Exponentialfunktion-Extremwertaufgabe

Aufgabe:



1. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = (0,5x − 1,5)ex und g(x) = −e^(−x) ; x ∈ R. K ist das Schaubild von f, G ist das Schaubild von g. Die Gerade x = z schneidet für 0 ≤ z ≤ 1 die Kurve K in P und die Kurve G in Q. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P und Q begrenzen zusammen mit der y-Achse ein Rechteck. Für welchen Wert von z nimmt der Inhalt des Rechtecks ein absolutes Minimum an?



Problem/Ansatz:





Bin hier gerade am verzweifeln ... Habe die Aufgabenstellung verstanden, aber scheitere immer an dem Punkt, dann die Ableitungsfunktion null zu setzen bzw dort ein Ergebnis rauszubekommen, was im Definitionsbereich liegt.

Ich erspare euch mal die vorherigen Rechenschritte (kann ich auf Anfrage auch hochladen, wurden aber von der Lehrerin selbst durchgeführt und sollten daher korrekt sein).

In der Schule sind wir bis zur 1.Ableitung gekommen (sollte definitiv richtig sein):



Diese möchte ich nun gleich 0 setzen, scheitere aber dann beim Lösen

A'(z) = -e^-z +ze^-z -zez -0,5z2e^z +1,5ez +1,5zez



-zez + 1,5zez lassen sich dann zu 0,5zez zusammenfassen



Nun habe ich folgendes probiert (Ausklammern)



(-e^-2z +ze^-2z + 0,5z -0,5z2 + 1,5) ez



Danach dachte ich mir, kann ich ja die ersten beiden Elemente Zusammenfassen, da selber Exponent, zu:



-e^-2z + ze^-2z = z



Dann kommt man raus bei:



(z + 0,5z - 0,5z2 + 1,5) ez



Wollte dann mit dem linken Teil die Nullstellen der ersten Ableitubg, also demnach die Extrempunkte, mit der PQ-Formel berechnen.



In Form gebracht:



z2 - 3z - 3



Habe mir den Graphen zeichnen lassen und leider sind die herausbekommenen Extrempunkte weder im Definitionsbereich, noch korrekt.






Wo liegt mein Fehler? Wäre über Hilfe unendlich dankbar, sitze da jetzt sicherlich schon insgesamt 3 Stunden dran und hab alles probiert
 
Zuletzt bearbeitet:
f(x) = (0,5x − 1,5)ex und g(x) = −e^(−x)
[tex] f(x) = (0,5x − 1,5)e^x [/tex]
[tex]g(x) = −e^{−x} [/tex]

Günstig wäre jetzt zunächst einmal ein Skizze zur Veranschaulichung anzufertigen und hochzuladen.

Aus dem unformatierten Buchstabensalat Deines Postings möchte ich zunächst nicht schöpfen - aber immerhin lieb, dass Du Dir die Mühe gemacht hast und wenigstens versucht hast abzuschreiben.

Bekommst Du das mit der Skizze hin?
Danach geht's weiter ...
 
Zuletzt bearbeitet:
Was ich bereits herausgefunden habe: Das Minimum liegt nicht im Definitionsbereich 0-2, sondern bei ca. -0,1 soweit ich das sehen konnte, also etwas darunter. Man soll dann denke ich nachdem man das herausgefunden hat abgeben, dass man mit z=0 am nächsten an das Minimum gelangt.


Ich würde das ganze aber gerne rechnerisch bestimmten (also das Maximum knapp unter 1) und komme mit der Ableitung nickt voran wie oben beschrieben
 
Die Fläche des Rechtecks wird bestimmt durch [tex]A = \vert z \vert \cdot \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]

Die kleinste Fläche wird bei z=0 erreicht - das sollte ziemlich offensichtlich sein und wer jetzt in einer Prüfung noch anfängt, groß rumzurechnen, kann gleich einpacken. Die Definitionsmenge für z war ja entsprechend gegeben, so dass man negative z eigentlich nicht betrachten müsste.
Du kannst das freilich aus sportlichen Ambitionen trotzdem gerne tun.
Vereinfachen wir von vornherein offensichtliche Sachen:
Wir wissen ja schon, dass ein Minimum bei z=0 liegt. Also müsste ein möglicherweise weiteres Minimum auch die Fläche Null aufweisen.
[tex]A = 0 = z \cdot \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]
aufgrund der Nullproduktregel können wir die beiden Faktoren getrennt betrachten:
[tex]A = 0 = \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]
Wegen des Nullwertes können wir auch die Betragsstrichlein weglassen.
[tex] 0 = f(z) - g(z) [/tex]
[tex] 0 = (0,5x − 1,5)e^x -( −e^{−x} ) [/tex]
[tex] 0 = (0,5x − 1,5)e^x +e^{−x} [/tex]
So eine Gleichung nennt sich transzendent und lässt sich nicht algebraisch lösen.
Die Ableitung davon wird ebenso transzendent sein und deshalb lässt sich davon auch keine Nullstelle auf algebraischem Wege finden.

In der Schule sind wir bis zur 1.Ableitung gekommen
Was ist das für eine tolle Lehrerin, die nach einer Lösung suchen lässt, nach der nicht gefragt ist (z=0 ohne Rechenarbeit sofort erkennbar, daher meine Vermutung einer Scherzfrage) und dann noch eine Ableitung von dem Gemüse zelebriert ?
 
