p*V = m*dv/dt gestartet.
Nun habe ich versucht die Gleichung so umzuformen, dass ich auf eine e-funktion, wie oben beschrieben komme, jedoch vergeblich.
Könntest du mir vielleicht ein weiteres Mal helfen?
 
Hallo,
klar helfe ich Dir noch mal.
Zunächst hast Du wieder die Auftriebskraft vergessen. Auftriebs- und Gravitationskraft sind aber konstant, so dass ich die erstmal für die Rechnung durch eine Konstante ersetzen würde (z. B. "C"). 6πηr ist ebenfalls konstant und kann abgekürzt werden (z. B. "k"). Dann hat die zu lösende DGL ja die Form:
dv/dt + k/m * v = C

Das ist eine lineare, inhomogene DGL 1. Grades. Es gibt mehrere mögliche Wege, die DGL zu lösen, und ich weiß natürlich nicht, welchen Lösungsweg ihr gelernt habt. Der "Standardweg" ist, zunächst die allgemeine Lösung der DGL zu suchen, um dann mit Hilfe der Anfangsbedingung zur angepassten Lösung zu gelangen.
Die allgemeine Lösung für diese Art der DGL erhält man, indem man die allgemeine Lösung der "homogenen" Form der DGL mit der "partikulären" Lösung der inhomogenen DGL addiert.

Die homogene Form der DGL ist:
dv/dt + k/m * v = 0
Du suchst also eine Funktion v(t), welche die DGL erfüllt.
Du kannst diese Funktion z. B. durch "Trennung der Variablen" ermitteln, oder Du machst einen "Ansatz".
Lass uns mal einen Ansatz versuchen. Wir suchen eine Funktion v(t), die abgeleitet -k/m * v ergibt, und zwar für jedes t, wasceingesetzt wird. Ein guter Kandidat ist eben die e- Funktion, weil die Ableitung wieder eine e- Funktion ist. Fehlt noch der Vorfaktor -k/m. Den bekommt man aber auch hin. Der Ansatz wäre:
v(t) = A*e^(-k/m * t)
Du kannst das einfach prüfen, indem Du die Ansatzfunktion ableitest, und beides in die DGL einsetzt. Es sollte für jedes beliebige t Null ergeben.

Gibt es bis hier Fragen?

Gruß
 
Ok,
dann geht es weiter mit der partikulären Lösung der inhomogenen DGL. Das ist irgendeine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Am besten macht man wieder einen Ansatz. Hier kommt man meist zum Ziel, wenn man einen Ansatz "vom Typ der Inhomogenität" macht. Die Inhomogenität ist ja in unserem Fall eine Konstante "C". Also machen wir den Ansatz: v(t) = B.
Setz diesen Ansatz mal in die inhomogene DGL ein, und löse nach B auf.

Die allgemeine Lsg. der inhogenen DGL ist dann gleich der allgemeinen Lsg. der homogenen Form der DGL plus der partikulären Lsg.

Was bekommst Du bis hierher raus?
 
Ich habe das mit der partikulären Lösung noch nicht so ganz verstanden.
Also unsere inhomogene DGL ist ja dv/dt + k/m * v = C.
Auf der rechten Seite soll jetzt der Ansatz, also B eingesetzt werden bzw. wie muss ich da noch auflösen?

Das Ergebnis der partikulären Lösung addiere ich dann mit der homogenen Form, um die Lösung zu erhalten. Das habe ich verstanden.
 
Na, bei der partikulären Lösung machen wir den Ansatz, dass v(t) konstant ist (Du wirst später sehen, dass das die konstante Ensgeschwindigkeit wird). Für diese Konstante setzen wir erstmal einen Platzhalter ein (z. B. "B"). Den Ansatz setzen wir dann in die inhomogene DGL ein. Dann kannst Du nach B auflösen, um zu sehen, was die konstante Geschwindigkeit aus unserem Ansatz wirklich ist (und um zu prüfen, ob der Ansatz auch funktioniert, also die DGL erfüllt). Mach das mal, was bekommst Du für B raus?
 
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