Extremwertaufgaben

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von ADDA, 21 Juli 2007.

  1. Hallo zusammen!
    Ich schreibe nach den Ferien eine Mathe Klausur!
    Ich komm einfach nicht vorran bei zwei Aufgaben!
    Vielleicht kann mir ja einer helfen!
    1 Aufgabe:
    In einen geraden Kreiskegel (Radius 4 cm, Höhe 12 cm) ist ein Zylinder mit maximalem Volumen einzuschreiben. Berechnen Sie Radius und Höhe des Zylinders.
    2. Aufgabe:
    Berechnen Sie die Höhe h eines geraden Kreiskegels mit der Mantellinie 9m für den Fall maximalen Kegelvolumens.
     
  2. AW: Extremwertaufgaben

    Aus dem rechtwinkeligen Dreieck aus
    Kegelachse h=12, Mantellinie m und Radius=4 lässt sich der Zusammenhang zwischen r und z=Zylinderhöhe ermitteln:
    \frac{r}{4}=\frac{h-z}{h} \  \Rightarrow \  r = \frac{4(h-z)}{h} = \frac{(12-z)}{3}

    Das Volumen des Zylinders ist
    V = r^2\cdot \pi \cdot z = \frac{(12-z)^2}{9} \cdot \pi \cdot z

    Jetzt suchen wir das Maximum, indem wir V nach z ableiten:
    V^{\'} = \frac{\pi }{3}(z-12)(z-4) = 0 \\ z = 4
    Die Lösung 12 ist Blödsinn.
    Demnach ist r = 3
    Hierfür brauchen wir die Formel für das Kegelvolumen:V = r^2\pi \cdot h mit r² = m² - h²
    V = (m^2-h^2)\pi \cdot h \\ V^\'=-3\pi (x^2-27) \\ h=3\sqrt{3}

    Bitte genau nachrechnen, ADDA
     
  3. AW: Extremwertaufgaben

    Danke für deine Hilfe
     
  4. AW: Extremwertaufgaben

    danke für deine hilfe
     
  5. AW: Extremwertaufgaben

    Aber ich habe doch einen Fehler (wenn er auch das Ergebnis nicht verfälscht) - wo?
     
  6. AW: Extremwertaufgaben

    wo ist denn der Fehler?
     
  7. AW: Extremwertaufgaben

    In der 5.letzten Zeile, ADDA.
     
  8. AW: Extremwertaufgaben

    Sorry, wo genau und wo ist genau der Fehler? Was ist denn daran Falsch?
     
  9. AW: Extremwertaufgaben

    Es sind doch nur 2 Formeln in der Zeile - und eine davon ist falsch.
     
  10. AW: Extremwertaufgaben

    Die Volumenformel ist ja Richtig
    Und beim Satz des Pythagoras ist das nicht m²+h²???(r² = m² - h²)
     
  11. AW: Extremwertaufgaben

    Genau umgekehrt, ADDA.
     
  12. AW: Extremwertaufgaben

    h²-m²???
    Wie kommt man auf so etwas??
     
  13. AW: Extremwertaufgaben

    Nein, der Pythagoras ist schon richtig, nur die Formel für das Kegelvolumen nicht.
     
  14. AW: Extremwertaufgaben

    Achso ups...
    also 1/3 r² * PI * h
    danke nochmal
     
  15. AW: Extremwertaufgaben

    Hallo,

    tue mich schwer mit extremwertaufgaben. vll. kann mir ja jemand helfen.

    in eine kugel mit Radius \sqrt{3} ist ein zylinder einzubeschreiben.Volumen des Zylinders soll maximal werden. welche abmessungen müssen gewählt werden.

    Nora
     
  16. AW: Extremwertaufgaben

    Immer der Reihe nach, Nora:

    1. Zylindervolumen Vz(h,r)= r²pi*h ....r = Zylinderradius

    2. h = Fkt(r) = ? ....in der Kugel mir Radius R = \sqrt{3}

    3. In Formel 1 das h ersetzen durch Fkt(r), man erhält Vz(r)

    4. 0 = \frac{d}{dr}V_z(r) ...auflösen nach r

    5. zugehöriges h errechnen
     
  17. AW: Extremwertaufgaben

    Hi Isabell.
    Danke für deine Antwort. Ich versteh leider nicht was ich bei punkt 2 machen soll.

    Nora
     
  18. AW: Extremwertaufgaben

    Bei Radius des Zylinders r = R hat er die Höhe 0, bei r = 0 hat er die Hohe 2R.

    Und Du brauchst eine Funktion, die den Verlauf angibt.

    h = 2\sqrt{ R^2 - r^2}

    V_z(h,r)= r^2\cdot \pi\cdot h  \\
V_z(r) = r^2\cdot \pi\cdot 2\sqrt{ R^2 - r^2}

    Und, Nora, schaffst Du Punkt 4?
     

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  19. AW: Extremwertaufgaben

    punkt4

    Vz'(r)=\frac{2*r*\pi* \left( R^{2}-2*r \right) }{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}

    bin mir nicht ganz sicher obs richtig ist
     
  20. AW: Extremwertaufgaben

    Ich krig bei R² = 3 raus

    2r-r³ = 0 ---> r = 1,4142
     
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