Elektrisches Feld Zylinderkondensator

Hallo,

ich würde gerne das el. Feld in Abhängigkeit von r eines konzentrischen Zylinderkondensators berechnen.
Dieser hat die Radien ri = 10mm und ra = 80mm und eine Länge von l>> ra

Das Dielektrikum ist aufgeteilt in drei Schichten:
Schicht 1: [TEX]r_{i} \leq r\leq 15mm \ \ ,\epsilon_{r1} =4 [/TEX]
Schicht 2: [TEX]15mm < r\leq 60mm \ \ ,\epsilon_{r2} =1 [/TEX]
Schicht 3: [TEX]60mm < r\leq r_{a} \ \ ,\epsilon_{r3} =6[/TEX]

Außerdem liegt eine Gleichspannung Uq = 50kV an.

Wie bestimme ich nun das Feld in Abhängigkeit von r? Mich stört vor allem, dass für die Länge kein Wert gegeben ist. Diese muss also wohl irgendwie wegfallen in der Rechnung. Nur wie?
 
Mich stört vor allem, dass für die Länge kein Wert gegeben ist. Diese muss also wohl irgendwie wegfallen in der Rechnung. Nur wie?
Ja, die fällt "irgendwie" weg. Das passiert sozusagen automatisch, wenn Du nur erstmal anfangen würdest zu rechnen.

Du kennst doch den Maschensatz, oder? (Summe der Einzelspannungen ist gleich der Gesamtspannung)

[tex]U_q=U_1+U_2+U_3[/tex]

Und Du kennst den Zusammenhang zwischen Feldstärke und Spannung (was ebenfalls den Maschensatz darstellt)

[tex]U=\int \vec{E}\cdot d\vec{r}=\int E\, dr[/tex]

da Feldstärke- und Radienvektor aus Symmetriegründen an jeder Stelle parallel liegen (das Feld verläuft symmetrisch in radialer Richtung).

Außerdem kennst Du den Zusammenhang zwischen Feldstärke und Verschiebungsdichte

[tex]E=\frac{D}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}[/tex]

und den Gaußschen Flusssatz

[tex]\oint\vec{D}\, d\vec{A}=Q[/tex]

Die Hüllfläche ist ein koaxialer Zylinder um eine bestimmte Länge l der Anordnung. Die "Deckelflächen" des Zylinders werden von keinem Fluss durchdrungen, da Verschiebungsvektor und Deckelflächenvekor senkrecht aufeinander stehen. Damit reduziert sich die vom Fluss durchsetzte Fläche auf die Fläche des Zylindermantels. Außerdem ist bei konstantem Radius aus Symmetriegründen der Betrag der Verschiebungsdichte konstant. Damit vereinfacht sich der Flusssatz zu

[tex]D\cdot 2\cdot\pi\cdot r\cdot l=Q[/tex]

[tex]\Rightarrow\quad D=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l}[/tex]

Nun setzt Du alles rückwärts ein und notierst Dir zwischendurch, wenn Du an die entsprechende Stelle kommst, mal als Merkposten, dass

[tex]\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot \epsilon_0\cdot \epsilon_r}=E\cdot r[/tex]

(Das ist die Stelle, wo die Länge "wegfällt")
Beachte, dass sich die Feldstärken sich in den drei Bereichen durch die unterschiedliche Permittivitätszahl und unterschiedliche Radien unterscheiden.

Fang' einfach mal an!
 
Danke GvC für die Hilfe.

Leider ist bei mir immer noch nicht so ganz der Groschen gefallen. Und das obwohl ich schon angefangen habe zu rechen ( auch schon vorher) :D

Ich hatte eigentlich einen ähnlichen Ansatz:

[TEX]Uq = \int_{ri}^{r1} E_{1}dr + \int_{r1}^{r2} E_{2}dr + \int_{r2}^{r3} E_{3}dr [/TEX]

Dann habe ich die Formel für die Feldstärke eines langen geraden Leiters zur Hand genommen, eingesetzt, das Integral Unterteilt um die Verschiedenen Abschnitte zu berücksichtigen, diese dann gelöst und komme so auf folgenden Ausdruck:

[TEX]Uq = \frac{Q}{2\pi \epsilon _{0}l} \left[ \frac{ln(\frac{r1}{ri}) }{\epsilon_{1} }+ \frac{ln(\frac{r2}{r1}) }{\epsilon_{2} } +\frac{ln(\frac{r3}{r2}) }{\epsilon_{3} }\right] [/TEX]
______________________________________________________________________________________________

(Das ist die Stelle, wo die Länge "wegfällt")
Welche Stelle genau meinst du denn?? Ich verstehe es nicht... :cry:

Beachte, dass sich die Feldstärken sich in den drei Bereichen durch die unterschiedliche Permittivitätszahl und unterschiedliche Radien unterscheiden.
Genau das ist ja mein Problem, WIE beachte ich das? :D Ich dachte ich hätte es beachtet, indem ich das Integral in die verschiedenen Abschnitte geteilt habe.
 