Die Fläche des Rechtecks wird bestimmt durch [tex]A = \vert z \vert \cdot \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]

Die kleinste Fläche wird bei z=0 erreicht - das sollte ziemlich offensichtlich sein und wer jetzt in einer Prüfung noch anfängt, groß rumzurechnen, kann gleich einpacken. Die Definitionsmenge für z war ja entsprechend gegeben, so dass man negative z eigentlich nicht betrachten müsste.
Du kannst das freilich aus sportlichen Ambitionen trotzdem gerne tun.
Vereinfachen wir von vornherein offensichtliche Sachen:
Wir wissen ja schon, dass ein Minimum bei z=0 liegt. Also müsste ein möglicherweise weiteres Minimum auch die Fläche Null aufweisen.
[tex]A = 0 = z \cdot \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]
aufgrund der Nullproduktregel können wir die beiden Faktoren getrennt betrachten:
[tex]A = 0 = \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]
Wegen des Nullwertes können wir auch die Betragsstrichlein weglassen.
[tex] 0 = f(z) - g(z) [/tex]
[tex] 0 = (0,5x − 1,5)e^x -( −e^{−x} ) [/tex]
[tex] 0 = (0,5x − 1,5)e^x +e^{−x} [/tex]
So eine Gleichung nennt sich transzendent und lässt sich nicht algebraisch lösen.
Die Ableitung davon wird ebenso transzendent sein und deshalb lässt sich davon auch keine Nullstelle auf algebraischem Wege finden.


Was ist das für eine tolle Lehrerin, die nach einer Lösung suchen lässt, nach der nicht gefragt ist (z=0 ohne Rechenarbeit sofort erkennbar, daher meine Vermutung einer Scherzfrage) und dann noch eine Ableitung von dem Gemüse zelebriert ?
Vielen Danke für die Antwort!
Ja, tatsächlich hat sie uns die Ableitung noch mit zelebriert und nur gesagt, dass die Aufgabe dann nächste Stunde besprochen wird
 
Die Fläche des Rechtecks wird bestimmt durch [tex]A = \vert z \vert \cdot \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]

Die kleinste Fläche wird bei z=0 erreicht - das sollte ziemlich offensichtlich sein und wer jetzt in einer Prüfung noch anfängt, groß rumzurechnen, kann gleich einpacken. Die Definitionsmenge für z war ja entsprechend gegeben, so dass man negative z eigentlich nicht betrachten müsste.
Du kannst das freilich aus sportlichen Ambitionen trotzdem gerne tun.
Vereinfachen wir von vornherein offensichtliche Sachen:
Wir wissen ja schon, dass ein Minimum bei z=0 liegt. Also müsste ein möglicherweise weiteres Minimum auch die Fläche Null aufweisen.
[tex]A = 0 = z \cdot \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]
aufgrund der Nullproduktregel können wir die beiden Faktoren getrennt betrachten:
[tex]A = 0 = \vert f(z) - g(z)\vert[/tex]
Wegen des Nullwertes können wir auch die Betragsstrichlein weglassen.
[tex] 0 = f(z) - g(z) [/tex]
[tex] 0 = (0,5x − 1,5)e^x -( −e^{−x} ) [/tex]
[tex] 0 = (0,5x − 1,5)e^x +e^{−x} [/tex]
So eine Gleichung nennt sich transzendent und lässt sich nicht algebraisch lösen.
Die Ableitung davon wird ebenso transzendent sein und deshalb lässt sich davon auch keine Nullstelle auf algebraischem Wege finden.


Was ist das für eine tolle Lehrerin, die nach einer Lösung suchen lässt, nach der nicht gefragt ist (z=0 ohne Rechenarbeit sofort erkennbar, daher meine Vermutung einer Scherzfrage) und dann noch eine Ableitung von dem Gemüse zelebriert ?
Ja, dann soll man denke ich einfach erkennen, dass z annähernd null ist. Die Sache ist nur, dass z eben nicht ganz 0 ist, sondern ein Minus-Wert kurz davor, wie gesagt ca. -0,1.

Dass bei z = 0 also der kleinstmögliche Flächeninhalt im Rahmen des Definitionsbereiches existiert, ist mir jetzt klar.
Aber ich würde gerne trotzdem, der Vollständigkeit halber, die erste Ableitung rechnerisch lösen (also mit dem Ergebnis um die -0,1).
Das habe ich oben ja probiert, aber bin leider daran gescheitert. Wäre super wenn du da nochmal drüberschauen könntest, wo mein Fehler liegt
 

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Die von Dir skizzierte Flächenfunktion erzeugt eine negative Fläche - um das zu vermeiden, habe ich oben mit Betragsstrichen gearbeitet.
Was du als Minimum vermutest, ist in Wahrheit ein lokales Maximum.
Das Minimum liegt bei Null Fläche - also bei x= ca. -0,24
Das lokale Maximum zwischen den beiden Minima liegt bei ca. -0,122

Wie bereits erwähnt, lassen sich diese Gleichungen nicht algebraisch lösen.
 
Die von Dir skizzierte Flächenfunktion erzeugt eine negative Fläche - um das zu vermeiden, habe ich oben mit Betragsstrichen gearbeitet.
Was du als Minimum vermutest, ist in Wahrheit ein lokales Maximum.
Das Minimum liegt bei Null Fläche - also bei x= ca. -0,24
Das lokale Maximum zwischen den beiden Minima liegt bei ca. -0,122

Wie bereits erwähnt, lassen sich diese Gleichungen nicht algebraisch lösen.
Danke dir
 
Link zu GeoGebra

Dort habe ich die Fläche unter Berücksichtigung des Betrages dargestellt, so dass es keine "negativen" Flächen geben kann.
'zet' ist als Schiebregler ausgeführt - dann kannst du schön sehen, wo die Schnittpunkte liegen, wenn'zet' verändert wird.

Man muss später bei der Integralrechnung da immer genau aufpassen, ob nach den tatsächlichen Flächen gefragt ist, oder nach dem Integral.
Bei Flächen sind Nulldurchgänge dann Integrationsgrenzen und man muss den Betrag nehmen.
 

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