Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Hallo,

ich hab folgende Funktion:[tex]f(x)=\frac{3X^{2}+4X-4 }{X^{2} } [/tex]
Die Fläche zwischen der x-Achse, der Asymptote und dem Pol soll berechnet werden.
Den Pol hab ich berechnet mit x=0 und die Asymptote mit y=3. Wie komme ich jetzt auf die Fläche? Ich habe hier eine Funktion im Zähler und im Nenner. Welche muß ich für die Flächenberechnung verwenden? Muß ich eine Stammfunktion der gebrochen rationalen Funktion bilden? Wenn ja, wie?
Kann mir jemand helfen?
Danke schon im vorraus.

VG WodkaRedBull
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

[tex]\int \frac{3X^{2}+4X-4 }{X^{2} }\, dx [/tex]

[tex]\int \frac{3X^{2}}{X^{2} } \, dx+\int \frac{4X}{X^{2} } \, dx-\int \frac{4 }{X^{2} } \, dx[/tex]

[tex]\int \frac{3}{1 } \, dx+\int \frac{4}{X } \, dx-\int \frac{4 }{X^{2} } \, dx[/tex]

[tex]3 \cdot \int \, 1 \, dx+4 \cdot \int \, \frac{1}{X } \, dx-4\int \, \frac{1 }{X^{2} } \, dx[/tex]

Hinweis: [tex]\frac{1}{x^2} = x^{-2}[/tex]
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Wie lautet denn dann die gebildete Stammfunktion? Was sind denn hier meine Grenzen? Nehme ich die Nullstelle und den Pol=0?
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Wie lautet denn dann die gebildete Stammfunktion?

Ich habe doch oben so zerlegt, dass du nur noch drei Grundintegrale bestimmen musst.

Bei dem einzige "schwierigen" habe ich noch einen Hinweis hinzugefügt.

Du musst also nur noch in Deinem Buch oder bei wikipedia unter Grundintegrale bzw. Stammfuntionen trivialeinfachster Grundfunktionen gucken was da rauskommt. Wenn Du das nicht checkst, dann musst du nochmal die grundlegensten Fundamentalgrundlagen der allerersten Stunde Integralrechnung wiederholen. Das musst du irgendwann kapieren, sonst kannst du alle zukünftigen Integralrechnungen unbesehen in die Tonne treten.
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

danke für die ausführliche Belehrung. O.k. die Stammfunktion zu bilden ist vielleicht nicht das Ding. Wie komme ich aber hier auf meine Grenzen? Die Fläche zwischen Asymptote, Pol und x-Achse? An dieser Stelle komm ich nicht weiter. Wie omme ich auf meine Grenzen?
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

für den ersten Therm:[tex]3\int_{?}^{?} x[/tex]
für den zweiten Therm:[tex]4\int_{?}^{?} ln(x)[/tex]
den dritten Therm konnte ich nirgens finden.
Werden die Konstanten in der Stammfunktion dazu addiert? Kann ich meine errechneten Nullstellen ( [tex]\frac{2}{3} [/tex] und -2) als untere und obere Grenze annehmen?
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Mach doch erstmal die Aktion mit den Stammfunktionen fertig, bevor wir uns um die Grenzen kümmern.

Systematisches Vorgehen hilft nicht nur bei mathematischen Aufgabenstellungen enorm!

Also:
[tex]3 \cdot \int \, 1 \, dx+4 \cdot \int \, \frac{1}{X } \, dx-4\int \, \frac{1 }{X^{2} } \, dx[/tex]

Hinweis: [tex]\frac{1}{x^2} = x^{-2}[/tex]

Da war ich letztens stehen geblieben und dann bist Du offenbar genau da rumgestolpert, wo ich vermutet habe.
Ausserdem ist Dir wohl auch noch nicht so wirklich mal gezeigt worden, wie man das so schreibt.
wenn du zu einem Intgral die Lösung (Stammfunktion) gefunden hast, muss das Integralzeichen weg!

