Fourier Reihe - variable funktion

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von DavidHaus, 9 Aug. 2018.

  1. Hallo,

    Ich möchte die Fourier Reihe zu folgendem Spannungsverlauf aufstellen.
    Der Verlauf ist Variabel. Meine Lösung für de Koeffizienten av stimmt leider nicht mit der richtigen Lösung überein und ich würde gerne wissen was ich falsch mache.

    6.3.jpg

    Richtiges Gesamtergebnis:

    6.2.1.jpg
     
  2. Es müssen an und bn berechnet werden.
     
  3. Den bn Teil habe ich noch nicht berechnet, da mein an Teil bereits falsch ist..
    Der an Teil des Gesamtergebnisses müsste doch ( û / ( pi * v) ) * sin(v*w*t) sein, oder nicht?
    Ich habe im Sinus allerdings v*a*2*pi stehen. Das ich bn noch berechnen muss, wusste ich eigentlich, wollte aber erstmal wissen was ich bei an falsch mache..
     
  4. Hat etwas gedauert, weil ich es gleich testen wollte.

    u soll udach sein.

    a0 = u*2*a

    an = (u/(n*pi)) * sin(n*2*pi*a)

    bn = (u/(n*pi)) * (1-cos(n*2*pi*a))

    Beispiel mit a=1/3 und u=1
    upload_2018-8-9_22-35-59.png
     
  5. Also ist meine Lösung für av bzw an doch richtig?
    Jetzt bin ich verwirrt :D
     
  6. a0 = (1/pi)*Integral(u*dt) von 0 bis 2*pi*a
    a0 = (u/pi)*t von 0 bis 2*pi*a
    a0 = 2*u*a

    an = (2/T)*Integral(u*cos(n*w0*t)) von 0 bis a*T
    an = (2*u/T)*Integral(cos(n*2*pi*t/T)) von 0 bis a*T
    an = (2*u/T)*(1/(n*2*pi/T))*sin(n*2*pi*t/T) von 0 bis a*T
    an = (u/(n*pi))*sin(n*2*pi*a)

    bn = (2/T)*Integral(u*sin(n*w0*t)) von 0 bis a*T
    bn = (2*u/T)*Integral(sin(n*2*pi*t/T)) von 0 bis a*T
    bn = (2*u/T)*(1/(n*2*pi/T))*(-cos(n*2*pi*t/T)) von 0 bis a*T
    bn = (u/(n*pi))*(-cos(n*2*pi*a)+1)
    bn = (u/(n*pi))*(1-cos(n*2*pi*a))


    u(t) = u*(a + Summe(an*cos(n*w0*t) +bn*sin(n*w+t) )

    u(t) = u*(a + (1/(n*pi))*Summe( sin(n*2*pi*a)*cos(n*w0*t) +(1-cos(n*2*pi*a))*sin(n*w0*t) ) n=1 bis unendlich
     
  7. Davidhaus schrieb:

    >Richtiges Gesamtergebnis:

    [​IMG]


    Wenn ich diese Funktion mit a=1/3 plotte kommt aber nicht das gewünschte Ergebnis heraus.
    Plotte doch mal selber die Funktion bis n=7.
    Wo steht dieses Ergebnis zum nachlesen?
     
  8. Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau wie ich das plotten kann.
    Ich kenne mich mit LT-Spice leider nicht so wirklich gut aus.
    Das ist die Musterlösung aus meinem Script.
    Heißt das, die Musterlösung scheint falsch zu sein?
     
  9. Achso, was ich auch noch fragen wollte:

    Das verstehe ich nicht ganz. Im Falle a=1 wäre a0 = 2*u, dabei müsste es doch = u sein, oder nicht?
     
  10. Die Funktionsefinition hat ja dafür a0/2.

    u(t) = a0/2 + Summe( an*cos(n*w0*t) +bn*sin(n*w+t) ) n=1 bis unendlich

    u(t) = u*a + Summe(...)


    Das ist der Grund warum man besser schreibt
    a0/2 = u*a
    an = ...
    bn = ...

    statt
    a0 = 2*u*a
    an = ...
    bn = ...
     
  11. Was heißt in deiner Formel eigentlich dieser komische Haken. Ist das t?
    Kannst du das mal bitte lesbar schreiben?

    (sin(vw1t) -sin(v*(w1t-2pia))

    v ist mein n
     
  12. Hmm, ich versteh nicht ganz was du damit meinst. Das a soll ja beliebige Werte annehmen können. Wenn ich für a = 1 einsetze muss meiner Meinung nach a0 = û herauskommen. Das würde mit a0 = 2*u*a doch nicht funtkionieren, oder habe ich vielleicht einen Knoten im kopf?:D
    a0 = 2*u*a wäre dann ja nicht allgemeingültig, sondern würde nur für den gezeichneten Fall gelten, oder nicht?

    Ja, das soll ein t sein. Ich werd in Zukunft drauf achten!
     
  13. Was gibt es daran zu deuten?
    Das steht in jedem Buch. Nochmal schreib ich das nicht

    u(t) = a0/2 + Summe( an*cos(n*w0*t) +bn*sin(n*w+t) ) n=1 bis unendlich

    Wenn ich jetzt a0=2*u*a herausbekomme, dann wird das a0/2 in obiger Fornel u*a.
    u ist das u^.
     
