Energie des Torsionspendels

Ich muss die Energie eines Systems der drei Massen enthält, berechnen. Sie sind durch zwei massenlose Welle, die wie ein Torsionspendel schwingt, sie sind durch c12 und c23 verbunden.
Die Massen haben kinetische Energie und die Wellen elastische Energie.
Die J's sind die Massenträgheitsmomente und c12 und c23 sind die Federkonstanten.
Die n's sind die Drehzahlen der Massen, oder die Frequenzen.
Die kinetische Energie ist [TEX]E_{kin} =\frac{1}{2} J \omega ^{2}[/TEX]
und die elastische Energie [TEX]E_{pot} =\frac{1}{2} c_{nm} \Delta \varphi_{nm} [/TEX].

Ich habe die Formel in dieser pdf Datei hochgeladen:
https://drive.google.com/file/d/0BxfE8xN2SDkOeWRiVWdsZl9ibUk/edit?usp=sharing

Die Formel die ich gefunden habe ist die letzte Formel in der pdf Datei, ist es richtig?
 
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B

Benutzer155553

Gast
Die Seite öffnet sich bei mir nicht, aber die Energie setzt sich aus drei Termen kinetischer Energie zusammen, einen für jede Masse und aus zwei Termen potentieller Energie, einen für jede Feder.

Die kinetische Energie ist richtig, bei der potentiellen Energie fehlt ein Quadrat an [TEX]\Delta \varphi[/TEX].
 
In der Datei habe ich der Quadrat an phi gestellt, funktioniert diese Link: http://1drv.ms/1hINWtL ?
Es ist nicht möglich die Energie des Systems getrennt zu betrachten, da die mittlere Masse zu dem Feder 1 und 2 gehört, oder?
 
B

Benutzer155553

Gast
[TEX]\sum_{i=1}^2 E_{pot,i} = \sum_{i=1}^2 \ \frac{1}{2}c_{i,i+1} ( \varphi_i - \varphi_{i+1})^2[/TEX]

Bei der kinetischen Energie wurde auch die Summe auf der rechten Seite vergessen.

Aus der Gleichheit der Werte der Winkelfunktion für einen einzigen Zeitpunkt folgt nicht, das die Ableitungen, d.h. die Winkelgeschwindigkeiten gleich sind.

Was meinst du damit die "Energie getrennt betrachten"? Willst du das System in zwei unabhängige Teilsysteme entkoppeln?
 
Der Datei habe ich korrigiert, aber wenn der Feder entspannt ist, müssen die Ableitungen auch gleich sein, aber das folgt nicht aus der Gleichheit der Winkeln?
 
B

Benutzer155553

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Zur Entkopplung der Teilsysteme:

Die Bewegungsgleichungen lauten:

[tex]\begin{pmatrix} m_1 \ddot \varphi_1 \\ m2 \ddot \varphi_2 \\ m_3 \ddot \varphi_3 \end{pmatrix} = -grad (E_{pot}) = - \begin{pmatrix} \frac{d}{d\varphi_1} \sum_{i=1}^2 \ \frac{1}{2}c_{i,i+1} ( \varphi_i - \varphi_{i+1})^2 \\ \frac{d}{d\varphi_2} \sum_{i=1}^2 \ \frac{1}{2}c_{i,i+1} ( \varphi_i - \varphi_{i+1})^2 \\ \frac{d}{d\varphi_3 } \sum_{i=1}^2 \ \frac{1}{2}c_{i,i+1} ( \varphi_i - \varphi_{i+1})^2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} c_{1,2} (\varphi_1 - \varphi_2) \\ - c_{1,2} (\varphi_1 - \varphi_2) + c_{2,3} ( \varphi_2 - \varphi_3) \\ - c_{2,3} (\varphi_2 - \varphi_3) \end{pmatrix} [/tex]

oder umgeschrieben:

[tex]\left( \begin{matrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} \ddot \varphi_1 \\ \ddot \varphi_2 \\ \ddot \varphi_3 \end{pmatrix} = \left( \begin{matrix} -c_{1,2} & c_{1,2} & 0 \\ c_{1,2} & -c_{1,2} - c_{2,3} & c_{2,3} \\ 0 & c_{2,3} & - c_{2,3} \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \varphi_3 \end{pmatrix} [/tex]

