Eigenkreisfrequenz einer Kreisscheibe

Ich habe folgende Aufgabe:

Kreisscheibe.jpg
gegeben sind dabei c und m.
Hierbei soll die Eigenkreisfrequenz der Scheibe für kleine Ausschläge berechnet werden.
Ich habe nun folgende Rechnung durchgeführt:

Rechnung Kreisscheibe.jpg
Laut Musterlösung ist der Winkel phi in meinem Ergebnis nicht vorhanden. Weiß jemand ob ich eine falsche Annahme Vorausgesetzt habe, oder eventuell einen Fehler in meiner Rechnung habe?

Vielen dank bereits für eine Antwort :)
 
AW: Eigenkreisfrequenz einer Kreisscheibe

Ich steige mal da ein, wo du geschrieben hattest, daß noch umzuformen ist ...
(Da bei den Federn die Kraft entgegengesetzt der Bewegungsrichtung wirkt kommen noch Minuszeichen rein ...)

[tex]\hspace{80} \begin{array}{rcl}- \frac {\ 1 \ }{2} \cdot x \cdot c \ - \frac {\ 1 \ }{2} \cdot x \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot I \cdot \ddot{\varphi}^2 \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot I \cdot \ddot{\varphi}^2 \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot m \cdot R^2 \cdot \ddot{\varphi}^2 \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot m \cdot R^2 \cdot \frac { \ddot{x} } { \ R^2 \ } \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{4} \cdot \ m \cdot \ddot{x} \\ \ \\ \ \\ \rightarrow \ \ 0 \ &=& \ \frac {4 \cdot c } { \ m \ } \cdot x \ + \ \cdot \ddot{x}\end{array}[/tex]

Das ist die gleiche einfache DGL wie beim Federpendel auf wikipedia dargestellt.

Die Kreisfrequenz ist dann folglich: [tex]\hspace{8}\omega_0 \ = \ 2 \ \cdot \ \sqrt{\frac{ \ c \ }{m} \ }[/tex]

Es ist in diesem Zusammenhang ungünstig das [tex] \omega [/tex] schon für die Rotationsenergie der Scheibe zu benutzten.
Sind zwei paar Schuhe ...
 
AW: Eigenkreisfrequenz einer Kreisscheibe

Korrektur, kommt aber aufs Gleiche ...
[tex]\hspace{80} \begin{array}{rcl}- \frac {\ 1 \ }{2} \cdot x^2 \cdot c \ - \frac {\ 1 \ }{2} \cdot x^2 \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot I \cdot \dot{\varphi}^2 \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x^2 \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot I \cdot \dot{\varphi}^2 \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x^2 \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot m \cdot R^2 \cdot \dot{\varphi}^2 \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x^2 \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot \ \frac {\ 1 \ }{2} \cdot m \cdot R^2 \cdot \frac { \dot{x}^2 } { \ R^2 \ } \\ \ \\ \rightarrow \ \ -x^2 \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{4} \cdot \ m \cdot \dot{x}^2 \hspace{78}|\frac{ \ d \ } {dt} \\ \ \\ \ \\ \rightarrow \ \ 0 \ &=& \ \frac {4 \cdot c } { \ m \ } \cdot x \ + \ \cdot \ddot{x}\end{array}[/tex]

Man kann das halt auch über ein Momentengleichgewicht lösen, dann stehen stehen gleich die Beschleunigungen da (und man hat eine Ableitung gespart):

[tex]\hspace{70} \Sigma M_{ums\ Lager} \ = \ I \ \cdot \ \ddot{\varphi} \ + \ 2 \ \cdot \ c \ \cdot \ x \ = \ 0[/tex]

Daher mein Fehler ...
 
AW: Eigenkreisfrequenz einer Kreisscheibe

Noch `ne Korrektur ... sry
[tex]\hspace{80} \begin{array}{rcl} \rightarrow \ \ -x^2 \cdot c \ &=& \ \frac {\ 1 \ }{4} \cdot \ m \cdot \dot{x}^2\hspace{50}|\frac{ \ d \ } {dx} \\ \ \\ \ \\ \rightarrow \ \ 0 \ &=& \ \frac {4 \cdot c } { \ m \ } \cdot x \ + \ \cdot \ddot{x}\end{array}[/tex]
Die unterste Zeile ist doch quasi schon das Ergebnis in Verbindungen mit den Angaben bei wikipedia ...

Deine Vorgegehensweise war doch bis auf die Verwendung von dem [tex]\omega[/tex] korrekt ... sollte gar nicht so kompliziert wirken.

Viel Erfolg ... (der Groschen fällt bestimmt demnächst) ;)
 

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