Exponentialgleichung

[cee]

Berechnen sie x.

[tex]\Large a^{\frac{3}{x} } - \left( \frac{1}{a} \right) ^{2x+5} = 0\\
a^{\frac{3}{x} } - \frac{1}{a^{2x+5}} = 0\\
a^{\frac{3}{x} } = a^{-(2x+5)}[/tex]

Und nu? Ich hab dazu zwar eine Musterlösung, aber den nächsten Schritt, der gemacht wird verstehe ich nicht. Da steht dann...

[tex]\Large \frac{3}{x} = -2x-5[/tex]

Also die Vorzeichen rechts sind klar, aber warum kann man das [tex]\Large a[/tex] einfach so killen?

Chris...

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

Berechnen sie x.

[tex]\Large a^{\frac{3}{x} } - \left( \frac{1}{a} \right) ^{2x+5} = 0\\
a^{\frac{3}{x} } - \frac{1}{a^{2x+5}} = 0\\
a^{\frac{3}{x} } = a^{-(2x+5)}[/tex]

Und nu? Ich hab dazu zwar eine Musterlösung, aber den nächsten Schritt, der gemacht wird verstehe ich nicht. Da steht dann...

[tex]\Large \frac{3}{x} = -2x-5[/tex]

Also die Vorzeichen rechts sind klar, aber warum kann man das [tex]\Large a[/tex] einfach so killen?

Chris...

Hallo Chris,
weil aus [tex] a^x = a^y [/tex] folgt x = y --> na ja, cum grano salis

 

[cee]

AW: Exponentialgleichung

Hallo Chris,
weil aus [tex] a^x = a^y [/tex] folgt x = y --> na ja, cum grano salis

Hi Isi!

Ja, das ist mehr oder weniger das von oben in allgemeiner Schreibweise. Aber warum? Ich kann mir keinen logischen Reim drauf machen.

Gut mal rückwärts an einem einfachen Beispiel Betrachtet:

[tex]2 = 2 \ \text{(die Exponenten der gekillten Basis)}\\
a^2 = a^2\\[/tex]

Wenn die Ergebnisse gleich sein sollen (bei gleicher Basis) .... dann müssen die Exponenten gleich sein.... Hmmmh. Für das [tex]=[/tex] also kein Problem ob die Basen da sind, oder nicht.

Das funktioniert dann aber auch nur, wenn jeweils nur eine Potenz vorhanden ist, oder?

Je mehr ich drüber nachdenke, desto klarer wirds, aber irgendwie befriedigt mich das noch nicht wirklich...

Chris...

 

[cee]

AW: Exponentialgleichung

Ich habs!

Es fehlt ein Zwischenschritt bzw. zwei Zwischenschritte mit denen es viel klarer wird..

[tex]\Large a^{\frac{3}{x} } - \left( \frac{1}{a} \right) ^{2x+5} = 0\\
a^{\frac{3}{x} } - \frac{1}{a^{2x+5}} = 0\\
a^{\frac{3}{x} } = a^{-(2x+5)}\ \ \ | \text{log}\\
\frac{3}{x} \cdot log\ a = -(2x+5) \cdot log\ a\ \ \ |\ \div log\ a[/tex]
[tex]\Large \frac{3}{x} = -2x-5[/tex]

:yes: :yay:

Chris...

 

[H_E]

AW: Exponentialgleichung

Hallo,

das ist aber noch nicht die Lösung!
Es gibt zwei Lösungen (Quadratische Gleichung) mit
x1=1,5 und x2=1.

mfg
h_e:idea:

 

[H_E]

AW: Exponentialgleichung

Hallo,

mir ist ein keiner Fehler unterlaufen.
Die Lösungen lauten x1=-1 und x2=-1,5.

mfg
h_e

 

[cee]

AW: Exponentialgleichung

Jo,

Das war natürlich noch nicht die Lösung. Mir gings in dem Fall auch nur um den Schritt, der nicht einfach so nachzuvollziehen war (zumindest für mich).

Aber gut, daß du es zu Ende gebracht hast

Chris...

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

Hallo Chris,
weil aus [tex] a^x = a^y [/tex] folgt x = y --> na ja, cum grano salis

noch eine Ergänzung:
Ich habe das Ergebnis eingeschränkt, da mir meine Mathematikerfreunde so eine Lösung sofort in der Luft zerreißen. Der Umgang mit Potenzen und Logarithmen ist nicht so einfach. Hier ein Beispiel:

Wir würden normalerweise sofort sagen, -2^(3/2) uns 3^(2/3) sind die Lösungen. Die komplexen Lösungen lassen wir einfach unter den Tisch fallen. Jetzt könnte man sagen, man will eben nur die reellen Lösungen?
Leider auch nicht zielführend:
Betrachten wir das Eulersche Beispiel x = i ^ i , dann fallen wir gleich wieder auf den Bauch, denn es gibt unendlich viele reelle Lösungen hierzu.