Nun wählt man einen Ansatz [tex]\begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \varphi_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} e^{-i \omega t}[/tex]

Setzt ihn ein und bringt die Gleichung auf die Form:

[tex]\left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = 0[/tex]

Dann ist zu bestimmen für welche omega die Determinante der Matrix verschwindet:

[TEX]\det \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{matrix} \right) = 0[/TEX]

Ich hoffe ich habe keine Fehler eingebaut, am besten selber nochmal nachrechnen.
 
B

Benutzer155553

Gast
Es sind natürlich nicht die Massen, sondern die Trägheitsmomente einzusetzen und nachdem die Frequenzen bestimmt sind, müssen natürich noch die Eigenvektoren bestimmt werden.
 
Ich habe der Gafik zu der mechanischen Energie geplottet, ich hatte verschiedene Kreisfrequenzen eingegeben, damit die zwei Feder zwischen den Massen schwingen, die mechanische Energie sollte konstant sein, aber er schwingt. Ist das möglich, oder habe ich vergessen andere Energie zu betrachten?

Wenn die Kreisfrequenzen gleich sind, dann schwingen die Feder nicht, dann hat das System nur kinetische Energie, trotzdem schwingt die mechanische Energie, ist irgendwas falsch an der Formel der mechanischen Energie?

Hier ist das Programm in Matlab:
Code:
% Es wird die berechneten Steifigkeiten für die Resonanzfrequenzen 1,5 Hz
% und 3 Hz eingesetzt.
%--------------------------------------------------------------------------
% Parametern
%--------------------------------------------------------------------------
s=tf('s');
nnenn=17/60;                            % Umdrehungen pro Minute
n=72;                                   % Übersetzungsverhältnis
Vnenn=11.5;                             % Normierte Windgeschwindigkeit
p=1.229;                                % Luftdichte
R=60;                                   % Radius der Rotorblatt
cp_nenn=0.469;                          % Leistungsbeiwert
Mnenn=p*R^2*Vnenn^3*cp_nenn/(4*nnenn);  % Normierte Drehmoment
ngnenn=n*nnenn;                         % Drehzahl der Generator
Tstr=0.005;                             % Zeitkonstante des Stromregelkreises

% Massenmittelpunkt der Rotorblätter liegt bei 20,475 m. Länge der Rotorblätter: 61,5 m
% Quelle: www.nrel.gov/docs/fy09osti/38060.pdf
Jges=3.1*10^7;                          % [kg.m²] Gesamte Trägheitsmoment: Jges=Jm+Jnr/(n^2)+Jrb/(n^2)

gen=0.043;                              % Anteil des Generators
nabe=0.3249;                            % Anteil der Nabe und der unteren Teil des Blatts
blt=1-gen-nabe;                         % Der Anteil der Blattspitze

J1=Jges*gen;                            % Trägheitsmoment der Generator
J2=Jges*nabe;                           % Trägheitsmoment der Nabe und der unteren Teil des Blatts
J3=Jges*blt;                            % Trägheitsmoment der Blattspitze

% Parameter des elektrisch-mechanischen Triebstrangssystems
v1=J1/J2;
v2=J2/J3;

%--------------------------------------------------------------------------
% Zeitkonstanten
%--------------------------------------------------------------------------
% Federsteifigkeiten in Modell einsetzen
syms c12 c23 f
T12=Mnenn/(c12*2*pi*nnenn*n^2);                     % Zeitkonstante T12
T23=Mnenn/(c23*2*pi*nnenn*n^2);                     % Zeitkonstante T23
Tm=(2*pi*nnenn*n^2*J1)/Mnenn;                       % Hochlaufzeit des Motors Tm

%--------------------------------------------------------------------------
% Resonanzfrequenz
%--------------------------------------------------------------------------
agn4=(Tm^2*T12*T23)/(v1*(v1*v2+v2+1));              % Koeffizient von omega^4
agn2=Tm/(v1*v2+v2+1)*(T12*(v2+1) + T23*(v1+1)/v1);  % Koeffizient von omega^2
t=agn4*(1i*2*pi*f)^4+agn2*(1i*2*pi*f)^2+1;          % Nenner der Übertragungsfunktion. s=j*omega=j*2*pi*f
freq=solve(t,f);                                    % t=0 nach f lösen (4 Lösungen)

