Differenz zweier Funktionen

Hey an Alle,

ich hänge an folgendem Problem:

Ich will rechnerisch herausfinden wo die Differenz folgender 2 Funktionen auf dem Intervall [tex] \left[ 0,\pi \right] [/tex] am größten ist:
1. [tex]x^{2} -x[/tex]
2. [tex] - \frac{2}{\pi } x(x-\frac{\pi }{2} )[/tex]

Was wäre denn da die cleverste Herangehensweise ?

Grüße
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Hallo

ich denke, dass ist ganz einfach. Beide Funktionen haben ihr lokales Maximum oder Minimum dort wo die ersten Ableitung=0 ist!

[tex]f(x)=\frac{-2}{\pi }\cdot x^{2} + x\\ f^{'}(x)=\frac{-4}{\pi} \cdot x-1 \\ f^{'}(x)=0\ \Rightarrow \ x=\frac{\pi}{4}\\ f(\frac{\pi}{4})=\frac{-2}{\pi }\cdot (\frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}=0,393\\ fuer \ die zweite Funktion gilt:\\ h(x)=x^{2}-1\\ h^{'}(x)=-2x-1\\ h^{'}(0)\Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ h(\frac{1}{2} )=(\frac{1}{2}) ^{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\\ max(f(\frac{\pi}{8})-h(\frac{1}{4} ))=0,6427[/tex]
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Hey tkrieg,

danke für deine antwort, aber das ist leider so nicht richtig.
Denn du rechnest ja einfach irgendwelche Extrema aus, wobei du dir noch nichtmal sicher sein kannst, ob sich auf dem Intervall nicht mehrere Extrema befinden und welches du erwischt hat.
Ok, bei den beiden funktionen ist es gerade so, dass in dem intervall jeweils nur ein extrema existiert.
Aber der maximale abstand der beiden funktionen liegt nicht zwischen den beiden maxima ! (siehe Anhang)
Hat noch jmd ne Idee ?


Grüße
 

Anhänge

DrDuemmlich

Mitarbeiter
AW: Differenz zweier Funktionen

Du musst Extremwerte der Differenz der beiden Funktionen finden.
Also neue Funktion:
g(x)=abs(f(x)-h(x))
Jetzt suchst du das Maximum von g(x)...
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Ahh... na das ist ja noch einfacher!

übrigens beim Anblick der Funktionen war klar das es je ein Maxima und ein Minima gibt!!! Mit gutem Gewissen haben ich die Untersuchung nach weiteren Extremstellen unterschlagen.

Unter anbetracht und später Verständnis deiner Fragestellung bin ich natürlich voll auf der Seite von Darmflora:

max(f(x)/g(x))=0,6

Funktion.jpg

viele Grüße
 

DrDuemmlich

Mitarbeiter
AW: Differenz zweier Funktionen

Ahh... na das ist ja noch einfacher!

übrigens beim Anblick der Funktionen war klar das es je ein Maxima und ein Minima gibt!!! Mit gutem Gewissen haben ich die Untersuchung nach weiteren Extremstellen unterschlagen.

Unter anbetracht und später Verständnis deiner Fragestellung bin ich natürlich voll auf der Seite von Darmflora:

max(f(x)/g(x))=0,6

viele Grüße
Da muss man einiges klar stellen.
Ich beziehe mich mal auf mein Bild aus #6.
Die blaue Kurve hat zwei Minima und ein Maximum.
Die rote Kurve hat zwei Maxima und ein Minimum.
Die schwarze Kurve hat zwei Minima und zwei Maxima.

ist in mehrfacher Hinsicht falsch. Der Quotient ist nicht gesucht.
Die maximale Differenz ist laut Bild ca. 10.
Aber das ist eigentlich garnicht gesucht. Gesucht ist die Lage des Maximums der Differenz, und die ist x=Pi.
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Hey,

ja also laut Grafik sieht man ja dass wie Darmflora dass schon richtig gesagt hat, für x =Pi der Abstand maximal wird.
Wenn ich beide Funktionen voneinander subtrahiere bekomme ich die Differenzfunktion:

[tex]g(x)=\ x^{2} -x - \left( -\frac{2}{\pi } x \left( x-\frac{\pi }{2} \right) \right) [/tex]
[tex]=\ \left| x^{2} \left( 1+\frac{2}{\pi } \right) -2x \right| [/tex]
Diese Betragsfunktion ist auf dem gegebenen Intervall stets größer 0 und somit kann ich die Betrgszeichen entfernen.
Darmflora, du meintest doch dass ich die Funktion nun auf Maxima untersuchen soll. Das heißt ja im Prinzip nur die erste Ableitung finden und 0 setzen. Aber somit erhalte ich ja eine Maximalfunktion die mir die Extrema auf der gesamten realen Zahlenachse liefert.
Wie kann ich denn nun das Maximum auf [tex] \left[ 0,\pi \right] [/tex] finden ?

