Fourier Reihe - variable funktion

Hallo,

Ich möchte die Fourier Reihe zu folgendem Spannungsverlauf aufstellen.
Der Verlauf ist Variabel. Meine Lösung für de Koeffizienten av stimmt leider nicht mit der richtigen Lösung überein und ich würde gerne wissen was ich falsch mache.

6.3.jpg

Richtiges Gesamtergebnis:

6.2.1.jpg
 
Es müssen an und bn berechnet werden.
 
Den bn Teil habe ich noch nicht berechnet, da mein an Teil bereits falsch ist..
Der an Teil des Gesamtergebnisses müsste doch ( û / ( pi * v) ) * sin(v*w*t) sein, oder nicht?
Ich habe im Sinus allerdings v*a*2*pi stehen. Das ich bn noch berechnen muss, wusste ich eigentlich, wollte aber erstmal wissen was ich bei an falsch mache..
 
Hat etwas gedauert, weil ich es gleich testen wollte.

u soll udach sein.

a0 = u*2*a

an = (u/(n*pi)) * sin(n*2*pi*a)

bn = (u/(n*pi)) * (1-cos(n*2*pi*a))

Beispiel mit a=1/3 und u=1
upload_2018-8-9_22-35-59.png
 
a0 = (1/pi)*Integral(u*dt) von 0 bis 2*pi*a
a0 = (u/pi)*t von 0 bis 2*pi*a
a0 = 2*u*a

an = (2/T)*Integral(u*cos(n*w0*t)) von 0 bis a*T
an = (2*u/T)*Integral(cos(n*2*pi*t/T)) von 0 bis a*T
an = (2*u/T)*(1/(n*2*pi/T))*sin(n*2*pi*t/T) von 0 bis a*T
an = (u/(n*pi))*sin(n*2*pi*a)

bn = (2/T)*Integral(u*sin(n*w0*t)) von 0 bis a*T
bn = (2*u/T)*Integral(sin(n*2*pi*t/T)) von 0 bis a*T
bn = (2*u/T)*(1/(n*2*pi/T))*(-cos(n*2*pi*t/T)) von 0 bis a*T
bn = (u/(n*pi))*(-cos(n*2*pi*a)+1)
bn = (u/(n*pi))*(1-cos(n*2*pi*a))


u(t) = u*(a + Summe(an*cos(n*w0*t) +bn*sin(n*w+t) )

u(t) = u*(a + (1/(n*pi))*Summe( sin(n*2*pi*a)*cos(n*w0*t) +(1-cos(n*2*pi*a))*sin(n*w0*t) ) n=1 bis unendlich
 
Davidhaus schrieb:

>Richtiges Gesamtergebnis:




Wenn ich diese Funktion mit a=1/3 plotte kommt aber nicht das gewünschte Ergebnis heraus.
Plotte doch mal selber die Funktion bis n=7.
Wo steht dieses Ergebnis zum nachlesen?
 
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau wie ich das plotten kann.
Ich kenne mich mit LT-Spice leider nicht so wirklich gut aus.
Das ist die Musterlösung aus meinem Script.
Heißt das, die Musterlösung scheint falsch zu sein?
 
Die Funktionsefinition hat ja dafür a0/2.

u(t) = a0/2 + Summe( an*cos(n*w0*t) +bn*sin(n*w+t) ) n=1 bis unendlich

u(t) = u*a + Summe(...)


Das ist der Grund warum man besser schreibt
a0/2 = u*a
an = ...
bn = ...

statt
a0 = 2*u*a
an = ...
bn = ...
 
Was heißt in deiner Formel eigentlich dieser komische Haken. Ist das t?
Kannst du das mal bitte lesbar schreiben?

(sin(vw1t) -sin(v*(w1t-2pia))

v ist mein n
 
Die Funktionsefinition hat ja dafür a0/2.
Hmm, ich versteh nicht ganz was du damit meinst. Das a soll ja beliebige Werte annehmen können. Wenn ich für a = 1 einsetze muss meiner Meinung nach a0 = û herauskommen. Das würde mit a0 = 2*u*a doch nicht funtkionieren, oder habe ich vielleicht einen Knoten im kopf?:D
a0 = 2*u*a wäre dann ja nicht allgemeingültig, sondern würde nur für den gezeichneten Fall gelten, oder nicht?

Ja, das soll ein t sein. Ich werd in Zukunft drauf achten!
 
Was gibt es daran zu deuten?
Das steht in jedem Buch. Nochmal schreib ich das nicht

u(t) = a0/2 + Summe( an*cos(n*w0*t) +bn*sin(n*w+t) ) n=1 bis unendlich

Wenn ich jetzt a0=2*u*a herausbekomme, dann wird das a0/2 in obiger Fornel u*a.
u ist das u^.
 