% Lösung für f = 1,5 und 3 Hz
tmp=solve(t,c12);
hlp=subs(tmp,f,1.5); hlp2=subs(tmp,f,3);
[lsg_c12_fmax,lsg_c23_fmax]=solve(hlp==c12,hlp2==c12);

% Steifigkeiten für 1,5 Hz und 3 Hz
Sc12=lsg_c12_fmax(2);
Sc23=lsg_c23_fmax(2);

%--------------------------------------------------------------------------
% potentielle und kinetische Energie
%--------------------------------------------------------------------------
syms t;
n1=1;
n2=1;
n3=1;
phi1=0.7;
phi2=0.7;
phi3=0.7;

Ekin=1/2*J1*(phi1*2*pi*n1)^2*(cos(2*pi*n1*t))^2  + 1/2*J2*(phi2*2*pi*n2)^2*(cos(2*pi*n2*t))^2 + 1/2*J3*(phi3*2*pi*n3)^2*(cos(2*pi*n3*t))^2;
figure(1); ezplot(Ekin,[0 100]); grid on;
title('kinetische Energie');
xlabel('$$t \left[s\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
ylabel('$$Energie \left[J\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');

Epot=1/2*Sc12*(phi2*sin(2*pi*n2*t)-phi1*sin(2*pi*n1*t))^2 + 1/2*Sc23*(phi3*sin(2*pi*n3*t)-phi2*sin(2*pi*n2*t))^2;
figure(2); ezplot(Epot,[0 100]); grid on;
title('potentielle Energie');
xlabel('$$t \left[s\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
ylabel('$$Energie \left[J\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');

figure(3); ezplot(Ekin+Epot,[0 100]); grid on;
title('mechanische Energie');
xlabel('$$t \left[s\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
ylabel('$$Energie \left[J\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');

%--------------------------------------------------------------------------
% Leistung der potentiellen und kinetischen Energie
%--------------------------------------------------------------------------
Pkin=-J1*phi1^2*4*(pi*n1)^3*sin(4*pi*n1*t)-J2*phi2^2*4*(pi*n2)^3*sin(4*pi*n2*t)-J3*phi3^2*4*(pi*n3)^3*sin(4*pi*n3*t);
figure(4); ezplot(Pkin,[0 200]); grid on;
title('Leistung der kinetischen Energie');
xlabel('$$t \left[s\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
ylabel('$$Leistung \left[W\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');

Ppot=Sc12*(phi2*sin(2*pi*n2*t)-phi1*sin(2*pi*n1*t))*(2*pi*n2*phi2*cos(2*pi*n2*t)-2*pi*n2*phi1*cos(2*pi*n1*t))+Sc23*(phi3*sin(2*pi*n3*t)-phi2*sin(2*pi*n2*t))*(2*pi*n3*phi3*cos(2*pi*n3*t)-2*pi*n3*phi2*cos(2*pi*n2*t));
figure(5); ezplot(Ppot,[0 200]); grid on;
title('Leistung der potentiellen Energie');
xlabel('$$t \left[s\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
ylabel('$$Leistung \left[W\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');

figure(6); ezplot(Ppot+Pkin,[0 200]); grid on;
title('Leistung der mechanischen Energie');
xlabel('$$t \left[s\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
ylabel('$$Leistung \left[W\right]$$','interpreter','latex','FontSize', 12, 'FontName', 'Arial');
 
B

Benutzer155553

Gast
Ich arbeite leider nicht mit Matlab und kann das Programm daher auch nicht laufen lassen, aber du kannst nicht einfach irgendwelche Werte annehmen:

Code:
n1=1;
n2=1;
n3=1;
phi1=0.7;
phi2=0.7;
phi3=0.7;
nur für bestimmte Werte ist die Energie konstant, die die nach einmaliger Anregung in der Natur eben auch vorkommen.
 
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