Danke dir

Grüße
 

DrDuemmlich

Mitarbeiter
AW: Differenz zweier Funktionen

Prüfe nochmal, ob du den Betrag einfach weglassen kannst...

g(x) ist an einigen Stellen ja garnicht differenzierbar, am Knick und an den Rändern x=0 und x=Pi. Diese Stellen würdest du durch die Ableitung überhaupt nicht finden.
Diese Punkte musste du separat prüfen...
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Hey Darmflora,

Ich weiß im Augenblick garnicht was ich tuen soll.
Ich weiß hier einfach nicht weiter !
Du hast keine Idee mehr ?

Grüße
 

DrDuemmlich

Mitarbeiter
AW: Differenz zweier Funktionen

Ich dachte, es wäre alles klar?
Neue Ideen sind nicht nötig.

Du kannst die Funktion stückweise auf Extremwerte untersuchen (mit der Ableitung). Die o.g. Stellen, an denen g nicht differenzierbar ist, musst du separat untersuchen.
Es ist allerdings falsch, dass du den Betrag von vorn herein weg lässt.
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Die Betragsbildung der Differenzfunktion ist zwar nicht falsch, aber äußerst ungeschickt, eben weil du so eine Funktion erhälst, die in Punkten nicht differenzierbar sein könnte/ist...

Sinnvoller wäre es auf den Betrag zu verzichten und die Differenzfunktion ganz einfach auf Minima und Maxima zu untersuchen und dann davon den Betrag zu nehmen. Die Randbereiche musst du natürlich weiterhin seperat untersuchen...

PS:
Wenn ichs mir recht überlege, dann ist die Betragsbildung übrigens doch falsch. Gefragt ist nach der Differenz zweier Funktionen und nicht nach der Betragsdifferenz bzw. dem Abstand. Und eine Differenz kann sowohl negativ als auch positiv sein, darin steckt nämlich eine weitere Information...
 
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DrDuemmlich

Mitarbeiter
AW: Differenz zweier Funktionen

PS:
Wenn ichs mir recht überlege, dann ist die Betragsbildung übrigens doch falsch. Gefragt ist nach der Differenz zweier Funktionen und nicht nach der Betragsdifferenz bzw. dem Abstand. Und eine Differenz kann sowohl negativ als auch positiv sein, darin steckt nämlich eine weitere Information...
Uhh, völlig richtig! Ich dachte tatsächlich, es wäre der Abstand gemeint...:oops: (und auch das wäre nichtmal eindeutig gewesen).

Vor dem alten Hintergrund:
Die Betragsbildung der Differenzfunktion ist zwar nicht falsch, aber äußerst ungeschickt, eben weil du so eine Funktion erhälst, die in Punkten nicht differenzierbar sein könnte/ist...

Sinnvoller wäre es auf den Betrag zu verzichten und die Differenzfunktion ganz einfach auf Minima und Maxima zu untersuchen und dann davon den Betrag zu nehmen. Die Randbereiche musst du natürlich weiterhin seperat untersuchen...
Das wäre dann zwar ein guter Trick gewesen, den hätte ich für den Einstieg allerdings nicht empfohlen.

Neues Bild:
Es ist wieder das (globale) Maximum der schwarzen Kurve zu finden.
Namenlos.png
 
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DrDuemmlich

Mitarbeiter
AW: Differenz zweier Funktionen

Die Betragsbildung der Differenzfunktion ist zwar nicht falsch, aber äußerst ungeschickt, eben weil du so eine Funktion erhälst, die in Punkten nicht differenzierbar sein könnte/ist...

Sinnvoller wäre es auf den Betrag zu verzichten und die Differenzfunktion ganz einfach auf Minima und Maxima zu untersuchen und dann davon den Betrag zu nehmen. Die Randbereiche musst du natürlich weiterhin seperat untersuchen...

PS:
Wenn ichs mir recht überlege, dann ist die Betragsbildung übrigens doch falsch. Gefragt ist nach der Differenz zweier Funktionen und nicht nach der Betragsdifferenz bzw. dem Abstand. Und eine Differenz kann sowohl negativ als auch positiv sein, darin steckt nämlich eine weitere Information...
Jetzt muss ich doch nochmal nachhaken.

War das die komplette Aufgabenstellung?
Es macht ja einen Unterschied, ob ich f-h oder h-f betrachte...
Vermutlich war es mit dem Betrag doch richtig.
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Ok,

stand aufm schlauch.
Habe jetzt ganz normal ne kurvendiskussion für die differenzfunktion gemacht und errechnet dass das globale Maximum für x=Pi die maximale Differenz erbringt.

Danke euch !

Grüße
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Da die Aufgabenstellung das nicht festlegt, ist es am Bearbeiter die Differenz zu definieren. Kann man ja machen ;)
 
AW: Differenz zweier Funktionen

Ja also ich habe jetzt die Differenzfunktion so errechnet wie gezeigt und wenn in der Aufgabenstellung nur von der Differenz der beiden Funktionen die Rede ist, dann denke ich kann man am ende nicht mehr verlangen.
aber ich glaube in dem fall ist das wurscht, weil egal wie rum man es macht, es kommt immer x=Pi raus.

grüße
 
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