Beispiel:
[tex]3 \cdot \int \, 1 \, dx \, = \, 3x +C[/tex]
Das wäre der allgemeine Fall. Willst du die Grenzen gleich mit reinbringen sieht das dann so aus:
[tex]3 \cdot \int_s^t \, 1 \, dx \, = \, 3[x]_s^t[/tex]

Das C als Symbol für die Konstante fällt weg und stattdessen kommt die Stammfunktion in eine eckige Klammer, an deren Ende die Grenzen eingesetzt werden.
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Jetzt zu dem Teilintegral, das du nicht finden konntest:
[tex]\int \, \frac{1 }{X^{2} } \, dx[/tex]

Hinweis: [tex]\frac{1}{x^2} = x^{-2}[/tex]

setzt Du den Hinweis um, dann entsteht folgender Term:
[tex]\int \, X^{-2} \, dx[/tex]

Den kann man bearbeiten, wie jeden stinknormalen Polynom: also den Exponenten um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen:

alter Exponent ist minus zwei ... eins addieren wird dann zu minus eins (Nein, NICHT minus drei!)

Dann teilt man den Term durch den neuen Exponenten ... bei Teilen durch minus eins ändert sich nix eigentlich, weil geteilt durch eins nix ändert ... aaaaaaber das MINUS! Es ändert sich das Vorzeichen. Fertig sieht das dann so aus:

[tex]\int \, X^{-2} \, dx \, = \, -X^{-1} \,+C [/tex]

und wir wissen ja sicher (nicht), dass [tex]X^{-1} \,=\frac1x [/tex] ist, oder ?
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Prima...
also lautet die Stammfunktion [tex]-\frac{1}{x} [/tex]
Das man die Stammfunktion nicht mit einem Integral darstellt ist mir bekannt. Ich habe die Darstellung als Betragsstrich kennengelernt. Den konnte ich im Editor nicht finden.
Kann ich nun meine Nullstellen als Grenze annehmen? d.h. 1x 2/3-0 und 1x -2-0 berechnen. Beide Flächen addieren?
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Sorry, der Formeleditor ist hier eine Qual....
Die gesammte Stammfunktion lautet also:
[tex] \[ 3x+4ln(x)+\frac{4}{x} \] [/tex]
Wie komm ich dann auf meine Grenzen? Nullstellen?
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

Die Stammfunktion hast Du nun richtig zusammengebaut *lob*

Der Formeleditor ist LaTeX - basiert - dazu gibts im wikipedia eine Befehlstabelle.
Zugeben muss ich, dass in diesem Forum hier die Umsetzung manchmal ganz schön hakelt - andere Foren die ähnliche Editoren verwenden sind da an einigen Stellen leichter zu bedienen. Blöd ist nur, wenn man damit überhaupt keine Übung hat ...

Jetzt zur Grenzermittlung:

8f692327d38ef1bead59c6d170a2f458.gif

Die Fläche zwischen der x-Achse, der Asymptote und dem Pol soll berechnet werden.
Den Pol hab ich berechnet mit x=0 und die Asymptote mit y=3.

Günstig ist sich zunächst eine Skizze zu machen von dem Geschehen zwecks Überblick. Kann jeder GTR (aber auch diese Teile wollen bedient werden - eigentlich empfehle ich immer, die auf die Schienen zu legen und auf den nächsten Zug zu warten) oder mit dem PC nachdem man GeoGebra runtergeladen und installiert hat.

Ohne Hilfsmittel dieser Art suchen wir die Schnittstellen der Funktion mit den oben angegebenen Linien:

x=0 ist am schönsten ... aber leider ein Definitionsproblem

Die anderen beiden sind hundsgemein ...

f(x)=0

und

f(x)=3

... aber auf den zweiten Blick handelt es sich doch nur um quadratische Gleichungen.
 
AW: Flächenberechnung einer gebrochen rationalen Funktion

die Schnittpunkte hab ich. f(x)=0 sind die Nullstellen -2 und 2/3
f(x)=3 ist 1
Die linke Funktion im 2 und 3. Quadranten schneidet nie die Asymptote. Wie kann ich dort die Fläche berechnen? Wie kann ich nun damit weiter rechnen. Wie komme ich nun auf meine Fläche? Die Funktion im 2. und 3. Quadranten hat den Schnittpunkt mit der Abszisse -2. Die Funktion im 1. und 4. Quadranten hat den Schnittpunkt 2/3 mit der Abszisse und 1 mit der Asymptote.
Wie komme ich hier weiter?
 

Jobs

Jobmail abonieren - keine Jobs mehr verpassen:

Top