...und komme so auf folgenden Ausdruck:

[TEX]Uq = \frac{Q}{2\pi \epsilon _{0}l} \left[ \frac{ln(\frac{r1}{ri}) }{\epsilon_{1} }+ \frac{ln(\frac{r2}{r1}) }{\epsilon_{2} } +\frac{ln(\frac{r3}{r2}) }{\epsilon_{3} }\right] [/TEX]
Vollkommen richtig. Ich würde nur, um Missverständnisse zu vermeiden, bei den epsilons noch den Index r anfügen. (Mir ist klar, dass Du das eigentlich gemeint hast.) Das würde dann so aussehen:

[TEX]Uq = \frac{Q}{2\pi \epsilon _{0}l} \left( \frac{ln(\frac{r1}{ri}) }{\epsilon_{r1} }+ \frac{ln(\frac{r2}{r1}) }{\epsilon_{r2} } +\frac{ln(\frac{r3}{r2}) }{\epsilon_{r3} }\right) [/TEX]

Welche Stelle genau meinst du denn?? Ich verstehe es nicht... :cry:
Na ja, genau an der Stelle, die ich gekennzeichnet habe. Irgendwann bist Du im Laufe der Entwicklung an die Stelle gekommen, wo

[tex]E=\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot l\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}[/tex]

Wenn Du Dir jetzt den Vorfaktor vor der großen Klammer Deiner letzten Gleichung anschaust, dann siehst Du, dass Du den ersetzen kannst durch

[tex]\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E\cdot r\cdot\epsilon_r[/tex]

Also wahlweise durch

[tex]\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E_1\cdot r\cdot\epsilon_{r1}[/tex]
oder
[tex]\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E_2\cdot r\cdot\epsilon_{r2}[/tex]
oder
[tex]\frac{Q}{2\cdot\pi\cdot l\cdot\epsilon_0}=E_3\cdot r\cdot\epsilon_{r3}[/tex]

Nach dem Einsetzen kannst Du die Gleichung dann jeweils nach E1, E2 oder E3 auflösen.
 
Ahhhhhh, natürlich!
Genau auf den Schritt bin ich nicht gekommen.. :banghead:

Wenn ich die ln()-Terme dann noch ausrechne und umstelle erhalte ich:

[TEX]E_{k(r) } = \frac{32,6kV}{ r_{k}\cdot \epsilon_{r_{k}} } [/TEX]

Danke für die Hilfe :)
 
Ich hab's nicht nachgerechnet. Wird wohl stimmen. Wichtiger wäre mir zu erkennen, dass die Feldstärke an jeder Schichtgrenze einen Sprung macht, an der Stelle r1 nach oben und an der Stelle r1 nach unten. Wie groß dieser Sprung ist, hängt vom Verhältnis der Permittivitätszahlen ab. Innerhalb jeder Schicht hat die Feldstärke einen hyperbolischen Verlauf.

Eine beliebte Frage bei solchen Aufgaben ist die nach der Stelle der größten Feldstärke, da dort die elektrische Festigkeit möglicherweise überschritten wird. Welche Stellen kommen bei der vorliegenden Aufgabe dafür grundsätzlich in Frage?

Was mir gerade auffällt: Ich habe mich an einer Stelle dummerweise nicht an die in der Aufgabenstellung vorgegebene Bezeichnung gehalten und den äußeren Radius mit r3 anstatt mit ra bezeichnet.
 
Die Lösung stimmt mit dem Musterergebnis überein, passt also :)

Also die 3 Felder der drei verschiedenen Schichten müssten ja jeweils an den zum Leiter nächst gelegendsten Punkten am größten sein.
Demnäch kämen grundsätzlich die Stellen ri , r1 und r2 in Frage.

Wenn man diese also einsetzt, kommt heraus, dass bei r2 = 15mm mit 2,17 kV / mm insgesamt das größte Feld auftritt.
:thumbsup:
 
Demnäch kämen grundsätzlich die Stellen ri , r1 und r2 in Frage.
Was ist bei Dir r1 und r2? Laut Aufgabenstellung sind ri und ra gegeben. Dazwischen liegen zwei Schichtgrenzen mit den Radien r1 und r2. Dann kommen für die Stellen höchster Feldstärke nur ri und r1 in Frage, da an der Stelle r2 die Feldstärke nach unten springt (um den Faktor 6 kleiner wird) und demzufolge auf jeden Fall kleiner als an r1 ist.

Wenn man diese also einsetzt, kommt heraus, dass bei r2 = 15mm mit 2,17 kV / mm insgesamt das größte Feld auftritt.
Du meinst natürlich r1. Falls nach dem Wert der höchsten Feldstärke gar nicht gefragt ist, sondern nur nach der Stelle, lässt sich das auch ohne vollständige Feldstärkeberechnung feststellen, indem man die Feldstärken der entsprechenden Stellen in allgemeinen Größen ausgedrückt ins Verhältnis setzt, z.B.

[tex]\frac{E_1(r_i)}{E_2(r_1)}=\frac{\frac{U_0}{ r_i\cdot\epsilon_{r1}}}{\frac{U_0}{r_1\cdot\epsilon_{r2}}}=\frac{r_1\cdot\epsilon_{r2}}{r_i\cdot\epsilon_{r1}}=\frac{15mm\cdot 1}{10mm\cdot 4}=\frac{3}{8}[/tex]

woraus hervorgeht, dass die Feldstärke an r1 deutlich größer ist als die an ri.
 
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