Bleibt uns nur, die Lösungen in die Aufgabenstellung nochmal einzusetzen und nachzusehen, ob es überhaupt stimmen kann.

 

[Stardust]

AW: Exponentialgleichung

...
Jetzt könnte man sagen, man will eben nur die reellen Lösungen?
Leider auch nicht zielführend:
Betrachten wir das Eulersche Beispiel x = i ^ i , dann fallen wir gleich wieder auf den Bauch, denn es gibt unendlich viele reelle Lösungen hierzu.
...

Das Eulersche Beispiel sagt mir nichts. Meinst Du :
[tex]x=i^i[/tex]
oder wie soll ich das deuten.

Gruß,
Stardust

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

Das Eulersche Beispiel sagt mir nichts. Meinst Du :
[tex]x=i^i[/tex]oder wie soll ich das deuten.

Hallo Stardust,
ja, genau!

[tex]x = i ^ i [/tex]

[tex]x = e^{i*\ln(i)} [/tex]

[tex]x = e^{i \cdot (i*\frac{\pi}{2} + 2k\pi\cdot i)}[/tex] ... unendlich viele reele Werte

[tex]x =e^{-\frac{\pi}{2}}\approx 0{,}207879576[/tex] (Hauptwert)

 

[Stardust]

AW: Exponentialgleichung

Hallo Isabell,

das kannte ich noch nicht, ist aber sehr interessant :)
Und ich dachte schon, dass wir in Studium eine schwere Mathematik hatten.
Aber wenn ich sehe, was in der Technikerschule so gemacht wird...
Hut ab, kann ich da nur sagen...
Ihr könntet auch direkt an die Uni gehen.
So viel schwerer ist dort Mathe auch nicht.
(Zumindest was die komplexen Zahlen angeht!)

Gruß,
Stardust

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

Hallo Stardust,
vielen Dank, Du übertreibst, denn ohne komplexe Wechselstromrechnung bist Du in der Elektrotecnik aufgeschmissen ;)

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

So viel schwerer ist dort Mathe auch nicht.
(Zumindest was die komplexen Zahlen angeht!)

Hallo Stardust,
Die folgende Aufgabe der Komplexen Wechselstromberechnung scheint schwer zu sein: Mein TU-Kollege gab gleich auf und ein frischer FH-Absolvent mit Notenschnitt 1,6 gab nach 3 Tagen auf. Vielleicht magst Du Dir die Formeln mal ansehen?

Bei der Berechnung der Entstörung (RC-Glied) für eine geschaltete Induktivität L mit ihrem Gleichstromwiderstand R tritt folgende Formel auf:

[tex]\frac{1}{R} = \frac{1}{(R + j \cdot \omega \cdot L)} + \frac{1}{(R + 1/(j \cdot \omega \cdot C))}[/tex]

Die Stromaufnahme der Parallelschaltung LR mit RC ist dann unabhängig von der Frequenz(!), obwohl der Strom nur durch L und C fließen kann.

Die Frage ist: Wie groß ist C

Setzt man den Im(...) = 0, erhält man R^2 = L/C --> C = L / R^2

Gefragt wäre nun eine möglichst simple mathematische Auflösung.

Hier noch die mit Excel berechneten Werte:

 

[Stardust]

AW: Exponentialgleichung

Hallo Isi (ich hoffe ich darf Dich so nennen),

meine simpelste Lösung sieht so aus:
Da die Gleichung für alle Frequenzen erfüllt sein muss,
sollte Sie sicher auch für die Eckfrequenz des Spulenzweigs erfüllt sein, also für:
[tex]\omega =\frac {R}{L}[/tex]
Eine Unbekannte weg
Dadurch erhält man:
[tex]\frac {1}{R}=\frac {1}{R+iR}+\frac {1}{R-i\frac{L}{RC}[/tex]
So und bei dieser komplexen Gleichung muss u.a. die Phasenbedingung erfüllt sein, also:
[tex]0=-acrtan(1)+arctan(\frac{L}{R^2C})
\Rightarrow 1=\frac{L}{R^2C}
\Rightarrow C=\frac{L}{R^2}[/tex]

So darf man allerdings nur vorgehen, wenn die Aufgabe explizit sagt, dass es ein solches C gibt. Ansonsten darf man nicht einfach irgendeine Frequenz vorgeben und auf alle möglichen Frequenzen schließen. Per se kann man nämlich nicht sagen, dass es ein solches C gibt. Wenn man aber das gefundene C oben wieder einsetzt, sieht man, dass es funktioniert.
Tip: Vor allem bei komplexen Brüchen sollte man niemals mit Imaginär- und Realteil, sondern mit Betrag und Phase arbeiten.
So jetzt habe ich es dem FH'ler mit 1,6 und dem TU'ler gezeigt.