  14. Oh, peinlich, hatte tatsächlich einen Knoten im Kopf.
    Ich komme jetzt aufs gleiche Ergebnis.
    Danke für die Hilfe und die Geduld! :)
     
  15. Die in #1 angegebene Referenzlösung heisst u(t) \ = \ a \cdot \hat{U} \ + \frac{\hat{U}}{\pi} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\sin(\nu\cdot\omega \cdot t)-\sin(\nu\cdot\omega \cdot t \ -\nu \cdot 2 \cdot \pi \cdot a)}{\nu}.
    Dieser Darstellung sind die Fourier -Koeffizienten nicht unmittelbar anzusehen.

    Mit dem Additionstheorem \sin(\alpha-\beta) \ = \ \sin(\alpha)\cdot\cos(\beta) \ - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) kann nach u(t) \ = \ a \cdot \hat{U} \ + \frac{\hat{U}}{\pi} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\sin(\nu \cdot 2 \cdot \pi \cdot a) \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t) \ + \lbrace 1 - \cos(\nu \cdot 2 \cdot \pi \cdot a) \rbrace  \cdot \sin(\nu \cdot \omega \cdot t) }{\nu} umgeformt werden.
    Jetzt sind die Koeffizienten zu erkennen, und alles passt zusammen.

    Die Musterlösung ist gemäss meiner Ansicht richtig.
     
    #15 xeraniad, 10 Aug. 2018 um 12:42 Uhr
    Zuletzt bearbeitet: 10 Aug. 2018 um 12:52 Uhr
    helmuts gefällt das.
  16. Wenn ich nun das zugehörige Amplitudensprektrum für a = 0,35 bestimmten möchte, wie muss ich da vorgehen?
    Theoretisch muss ich doch "einfach" für jedes v bzw. n die Amplitude bestimmen, oder?
    Angenommen ich habe die Funtkion 5* sin(x)
    Die Amplitude wäre dann ja 5. Was ist aber jetzt, wenn meine Funktion lautet: 5* sin(x) + 3*cos(x) ?
    So ähnlich ist es ja bei obiger Aufgabe, da besteht das ganze ja auch aus sin und cos Anteil und ist deswegen verschoben. Die Vorfaktoren kann ich also nicht einfach aufadieren.
     
  17. Ahh, super! Danke :)
    Auf so etwas würde ich niemals kommen... :D
     
  18. Hallo xerianiad,
    danke für deine Erklärung mit der Gleicheit der beiden Lösungen. Ich habe die Formel #1 jetzt neu geplottet und die Plots aus meiner Formel und der Musterlösung stimmen überein. (Ich hatte in meinem ersten Plotversuch die Musterlösung falsch eingetippt.)

    Im Anhang meine Simulationsdateien für LTspiceXVII.

    V(f) mit meiner Formel und V(g) mit dre Formel der Musterlösung. n von1 bis 7
    upload_2018-8-10_12-59-33.png
     

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  19. Zu #16:
    Es kann z. B. das Additions -Theorem\cos (\nu \cdot \omega \cdot t \ -\varphi_{\nu}) \ = \ \cos (\varphi_{\nu}) \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t) \ + \sin(\varphi_{\nu}) \cdot \sin (\nu \cdot \omega \cdot t) verwendet werden. Multiplikation mit der gesuchten Amplitude r_{\nu} ergibt \overbrace{r_{\nu} \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t \ -\varphi_{\nu})}^{f_{\nu} (t)} \ = \ \overbrace{r_{\nu} \cdot  \cos (\varphi_{\nu})}^{a_{\nu}} \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t) \ + \overbrace{r_{\nu} \cdot \sin(\varphi_{\nu})}^{b_{\nu}} \cdot \sin (\nu \cdot \omega \cdot t).
    Der angedeutete Koeffizienzenvergleich liefert a_{\nu} \ = \ r_{\nu} \cdot \cos (\varphi_{\nu}) und b_{\nu} \ = \ r_{\nu} \cdot \sin (\varphi_{\nu}).
    Die Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden ergibt r_{\nu} \ = \ \sqrt{a_{\nu}^2 \ + b_{\nu}^2} (die gesuchte Amplitude).
    Ausserdem ist \tan(\varphi_{\nu}) \ = \ \frac{b_{\nu}}{a_{\nu}} (der Tangens der Phase).
    Damit kann die Teilschwingung auch in der Form f_{\nu}(t) \ = \ \overbrace{\sqrt{a_{\nu}^2 \ + b_{\nu}^2}}^{r_{\nu}} \ \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t \ -\overbrace{\mathrm{atan}\lbrace \frac{b_{\nu}}{a_{\nu}} \rbrace}^{\varphi_{\nu}} ) geschrieben werden.

    Für das hier betrachtete Beispiel wird die Amplitude r_{\nu} \ = \  \frac{\hat{U}}{\pi \cdot \nu} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\cos(2 \cdot \pi \cdot \nu \cdot a)}.
     
    #19 xeraniad, 10 Aug. 2018 um 13:40 Uhr
    Zuletzt bearbeitet: 10 Aug. 2018 um 13:49 Uhr
  20. Ich komme auf 0,567*û als Amplitude für v = 1,
    wenn ich von û = 1V ausgehe.

    Die Musterlösung sieht allerdings wie folgt aus:

    Unbenannt.JPG

    Der Wert für v= 1 scheint der gleiche, ich verstehe die x-Achsen Einteilung allerdings überhaupt nicht.
     

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