Elastostatik Wärmedehnung

Hallo zusammen, befinde mich bei der Klausurvorbereitung und bekomme keinen Lösungsansatz für folgende Aufgabe:
Ein Kupfer und ein Alustab sind in Reihe fest eingespannt (Durchmesser konstant). Die Ausgangstemp. T1 ist 20°C. Nun werden beide Stäbe erwärmt (T2 = 80°C). Welche Längen haben die Stäbe (Cu & Al) nach der Erwärmung? Ich weiß, dass die Gesamtdehnung gleich 0 ist, da die Stäbe ja fest eingespannt sind. Ändern sich die Längen überhaupt? Mir fehlt der Ansatz, bzw. kann mir jemand beim Lösungsweg helfen?

Danke,
mbel

gegeben:
[tex]\alpha Al = 23 \cdot 10^{-6}
[/tex]
[tex]\alpha Cu = 17 \cdot 10^{-6}
[/tex]
[tex]E Al = 70000
[/tex]
[tex]E Cu = 125000
[/tex]
[tex]l = 200 mm
[/tex]
[tex]d = 20 mm[/tex]
 

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Ich glaube Deine Skizze ist falsch.
Würde es (vereinfacht) so sehen:
andere Skizze.PNG
Die Platten links und rechts sind frei verschieblich, die Stäbe dazwischen eingespannt.

1. Bedingung: Verformungen müssen gleich sein:
[tex]\frac{ \ \sigma_{Cu} \ }{E_{Cu}} +\alpha_{Cu} \cdot \Delta t=\frac{ \ \sigma_{Al} \ }{E_{Al}} +\alpha_{Al} \cdot \Delta t[/tex]
2. Bedingung: Kräftegleichgewicht
[tex]\sigma_{Cu} \ - \ \sigma_{Al} \ = \ 0[/tex]
Da die Querschnitte und Längen gleich sind habe ich sie direkt weggelassen.

Viel Erfolg
 
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Hallo und Danke für deine Antwort.
Die Skizze ist leider richtig und die Platten seitlich sind fest (keine Verschiebung).

Habe bisher das [tex]\sigma [/tex] bestimmt mit

[tex]\Delta l Stahl,therm + \Delta l Kupfer,therm = \Delta l Stahl,el + \Delta l Kupfer,el[/tex]

[tex]\LARGE \Delta l,therm = l \cdot \alpha \cdot \Delta T[/tex]
[tex]\Delta l, el = \frac{F}{A} \cdot \frac{l}{E} [/tex]


[tex]\sigma = 108 N/mm^2 [/tex]


Wie geht es jetzt weiter?
 
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Gut hast recht. Geht auch nach Deiner Skizze:

1. Bedingung: Verformungen müssen Null werden
[tex]\frac{ \ \sigma_{Cu} \ }{E_{Cu}} +\alpha_{Cu} \cdot \Delta t+\frac{ \ \sigma_{Al} \ }{E_{Al}} +\alpha_{Al} \cdot \Delta t \ = \ 0[/tex]
2. Bedingung: Kräfte sind gleich groß
[tex]\sigma_{Cu} \ = \ \sigma_{Al}[/tex]
3. Daraus ergibt sich:
[tex] \sigma_{Cu} \ = \ \sigma_{Al} \ = \ -\frac{ (\alpha_{Cu} +\alpha_{Al} ) \cdot \Delta t \ } {\frac{1}{E_{Cu}}+\frac{1}{E_{Al}}} \ = \ -107,7 \ N/mm^2[/tex]

Hast Du ja auch schon raus.
4. Längen der Stäbe:
[tex]L + \Delta L \ = \ L \ + \ (\frac{ \ \sigma_{} \ }{E_{}} +\alpha_{} \cdot \Delta t \ ) \ \cdot \ L [/tex]

[tex]1+\frac{ \ \sigma_{Cu} \ }{E_{Cu}} +\alpha_{Cu} \cdot \Delta t \ = \ 1 \ + \ -107,7/125.000 \ + \ 17\cdot 10^{-6} \cdot 60 \ = \ 1,0001585 [/tex]

[tex]1+\frac{ \ \sigma_{Al} \ }{E_{Al}} +\alpha_{Al} \cdot \Delta t \ = \ 1 \ + \ -107,7/70.000 \ + \ 23\cdot 10^{-6} \cdot 60 \ = \ 0,9998415 [/tex]
 
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Hallo Dideldumm,

vielen Dank für die Hilfe. Das habe ich jetzt soweit alles verstanden.
Ich hoffe, ich darf noch eine Frage stellen.

Eine weitere Teilaufgabe ist nun, dass zusätzlich zu der Erwärmung noch eine Kraft angreift (F = 25000 N; Siehe Skizze).
Kann man jetzt einfach davon ausgehen, dass [tex]\sigma = -108 N/mm^2[/tex] (Druckspannung) durch diese Zugkraft "entspannt" wird?
[tex]\sigma ,neu = -108 N/mm^2 + \frac{F}{A} [/tex]
mit d = 20 mm
[tex]\sigma , neu = -28,6 N/mm^2 [/tex]

Oder muss ich mehr berücksichtigen?

Vielen Dank,
Marek
 

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Es ändert sich wie folgt:

1. Bedingung: Verformungen müssen Null werden
[tex]\frac{ \ \sigma_{Cu} \ }{E_{Cu}} +\alpha_{Cu} \cdot \Delta t+\frac{ \ \sigma_{Al} \ }{E_{Al}} +\alpha_{Al} \cdot \Delta t \ = \ 0[/tex]
2. Bedingung: Kräftegleichgewicht
[tex]\sigma_{Cu} \ - \ \sigma_{Al} \ = \ \frac{F}{A} \ = \ \frac {25.000} {314,16} \ = \ 79,58 \ N/mm^2[/tex]
3. Daraus ergibt sich:
[tex] \sigma_{Cu} \ = \ \frac{F}{A} + \sigma_{Al} \ = \ -\frac{ (\alpha_{Cu} +\alpha_{Al} ) \cdot \Delta t \ - \ \frac{F}{E_{Al} \cdot A} \ } {\frac{1}{E_{Cu}}+\frac{1}{E_{Al}}} \\ \sigma_{Cu} \ = \ -56,68 \ N/mm^2[/tex]


oder auch:
[tex] \sigma_{Al} \ = \ -\frac{F}{A} + \sigma_{Cu} \ = \ -\frac{ (\alpha_{Cu} +\alpha_{Al} ) \cdot \Delta t \ + \ \frac{F}{E_{Cu} \cdot A} \ } {\frac{1}{E_{Cu}}+\frac{1}{E_{Al}}} \\ \sigma_{Al} \ = \ -136,26 \ N/mm^2[/tex]
Kontrolle:
[tex]\sigma_{Cu} \ - \ \sigma_{Al} \ = \ \frac{F}{A} \ = \ -56,68 +136,26 \ = \ 79,58 \ N/mm^2 [/tex]

 
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O.a. Lösung gilt für den Fall das die Kraft in der Mitte der immer noch fest eingespannten Stäbe angreift ...
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