Gruß,
Stardust

P.S.:
Ich weiß, dass es ohne komplexe Zahlen schwierig in der Elektrotechnik ist.

 

[MartinRo]

AW: Exponentialgleichung

Hallo,

Bei der Berechnung der Entstörung (RC-Glied) für eine geschaltete Induktivität L mit ihrem Gleichstromwiderstand R tritt folgende Formel auf:

[tex]\frac{1}{R} = \frac{1}{(R + j \cdot \omega \cdot L)} + \frac{1}{(R + 1/(j \cdot \omega \cdot C))}[/tex]

Die Stromaufnahme der Parallelschaltung LR mit RC ist dann unabhängig von der Frequenz(!), obwohl der Strom nur durch L und C fließen kann.

Die Frage ist: Wie groß ist C

ich möchte das mal in [tex]R[/tex] versuchen und beginne wie Stardust bei der Eckfrequenz von L R.

Bei der Eckfrequenz gilt: [tex]\omega L=R[/tex] --> [tex]\omega =\frac{R}{L} [/tex]
Phase ILR beträgt 45° zu Uges.

Der Betrag der vektorielle Summe von IRL und IRC =1/R mit der Phase 0° zu Uges.
Daraus folgt die erforderliche Phasenbeziehung -45° bei IRC mit gleichem Betrag wie IRL. -->Eckfrequenz RL = Eckfrequenz RC

Somit lässt sich setzten:

[tex]\omega =\frac{R}{L}\\
\omega =\frac{1}{RC}[/tex]

[tex]\frac{R}{L} =\frac{1}{RC} \\
[/tex]

Stellen wir auf R um erhalten wir die bekannte Formel zur Impedanzanpassung bei LC-Schwingkreisen:
[tex]R=\sqrt{\frac{L}{C} } \\ [/tex]

Auf C umgestellt ergibt das wie bei Stardust:
[tex]C=\frac{L}{R^{2} } [/tex]

Gruß

Rossi

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

ich möchte das mal in [tex]R[/tex] versuchen und beginne wie Stardust bei der Eckfrequenz von L R.......Daraus folgt die erforderliche Phasenbeziehung -45° bei IRC mit gleichem Betrag wie IRL. -->Eckfrequenz RL = Eckfrequenz RC

Lieber Rossi, lieber Stardust,
Ihr habt beide sehr schön die Berechnung dargelegt, wenn [tex]\omega[/tex] gegeben ist. Dies ist genau die Lösung, die ein pensionierter Siemens-Ingenieur vorschlug (Siemens vergab diese Titel, auch wenn nur Selbststudium vorlag):

[tex] \tau_{RC} = \tau_{LR} [/tex] (Ich werde noch einen graphischen Beweis versuchen)

Aus der Praxis natürlich genau richtig! Ich habe den Kern der Aufgabe nicht genügend betont: Es ist doch sehr verwunderlich, dass eine Schaltung, bei der der Strom nur entweder durch die Spule oder durch den Kondensator kann, von der Frequenz unabhängig sein soll. Das sollte bewiesen werden.

Anmerkung: Der FH'ler scheiterte übrigens am Gleichnamigmachen der Brüche, der TU'ler beharrte auf seiner Ansicht, dass wenn der Imaginärteil im Zähler und im Nenner getrennt = 0 sind, auch der Imaginärteil des Bruches = 0 ist. Von dieser Ansicht war er nicht abzubringen - und das verhinderte ein richtiges Ergebnis (m.E. fehlt 'wenn und nur wenn').

 

[MartinRo]

AW: Exponentialgleichung

Hallo,

Ein vorsichtiger Versuch8)
wenn Z1 (RL) und Z2 (RC) bei der Eckfrequenz gleich sind bilden sich die gleichen Beträge (UC,UL) mit +-45° zur Wirkachse (x). Die Summe der Beträge ergibt dan I*R mit 0°.

RL Kreis bildet einen Hochbass und RC einen Tiefbass im Bezug auf UL und UC.
Ich bezweifle ja, dass es als Beweis reicht, wenn noch zusätzlich zur Eckfrequenz die Grenzen w-->0 und w-->unendlich betrachtet werden.

lim w-->0
wL wird 0
1/(wC) wird unendlich
Folge: nur der Wirkanteil R vom RL Kreis ist aktiv R=R

lim w-->unendlich
wL wird unendlich
1/(wC) wird 0
Folge: nur der Wirkanteil R vom RC Kreis ist aktiv R=R

Eckfrequenz:
wL=R Phase UL +45°
1/wC=R Phase UC -45°
geometrische Summe UL+ UC =I*R auf Wirkachse.

