Fourier Integral Produkt sin(x)*cos(ax)

Hallo,

ich möchte die Fourier-Reihe folgender Spannung bestimmen.
a0 habe ich bereits bestimmt. Bei av habe ich jedoch meine Probleme.
Ich weiß leider nicht, wie sich sich das Integral berechnen lässt.

Laut Musterlösung ist av = ( 4û / ( pi * ( 1 - v^2 ) ) )* cos(vwt)
Der Online Integralrechner spuckt mir allerdings etwas anderes aus...

Aufgabenteil b) verlangt die Brechnung der Amplituten der Spannung am Verbraucher.
Die Spannung am Verbraucher ist doch einfach die positive Halbwelle des Sinus, oder nicht?
Dann gibt es doch nur die eine Amplitude, oder wird die Spannung irgendwie durch den Verbraucher verändert? Immerhin sind ja auch Werte für den Verbraucher angegeben. Was ist hiermit wohl gemeint? :)

6.4.jpg
 
Laut Musterlösung ist av = ( 4û / ( pi * ( 1 - v^2 ) ) )* cos(vwt)
wobei das nur für gerade v also v=2,4,6,.... gilt. Für ungerade v ist av=0

a2 = (4û/pi)*(-1/3)
a4 = (4û/pi)*(-1/15)
a6 = (4û/pi)*(-1/35)

Im Mathebuch steht das Gleiche nur etwas anders formuliert.
a2 = -(4û/pi)*(1/3)
a4 = -(4û/pi)*(1/(3*5))
a6 = -(4û/pi)*(1/(5*7))

upload_2018-8-10_15-23-26.png
 
Ja, das ist ideale Zweiweg-Gleichrichtung; [tex]\frac{a_0}{2} \ = \ \hat{U} \cdot \frac{2}{\pi}[/tex], [tex]a_{\nu} \ = \ \hat{U} \cdot \frac{4}{T} \cdot \int_{0 \mathrm{s}}^{\frac{T}{2}} \sin(\omega \cdot t) \cdot \cos(\nu \cdot \omega \cdot t) \mathrm{d} t \ = \ -\frac{4}{\pi} \cdot \hat{U} \cdot \overbrace{ \ \ \frac{1 + (-1)^{\nu}}{2} \ }^{\mathrm{even}(\nu)} \cdot \frac{1}{\nu^2 -1}[/tex].
dh.png (magenta, die nicht gleichgerichtete Referenz liegt grün darüber)
Code:
  T = 1./50.
  U = 220. * sqrt(2.)   # Aufgabe <= 1987?
  w = 2.*pi/T

  N = 16
  u(t)  = U/pi *  (2. - 4.*sum [l=1:N] cos(2.*l*w*t)/((2.*l*2.*l-1.)) )
  set samples 2048
  set xrange [    -T :T]
  set yrange [-1.2*U :1.2*U]
 set terminal png
 set output  'dh.png'
  plot                                                      u(x),  U*sin(w*x)
 set nooutput
  exit
(gnuplot)
 
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Die Last -Impedanz hat hier wegen als ideal angenommenen Quelle und Dioden keinen Einfluss auf die Ausgangs -Spannung.
Hoffentlich wird im nächsten Aufgabenteil nicht noch nach der Herleitung für den Strom durch die Last gefragt :unsure:
 
Die Last -Impedanz hat hier wegen als ideal angenommenen Quelle und Dioden keinen Einfluss auf die Ausgangs -Spannung.
Hoffentlich wird im nächsten Aufgabenteil nicht noch nach der Herleitung für den Strom durch die Last gefragt :unsure:
Im eingeschwungenen Fall lässt sich das ja als Summe der Einzelströme berechnen. Die Un hat man ja mit den Fourierkoeffizienten.

Iges = Summe Un/Z(jwn)
 
Genau, das Superpositions -Prinzip für Spannungsquellen, wovon Du in den spice -Modellen Gebrauch machst.
Der eingeschwungene Gleichstrom -Anteil wird [tex]\frac{a_{0 \lbrace i_R(t) \rbrace}}{2} \ = \ \frac{1}{R} \cdot \frac{a_{0 \lbrace u(t) \rbrace}}{2}[/tex]
und die Fourier -Koeffizienten für die harmonischen Anteile des stationären Stromes [tex]i_{R \ \nu}[/tex] könnten mittels komplexer Wechselstrom -Rechnung mit der Impedanz [tex]{\underline{Z}_{\nu} \ = \ R \ +\mathrm{j} \cdot \nu \cdot \omega \cdot L[/tex] gefunden werden.
 
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Aber wie berechne ich denn das Integral per Hand? Ich komme da mit meinen Rechenkünster an meine Grezen. Bei Produkten gibt es doch keine direkte Regel, oder?
 
> Aber wie berechne ich denn das Integral per Hand?

Integrale schaut man, außer bei Trivialfällen, immer in einem Tabellenbuch nach. Trivialfälle sind für mich x^n und sin(x), cos(x).
sin(x)*cos(x) und sin(x)*sin(x) sehe ich nicht als Trivialfälle.
In Prüfungen ist normalerweise eine bestimmte Tabelle/Buch erlaubt oder es ist eine Tabelle im Anhang der Aufgabe.
 
