"Einfache" Bewegungsaufgabe

Hallo, folgende Frage kann ich nicht mit absoluter Sicherheit beantworten.

Ein Auto fährt (reibungsfrei) auf ebener Fläche von Punkt A nach Punkt B. Dazu wird Zeit t1 benötigt.
Was passiert, wenn zwischen den beiden Punkten A und B sich ein Hügel oder eine Mulde befindet. Auto hat die selbe Anfangsgeschwindigkeit wie auf ebener Fläche. Braucht das Auto mit Hügel oder Mulde länger oder kürzer als das Auto au ebener Fläche?


Meine Überlegungen:
1)Wenn man davon ausgeht, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ist es klar, dass das Auto länger bei Mulde/Hügel braucht, weil sich Strecke verlängert. Aber es ist ja nur gegeben, dass die Anfangsgeschwindigkeit die selbe ist....


2) Betrachte Hügel: Am Anfang hat Auto kinetische Energie von m*v^2 *0.5, Auto fährt jetzt auf Hügel und verliert dadurch an Geschwindigkeit-> kinetische Energie wird vermindert. ABER gleichzeitig gewinnt Auto an potentieller Energie (Höhenergie) m*g*h. Diese Höhenergie kann beim runterfahren vom Hügel wieder genutzt werden sprich Ekin.+Epot = Ebergabfahren. Ich weiß nicht, ob meine Überlegungen vollkommener Mist sind.

Was denkt ihr ist das Auto schneller oder langsamer beim Hügel oder Mulde durchfahren? (immer reibungsfrei betrachten).
Danke
 
Was denkt ihr ist das Auto schneller oder langsamer beim Hügel oder Mulde durchfahren? (immer reibungsfrei betrachten).
Wenn die Karre reibungsfrei fährt, bleibt sie vllt. in der Mulde einfach liegen und fährt keinen zusätzlichen Hügel mehr hoch;-)
 
Interessante Aufgabe. Aber fehlen dabei nicht Angaben?

Je nach Form der Mulde oder des Hügels, hebt das Auto mit gegebener Geschwindigkeit ab. Die Ebene muss schon differenzierbar sein und eine Krümmung nicht übersteigen.

Wenn wir hier aber vereinfacht von einem Massepunkt der auf einer Bahn geführt wird sprechen, d.h. es dürfen auch Knickstellen vorkommen, sollte man mal einen Blick auf die Brachistochrone werfen. Das ist eine "Mulde", die aufgrund von Schwerkraft die schnellste Verbindung zwischen zwei Punkten herstellt.
 
Angenommen man würde über einen Hügel mit Plateau fahren. Über das Plateau würde man mit verringerter Geschwindigkeit fahren, da die potentielle Energie erstmal überwunden werden muss.

Betrachtet man eine Mulde mit einem ebenen Tal, würde man durch dieses Tal mit erhöhter Geschwindigkeit durchfahren, da sich die potentielle Energie in kinetische Energie umwandelt.

Das wären zumindest mal mögliche Gedanken/Ansätze für einen Beweis.
 
Angenommen man würde über einen Hügel mit Plateau fahren. Über das Plateau würde man mit verringerter Geschwindigkeit fahren, da die potentielle Energie erstmal überwunden werden muss.

Betrachtet man eine Mulde mit einem ebenen Tal, würde man durch dieses Tal mit erhöhter Geschwindigkeit durchfahren, da sich die potentielle Energie in kinetische Energie umwandelt.
kein Plateau und auch kein ebenes Tal. es wird also halbkreisförmig angenommen.
 
Durch die Mulde fährt man schneller, als über den Berg.
auch wenn Ausgangs- und Endposition auf selber Höhe sind?
das kann man durch die Schwerkraft oder durch die Umwandlung von potentielle Energie in kinetische Energie erklären?

Was ist jetzt mit der Kugel, welche einfach mit selber Anfangsgeschwindigkeit auf einer Ebenen (ohne Mulde oder Hügel) rollt?
 
Also erstmal nehmen wir an, das Auto beschleunigt nicht und fährt mit der Geschwindigkeit [tex] v_0 [/tex].

Dann schafft es das Auto auf eine gewisse Höhe zu kommen

[tex] E_{kin} = E_{pot} \\ \Leftrightarrow \frac{m}{2} v_0^2 = m g h_0 \\ \Leftrightarrow h_0 = \frac{1}{2 g} v_0^2 [/tex]

Um so näher man der Höhe h_0 kommt, desto geringer wird die Geschwindigkeit. Bis man sich oben auf dem Halbkreis befindet, wird es unendlich lange dauern, aufgrund der immer geringeren Geschwindigkeit. Umgekehrt dauert es unendlich lange von dort wegzukommen, da die Hangabtriebskraft so gering ist in der Nähe des höchsten Punkts.

Verwendet man nun einen Halbkreis der Höhe [tex] h'_0 = h_0 - dh [/tex] mit infinitesimal kleinem dh, dann schafft man es gerade so über den Halbkreis drüber, aber in wahnsinnig langer Zeit.

Dreht man den Halbkreis aber um, dann fährt man mit einer hohen Geschwindigkeit [tex] > v_0 [/tex] durch den tiefsten Punkt und kommt mit der Geschwindigkeit [tex] v_0 [/tex] wieder auf der höhe h = 0 auf der anderen Seite an.
 
Ekin=Epotm2v20=mgh0⇔h0=12gv20 E_{kin} = E_{pot} \\ \Leftrightarrow \frac{m}{2} v_0^2 = m g h_0 \\ \Leftrightarrow h_0 = \frac{1}{2 g} v_0^2

Um so näher man der Höhe h_0 kommt, desto geringer wird die Geschwindigkeit. Bis man sich oben auf dem Halbkreis befindet, wird es unendlich lange dauern, aufgrund der immer geringeren Geschwindigkeit. Umgekehrt dauert es unendlich lange von dort wegzukommen, da die Hangabtriebskraft so gering ist in der Nähe des höchsten Punkts.
Das bedeutet, dass man die kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt bekommt(beim hochrollen) aber der Vorgang lange dauert, weil die Geschwindigkeit durch das Hochrollen abnimmt?
Gleichzeitig bedeutet es, dass wenn Kugel den höchsten Punkt erreicht hat und sich ganz wenig weiter bewegt, die Hangabtriebskraft (Steigung des Hügels) sehr gering ist, gleich nach dem höchsten Punkt des Hügels. Also sich die potentielle Energie sehr langsam in kinetische Energie umwandelt.

Beim umgedrehten Halbkreis, rollt Kugel durch Ausnützung der potentieller Energie schnell. Passiert Tiefpunkt des Halbkreises schneller und kann dann mit mehr Geschwindigkeit, also einer höheren Energie die Umwandlung von kinetischer Energie in potentieller Energie vollziehen. Was bedeutet durch die schnellere Geschwindigkeit, aufgrund des vorangegangene Hinunterrollen vor Hinaufrollen, ist Kugel beim Muldenweg schneller als beim Hügelweg.

Hab ich das richtig verstanden?


Bleibt mir nur noch die Frage ob die Kugel schneller/langsamer wäre, wenn sie mit selber Anfangsgeschwindigkeit bei Hügel/Mulde, einfach auf ebener Fläche von A nach B rollt.
 
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