Extremwertaufgabe

[trulli3]

Hallo ich benötige bitte mal Hilfe bei einer Aufgabe wo ich absolut nicht weiter komme.

Nach nebenstehender Skizze soll ein Tunnel mit einer Querschnittsfläche von 25m^2 so gebaut werden, dass die Materialkosten für seine Auskleidung (Umfang) möglichst gering werden.
Berechnen sie die Breite a und Höhe b des Tunnels

 

[DrDuemmlich]

Der Umfang U eines Kreises mit Durchmesser d=2*r (Radius r) berechnet sich so:
[TEX]U=2\cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d[/TEX]
Reicht das?
Sonst poste mal deine Ansätze und stelle konkretere Fragen.

 

[trulli3]

Hab beide Formel
(1) 25=(a*b)+1/2*(PI/4+a^2)
(2) U=2(b+a)+1/2(PI*a)

dann 1 nach b auflösen und in 2 einsetzen und erste Ableitung bilden
Irgendwie habe ich dort einen Fehler beim Umstellen oder vereinfach
kann mir da jemand weiter helfen

 

[GvC]

(1) 25=(a*b)+1/2*(PI/4+a^2)

Rot markiert: falsch. Wahrscheinlich Tippfehler.

(2) U=2(b+a)+1/2(PI*a)

.
Ebenfalls falsch.

 

[trulli3]

bei der ersten Formel war ein Tippfehler 25=(a*b)+1/2*(PI/4*4^2)
die zweite ist U=2b+a+1/2(PI*a)

 

[GvC]

In Deiner Flächenformel ist zwar immer noch ein Tippfehler. Aber sei's drum ...

Deine (geplante?) Vorgehensweise ist jedenfalls richtig.

 

[Diroe]

Hallo Leute,
ich stecke gerade bei der gleichen Aufgabe, bin schon ziemlich am Verzweifeln.
Die beiden Formeln gingen ja noch, ich hab da:
A = a * b + 1/4 * Pi * a^2 und U = a + 2b + 1/2 * Pi * a, jetzt hab ich die Flächenformel auf b = (A - 1/4 * Pi * a^2) / a umgestellt und in Umfangsformel eingesetzt. und jetzt häng ich schon seit Stunden daran das soweit umzuformen, das eine nutzbare Gleichung rauskommt, speziell fehlt mir der Ansatz wie ich das a unter dem Bruch wegbekomme.
Vielleicht kan mir jemand einen Tip geben.

Gruß Dirö

 

[Diroe]

hab gerade gemerkt, der Halbkreis hat eine Fläche von 1/8 *Pi* a, also A = a * b + 1/8 * Pi * a^2

 

[00Jenny00]

Hallo,

ich bin nun schon ne Ewigkeit mit der selben Aufgabe am hadern...
bei A und U bin ich auf die selben Formeln gekommen.
Nun bekomm ichs aber nicht hin die Formeln so umzustellen, dass ich sie Ableiten kann.
Kann mir jemand helfen? Manchmal braucht man ja nur nen kleinen Stoß wenn man sich schon so an die Wand gedacht hat :banghead:

LG

Jenny

 

[DrDuemmlich]

Wir sind uns also bezüglich der beiden Formeln
[tex]A=25=a \cdot b + \pi\cdot \frac{1}{8} \cdot a^2[/tex]
und
[tex]U=a+2\cdot b + \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot a[/tex]
einig?
Dann löse die erste Formel nach a oder b auf.
Damit gehst du dann in die zweite Formel, hier bleibt ja dann nur b oder a unbekannt.
Das kannst du dann nach der Unbekannten ableiten...

 

[Stollrak]

Ich fürchte ich brauche noch etwas mehr Hilfe...

Ich habe Formel obere Formel nach b umgestellt und in die untere eingefügt, im Anschluss abgeleitet.

Und nun bin ich ratlos... sind a und b jetzt Extremwerte?

 

[pleindespoir]

Etwas geschickter wäre, in der vorletzten Zeile den Bruch nicht zu kürzen, da eine Summe im Zähler steht.

 

[GvC]

Ich habe Formel obere Formel nach b umgestellt und in die untere eingefügt, im Anschluss abgeleitet.

Und die Ableitung muss null sein! Das ist doch die Bedingung für einen Extremwert von U. Die zu null gesetzte Ableitung musst Du nach a auflösen. Damit hast Du die Breite des Tunnels. Die musst Du dann in die Formel für b einsetzen und bekommst damit die seitliche Wandhöhe. Schließlich kannst Du auch noch die zweite Ableitung des Unfangs nach a bilden, um zu kontrollieren, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

Allerdings hast Du in der vorletzten Zeile einen Fehler gemacht, worauf pleindespoir Dich bereits hingewiesen hat. Die richtige Formel für U lautet

[tex]\large U=a\cdot \left(1+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{2A}{a}[/tex]

Das musst Du jetzt nach a ableiten und nullsetzen.

 

[Stollrak]

okay vielen dank euch schon mal.
Könnt ihr noch msl kurz drüber schauen ob es Halbwegs passt.

 

[Derfnam]

okay vielen dank euch schon mal.
Könnt ihr noch msl kurz drüber schauen ob es Halbwegs passt.Den Anhang 62972 betrachten

Hab's nicht nachgerechnet. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass der Tunnel nur ca. 0,6 m breit sein soll, aber dafür ca. 41 m hoch;-)

 

[GvC]

Das würde ich besser nochmal nachrechnen. Ein Tunnel von ungefähr einem halben Meter Breite und mehr als 40m hoch hört sich nicht sehr realistisch an.