Falls Du übungshalber "per Hand" integrieren willst, könntest Du z. B. die Identität [tex]\sin(\varphi) \cdot \cos(\varphi) \ = \ \frac{1}{2} \cdot \sin(2 \cdot \varphi)[/tex] verwenden oder partielle Integration oder für dies Beispiel gar Substitution {<neue Variable> := sin(x)}.
 
xeraniad schrieb:
sin(x)*cos(x) = 0,5*sin(2*x)

Auswendig wüsste ich das aber auch nicht. Da bräuchte ich dann ein Tabellenbuch mit den Umrechnungsformeln der Kreisfunktionen.
 
Was für Studium machst du? Elektrotechnik ?
Genau

> Aber wie berechne ich denn das Integral per Hand?

Integrale schaut man, außer bei Trivialfällen, immer in einem Tabellenbuch nach. Trivialfälle sind für mich x^n und sin(x), cos(x).
sin(x)*cos(x) und sin(x)*sin(x) sehe ich nicht als Trivialfälle.
In Prüfungen ist normalerweise eine bestimmte Tabelle/Buch erlaubt oder es ist eine Tabelle im Anhang der Aufgabe.
Hm, davon war bei uns nie die Rede. Bei manchen Aufgaben sind exlizite Tipps fürs des Integrals angegeben. Bei dieser war nichts angegeben. Egal, dann werd ich mir nicht weiter den kopf daran zerbrechen.
 
Das bedeutet man sollte sich diese drei Umformungen merken, weil das ist genau der erste Schritt bei der Lösungsfindung des Integrals bei deser und ähnlicher Aufgaben mit Sinus und Cosinus.

sin(x)*cos(x) = 0,5*sin(2*x)

sin(x)*sin(x) = 0,5*(1-cos(2*x))

cos(x)*cos(x) = 0,5*(1+cos(x))

Das Integral könnte man sich damit wieder selber überlegen. Ich leite dann das Ergebnsi zur Kontrolle gleich wieder ab um zu sehen, dass das Vorzeichen und der Vorfaktor (hier 0,5) stimmt.
Integral sin(2x) = 0,5*cos(2x)
 
Zu #14: Huch, ja. Dann könnte man die Stammfunktion mittels partieller Integration finden.
(Für dies Beispiel zweimalig anzuwenden.)
 
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[tex]\int \underbrace{\sin(x)}_{{\cos(x)}^{\downarrow}} \cdot \underbrace{\cos(a \cdot x)}_{{\frac{1}{a}\cdot\sin(a \cdot x)}^{\uparrow}} \mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{a} \cdot \sin(x) \cdot sin(a \cdot x) \ - \ \frac{1}{a} \cdot \int \cos(x) \cdot sin(a \cdot x) \mathrm{d} x[/tex]

[tex]\int \underbrace{\cos(x)}_{{-\sin(x)}^{\downarrow}} \cdot \underbrace{\sin(a \cdot x)}_{-{\frac{1}{a}\cdot\cos(a \cdot x)}^{\uparrow}} \mathrm{d}x \ = \ -\frac{1}{a} \cdot \cos(x) \cdot cos(a \cdot x) \ - \ \frac{1}{a} \cdot \int \sin(x) \cdot cos(a \cdot x) \mathrm{d} x[/tex]

[tex]\int \sin(x) \cdot \cos (a \cdot x) \mathrm {d}x \ = \ \frac{1}{a} \cdot \sin(x) \cdot \sin(a \cdot x) \ + \frac{1}{a^2} \cdot \cos(x) \cdot cos(a \cdot x)\ +\frac{1}{a^2} \cdot \int \sin(x) \cdot \cos (a \cdot x) \mathrm {d} x[/tex]

[tex](1 - \frac{1}{a^2}) \cdot \int \sin(x) \cdot \cos (a \cdot x) \mathrm {d}x \ = \ \frac{1}{a} \cdot \sin(x) \cdot \sin(a \cdot x) \ + \frac{1}{a^2} \cdot \cos(x) \cdot cos(a \cdot x) [/tex]

[tex](a^2 - 1) \cdot \int \sin(x) \cdot \cos (a \cdot x) \mathrm {d}x \ = \ a \cdot \sin(x) \cdot \sin(a \cdot x) \ + \ \cos(x) \cdot cos(a \cdot x) [/tex]
[tex]\int \sin(x) \cdot \cos (a \cdot x) \mathrm {d}x \ = \ \frac{a \cdot \sin(x) \cdot \sin(a \cdot x) \ + \ \cos(x) \cdot cos(a \cdot x)}{a^2-1} \ + \mathrm{const.}[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin(x)+*+cos(a*x)
 
Ahh, okay!
Ich hatte es tatsächlich schon mit Partieller integration probiert. Hab es dann aber bei einmaliger Anwendung belassen und aufgegeben, da es danach nur noch komplizierter aussah :D
Danke für die Hilfe!
 
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