In allen drei Fällen besitzt Zges keine Blindanteile und entspricht R.

Über das gesamte Frequenzspektrum muss die Phasenbeziehung 90° zwischen UL und UC aufrecht bleiben. Und die Summe auf der Wirkachse liegen. Werde das auch mal grafisch versuchen.

Ich hoffe meine Gedanken etwas ausgedrückt zu haben ohne nur Müll zu schreiben. Aber ein Beweis ist das glaube ich nicht!

Gruß

Rossi

 

[Stardust]

AW: Exponentialgleichung

Hallo,

ich habe ja erwähnt, dass man eine Probe machen muss, aber wenn Du das fixe w nicht akzeptierst, hier eine zweite Möglichkeit. (Ich gebe w jetzt bewusst nicht vor!) Zunächst die Gleichung mit R multiplizieren, Hauptnenner bilden und ausmultiplizieren:
[tex]1=\frac{R}{R+i\omega L}+\frac{j\omega CR}{1+j\omega CR}=\frac{R(1+j\omega CR)+j\omega CR(R+i\omega L)}{(R+i\omega L)(1+j\omega CR)}=\frac{R+j\omega CR^2+j\omega CR^2-\omega ^2CRL}{R+j\omega CR^2+j\omega L-\omega ^2CRL}[/tex]
So sieht man nun sofort, dass sich Zähler und Nenner nur durch einen Summanden unterscheidet.
Die Bedingung für eine von w unabhängige Lösung lautet also:
[tex]CR^2=L[/tex]
Wenn man dieses C einsetzt kürzt sich w heraus und damit ist die Gleichung natürlich für alle w erfüllt. Für mich würde dieser Beweis ausreichen.
Mal sehen, ob Isi damit einverstanden ist

Eine grafische Lösung finde ich immer umständlich, aber mal sehen wie Ihr die macht.

@MartinRo: Also das prüfen bei 3 Frequenzpunkten reicht meiner Meinung nach nicht aus. :)
Die Phase zwischen den Kreisen ist wirklich immer 90°, denn irgendwie glaube ich dass unabhängig vom x folgende Formel gilt:
[tex]arctan(x)+arctan(\frac{1}{x})=90 Grad[/tex]
Und genau auf diese Form kommt man (statt x halt k*w oder so), wenn man das C einsetzt.

P.S.: Bin mal gespannt, ob Isi endlich zugibt das ich besser als dieser FH'ler bzw. TU'ler bin
Wahrscheinlich darf ich auch die linke Seite, also 1/R nicht annehmen. Aber selbst wenn man das nicht weiß, kann man es lösen. Dann steht halt im Nenner noch der Faktor R drin!

 

[MartinRo]

AW: Exponentialgleichung

[tex]\frac{1}{R} = \frac{1}{(R + j \cdot \omega \cdot L)} + \frac{1}{(R + 1/(j \cdot \omega \cdot C))}[/tex]

Die Stromaufnahme der Parallelschaltung LR mit RC ist dann unabhängig von der Frequenz(!), obwohl der Strom nur durch L und C fließen kann.

Die Frage ist: Wie groß ist C

Hallo zusammen,

hier mal grafisch animiert, mit einem kleinen VB-Programm.
Allerdings benötigt Ihr für die Ausführung die Laufzeitbibliothek ".NET Framework 2.0" von Microsoft. Das Setupprogramm wird diese nach Eurer Zustimmung bei Microsoft downloaden (sofern nicht bereits vorhanden)!

Nachteil: ca 200Mb
Vorteil: Den Download der Laufzeitbibliothek benötigt Ihr zukünftig nicht mehr und die Bibliothek wird sicherlich noch häufiger benötigt!

Ich hoffe das ZIP wird vom Forum nicht geblockt:(


Gruß

Rossi

 

[Isabell]

AW: Exponentialgleichung

Hallo zusammen,

hier mal grafisch animiert, mit einem kleinen VB-Programm.
Allerdings benötigt Ihr für die Ausführung die Laufzeitbibliothek ".NET Framework 2.0" von Microsoft. Das Setupprogramm wird diese nach Eurer Zustimmung bei Microsoft downloaden (sofern nicht bereits vorhanden)!

Ich hoffe das ZIP wird vom Forum nicht geblockt:

Hallo Martin,
hat alles funktioniert: Respekt, reife Leistung! Gratuliere