Federkraftverteilung in Zugstab

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Hallo Leute,
ich habe folgendes Problem siehe Bild oben:

Eine Kraft F zieht an einem Stab, der zwei verschiedene Dehnsteifigkeiten besitzt. Diese sind k0 und k1. In jedem Knoten nach dem Lastangriffspunkt sind Federn in horizontaler Richtung mit der Steifigkeit c vorhanden. Ansonsten gibt es keine weiteren Lager.

Was ich nun wissen möchte:
Wie verteilt sich die Last F auf die einzelnen Federn? Beziehungsweise wie groß sind F1, F2, F3 etc. Ich möchte das System beliebig erweitern, also 2 bis n Federn anfügen. Jeweils mit der Dehnsteifigkeit k1 dazwischen. Die Steifigkeit k0 sollte theoretisch keinen Einfluss auf die Lastverteilung haben, sondern nur auf die Verschiebung insgesamt. Diese interessiert mich eher weniger.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus.
 
B

Benutzer155553

Gast
Wenn ich das richtig verstehe hast du 3 verschiedene Federn mit Federkonstanten k0, k1 und c. Richtig?

Dann ist das ganze ja eine Schaltung mit Federn in Reihe und parallel. Schau dir doch mal die Regeln dazu an und überlege welche Feder zu welchem unterteilsystem paralel geschaltet ist.

Die Steifigkeit k0 sollte theoretisch keinen Einfluss auf die Lastverteilung haben
Das stimmt!

Und bei n Federn musst du einfach n-1 mal summieren und am Ende, so wie hier auch, den Randterm berücksichtigen.
 
Wenn ich das richtig verstehe hast du 3 verschiedene Federn mit Federkonstanten k0, k1 und c. Richtig?
Das ist richtig.

Dann ist das ganze ja eine Schaltung mit Federn in Reihe und parallel. Schau dir doch mal die Regeln dazu an und überlege welche Feder zu welchem unterteilsystem paralel geschaltet ist.
Das stimmt. Die Regeln dazu habe ich mir schonmal angesehen, jedoch weiß ich nicht, wie ich damit umgehen soll, dass die in Reihe geschalteten Federn hier Auflager sind und nicht komplett gemeinsam wirken. Dann würde sich ja einfach deren Steifigkeit addieren. So ist es ja nicht.

Am Meisten geht es mir wie gesagt um die Kraft F1 der ersten Feder. Diese erhält ja logischerweise den größten Anteil von F.

Und bei n Federn musst du einfach n-1 mal summieren und am Ende, so wie hier auch, den Randterm berücksichtigen.

Was genau meinst du mit den "Randterm" berücksichtigen? Die Last F?

Und danke für die schnelle Antwort!
 
B

Benutzer155553

Gast
Am Meisten geht es mir wie gesagt um die Kraft F1 der ersten Feder. Diese erhält ja logischerweise den größten Anteil von F.

Was man tut ist, die Energie für die 4 Freiheitsgrade x_1, ... , x_4 aufzuschreiben. Mit dem Gradienten kann man dann die Kräfte ermitteln und wenn man an den Positionen interessiert ist, muss man die Energie E = E(x_1, ... , x_4) minimieren, also Gradient Null setzen und streng genommen checken ob es ein Minimum ist.

Die Energie setzt sich aus sämtlichen potentiellen Energien der Federn zusammen.

[tex] E(x_1, x_2, x_3, x_4) = c(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) + k_0 x_1^2 + k_1((x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_4)^2) [/tex]

Die Kraft der ersten Feder greift auch in x_1 an, also möchten wir die Kraft F_1 wissen, also müssen wir die Energie nach x_1 ableiten.

Dann erhalten wir

[tex] F_1 = -x_1 c - (x_1 - x_2) k_1 \Rightarrow x_1 c = - (x_1 - x_2)k_1 - F_1 [/tex]

x_1 c erkennen wir als die Federkraft und F_1 ist die Randkraft. Es fehlen aber noch x_1 und x_2. Im Gleichgewichtszustand wird die Energie minimiert, also lassen sich x_1 und x_2 mit

[tex] - \nabla E = F = 0 [/tex]

berechnen.
 
F1=−x1c−(x1−x2)k1⇒x1c=−(x1−x2)k1−F1

Vielen Dank für die Hilfe! Also bis dahin leuchtet mir die Herleitung ein.

Die Bestimmung von x_1 und x_2 allerdings mit


kann ich noch nicht ganz nachvollziehen. Könntest du mir vielleicht bitte ein Zahlenbeispiel geben für
c=3 000 kN/m
k_0=80 000 kN/m
k_1=120 000 kN/m?
Das wäre sehr nett, danke!
 