Oh, peinlich, hatte tatsächlich einen Knoten im Kopf.
Ich komme jetzt aufs gleiche Ergebnis.
Danke für die Hilfe und die Geduld! :)
 
Die in #1 angegebene Referenzlösung heisst [tex]u(t) \ = \ a \cdot \hat{U} \ + \frac{\hat{U}}{\pi} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\sin(\nu\cdot\omega \cdot t)-\sin(\nu\cdot\omega \cdot t \ -\nu \cdot 2 \cdot \pi \cdot a)}{\nu}[/tex].
Dieser Darstellung sind die Fourier -Koeffizienten nicht unmittelbar anzusehen.

Mit dem Additionstheorem [tex]\sin(\alpha-\beta) \ = \ \sin(\alpha)\cdot\cos(\beta) \ - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)[/tex] kann nach [tex]u(t) \ = \ a \cdot \hat{U} \ + \frac{\hat{U}}{\pi} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\sin(\nu \cdot 2 \cdot \pi \cdot a) \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t) \ + \lbrace 1 - \cos(\nu \cdot 2 \cdot \pi \cdot a) \rbrace \cdot \sin(\nu \cdot \omega \cdot t) }{\nu} [/tex] umgeformt werden.
Jetzt sind die Koeffizienten zu erkennen, und alles passt zusammen.

Die Musterlösung ist gemäss meiner Ansicht richtig.
 
Zuletzt bearbeitet:
Wenn ich nun das zugehörige Amplitudensprektrum für a = 0,35 bestimmten möchte, wie muss ich da vorgehen?
Theoretisch muss ich doch "einfach" für jedes v bzw. n die Amplitude bestimmen, oder?
Angenommen ich habe die Funtkion 5* sin(x)
Die Amplitude wäre dann ja 5. Was ist aber jetzt, wenn meine Funktion lautet: 5* sin(x) + 3*cos(x) ?
So ähnlich ist es ja bei obiger Aufgabe, da besteht das ganze ja auch aus sin und cos Anteil und ist deswegen verschoben. Die Vorfaktoren kann ich also nicht einfach aufadieren.
 
Hallo xerianiad,
danke für deine Erklärung mit der Gleicheit der beiden Lösungen. Ich habe die Formel #1 jetzt neu geplottet und die Plots aus meiner Formel und der Musterlösung stimmen überein. (Ich hatte in meinem ersten Plotversuch die Musterlösung falsch eingetippt.)

Im Anhang meine Simulationsdateien für LTspiceXVII.

V(f) mit meiner Formel und V(g) mit dre Formel der Musterlösung. n von1 bis 7
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Anhänge

Zu #16:
Es kann z. B. das Additions -Theorem[tex]\cos (\nu \cdot \omega \cdot t \ -\varphi_{\nu}) \ = \ \cos (\varphi_{\nu}) \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t) \ + \sin(\varphi_{\nu}) \cdot \sin (\nu \cdot \omega \cdot t)[/tex] verwendet werden. Multiplikation mit der gesuchten Amplitude [tex]r_{\nu}[/tex] ergibt [tex]\overbrace{r_{\nu} \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t \ -\varphi_{\nu})}^{f_{\nu} (t)} \ = \ \overbrace{r_{\nu} \cdot \cos (\varphi_{\nu})}^{a_{\nu}} \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t) \ + \overbrace{r_{\nu} \cdot \sin(\varphi_{\nu})}^{b_{\nu}} \cdot \sin (\nu \cdot \omega \cdot t).[/tex]
Der angedeutete Koeffizienzenvergleich liefert [tex]a_{\nu} \ = \ r_{\nu} \cdot \cos (\varphi_{\nu})[/tex] und [tex]b_{\nu} \ = \ r_{\nu} \cdot \sin (\varphi_{\nu})[/tex].
Die Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden ergibt [tex]r_{\nu} \ = \ \sqrt{a_{\nu}^2 \ + b_{\nu}^2}[/tex] (die gesuchte Amplitude).
Ausserdem ist [tex]\tan(\varphi_{\nu}) \ = \ \frac{b_{\nu}}{a_{\nu}}[/tex] (der Tangens der Phase).
Damit kann die Teilschwingung auch in der Form [tex]f_{\nu}(t) \ = \ \overbrace{\sqrt{a_{\nu}^2 \ + b_{\nu}^2}}^{r_{\nu}} \ \cdot \cos (\nu \cdot \omega \cdot t \ -\overbrace{\mathrm{atan}\lbrace \frac{b_{\nu}}{a_{\nu}} \rbrace}^{\varphi_{\nu}} )[/tex] geschrieben werden.

Für das hier betrachtete Beispiel wird die Amplitude [tex]r_{\nu} \ = \ \frac{\hat{U}}{\pi \cdot \nu} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\cos(2 \cdot \pi \cdot \nu \cdot a)}[/tex].
 
Zuletzt bearbeitet:
Ich komme auf 0,567*û als Amplitude für v = 1,
wenn ich von û = 1V ausgehe.

Die Musterlösung sieht allerdings wie folgt aus:

Unbenannt.JPG

Der Wert für v= 1 scheint der gleiche, ich verstehe die x-Achsen Einteilung allerdings überhaupt nicht.
 
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