B

Benutzer155553

Gast
[tex] - \nabla E = F_{ges} = - \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} E \\\ \frac{\partial}{\partial x_2} E \\\ \frac{\partial}{\partial x_3} E \\\ \frac{\partial}{\partial x_4} E \end{pmatrix} = 0 [/tex]

Das wir das tun ist klar. Im Gleichgewicht müssen die Kräfte verschwinden, sonst gäb es noch eine Bewegung, deswegen setzen wir F_ges = 0.

Für x_1 bspw. erhalten wir dann

[tex] F1 = - x_1 c - (x_1 - x_2) k_1 - (x_0 -x_1) k_0 \overset{!}{=} 0[/tex]

wobei ich für eine koordinate x_0 einführen musste, die ich oben nicht verwendet habe, aber das schränkt die Freiheit ein.
Genauer heisst dass, ich habe den Term [tex]k_0 x_1^2[/tex] durch [tex]k_0 (x_0 - x_1)^2[/tex] ersetzt habe.

[tex]- (x_1 -x_0) k_0[/tex] erkennen wir dann als die äußere Kraft und ersetzen sie durch die äußere Kraft F.

Das ganze müssen wir dann noch für die restlichen 3 Komponenten machen und erhalten ein Lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten und 4 Gleichungen, also lösbar.
 
B

Benutzer155553

Gast
Ich hab das mal durchgerechnet. Die Lösung des Gleichungssystems ist wilder geworden als erwartet :D deswegen geb ich dir hier mal die Lösung.Stab.png
Alle Auslenkungen negativ und sie steigen von x4 bis x1 auch! Die Probe in der letzten Zeile ergibt auch das richtige Ergebnis.
Nicht wundern, ich habe der Einfachheit halber die Randbedinung -F = -k0 (x0 - x1) in das Gleichungssystem mit aufgenommen.

Wenn du das mit mehr Elementen machen möchtest, musst du einfach mehr Terme zur Energie hinzufügen. Bei n Teilen muss man wohl mal zu Fuss mit den Regeln für Parallel- und Reihenschaltung rangehen. Dann kann man vermutlich eine rekursive Formel ablesen.
 
So etwas wildes habe ich erwartet. Dankeschön für die Lösung auf jeden Fall. In etwa zwei Wochen habe ich Zeit das ganze mal nachzuvollziehen. Dann werde ich mich gegebenenfalls nochmal melden.

War eine super Hilfestellung :)
 
Hallo,
also ich habe das ganze mal in RSTAB nachgerechnet und deine Ergebnisse stimmen. Ich habe den Weg auch mittlerweile nachvollzogen.

Jetzt versuche ich gerade in Octave den Rechenweg zu implementieren, wie du es gemacht hast. Ich komme auf einen Spaltenvektor mit den Ableitungen. Wie kann ich damit weitermachen, sodass ich eine passende Matrix mit den Variablen erhalte, sodass ich das Gleichungssystem einfach lösen kann? Oder vielleicht könntest du mir verraten, womit du die Rechnung gemacht hast?

Ich möchte als nächstes versuchen für verschieden Anzahlen die x_1 Werte zu ermitteln, um (wie du schon sagtest) eine rekursive Formel ablesen zu können.

Vielen Dank!
 
B

Benutzer155553

Gast
Ich habe ein Computer Algebra System benutzt. Octave ist in erster Linie für numerische Probleme.

Wie hast du denn den Gradienten ausgerechnet?

Zeigst du mal deinen Code?
 
Also ich habe es so gemacht:

syms x0 %Variablendefinition
syms x1
syms x2
syms x3
syms x4

syms c %Variablendefinition
syms k0
syms k1

E=1/2*(c*(x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)+k0*(x0-x1)^2+k1*((x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x3-x4)^2)) %Energiegleichung

F0=diff(E,x0) %Bildung der Ableitungen
F1=diff(E,x1)
F2=diff(E,x2)
F3=diff(E,x3)
F4=diff(E,x4)

F=[F0; F1; F2; F3; F4] %Damit erhalte ich eine 5x1 Matrix F mit den Ableitungen

Jetzt kann ich aber aus der Matrix F nicht das Gleichungssystem lösen, da es nur in 5x1 Form vorliegt und nicht "koeffizientengerecht" ist nenne ich es mal.

Gibt es da einen Weg das ganze so zu berechnen, dass ich mit dem Ansatz A\b=x auf meine Verschiebungen x komme? Wobei A dann die koeffizientengerechte Matrix aus den Ableitungstermen wäre.
 
B

Benutzer155553

Gast
Ok, du benutzt das symbolic package!

Und du meinst so etwas:

screen.png

Das kann man auch machen. Oben habe ich aber einfach grad E = 0 gesetzt und das von dem Solver lösen lassen.

Such mal nach coefficient array, da solltest du etwas finden.
 
Alles klar. Habe die Matrizen jetzt erstmal manuell eingegeben, weil ich die nur für maximal 7 Auflagerfedern brauchte. Werde mir das aber noch ansehen.

Vielen Dank für die ganze Hilfe! =)
 

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