Dämpfungen und Bode-Diagramm

[hb123]

Hallo!

Wie kann ich denn genau Dämpfungen ausrechnen?

Meine Aufgabe lautet

Berechnen Sie das Amplitudenverhältnis in Abhängigkeit von w/w(grenz).

Meine Funktion lautet: G(w) = 1/(R²w²c²-4Rwc-3)

Kann ich dann für Rwc einfach (w/w(grenz)) einsetzen?, also eta?
Wie hoch ist dann die Dämpfung? 20*log (1/8 )? Weil dann w= w(grenz)?

Desweiteren ist die Frage, wie Groß die Dämpfungen sind für das Amplitudenverhältnis (Funktion siehe oben)
bei w=100*w(grenz).

Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte, danke!

Gruß!

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Eigenartige Resonanzfunktion, hb,
magst Du uns bitte mal die zugehörige Schaltung zeigen?

 

[hb123]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Servus Isi,

Drei Widerstände, drei Kondensatoren, alle fix.
Drei Massenströme, nummeriert von links I(1) bis rechts I(3), alle IM Uhrzeigersinn orientiert;)

Gruß!

 

[ThriLLseekeR]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Das passt dann aber nicht ganz zu deiner Übertragungsfunktion, insfoern die Simulation oben richtig ist.

Ich würde spontan meinen, das dass ein Tiefpass 3ter Ordnung ist, das heißt einfach das er einen Abfall von -60dB pro Dekade bei der Grenzfrequenz hat -> gibt nur eine, da alle Bauelemente die gleiche Größe haben.

Ich würds so tun,

Ich würde mir die 3 Tiefpässe getrennt vorstellen. Übertragungsfunktion für einen RC Tiefpass aufstellen. Anschließend Kettenschaltung der 3 Tiefpässe ( Multiplikation der Übertragungsfunktionen ).

Grüße

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Ich würde mir die 3 Tiefpässe getrennt vorstellen. Übertragungsfunktion für einen RC Tiefpass aufstellen. Anschließend Kettenschaltung der 3 Tiefpässe ( Multiplikation der Übertragungsfunktionen ).

Das wird nicht stimmen, da die ersten beiden RC-TP durch die nachfolgenden belastet werden, oder?

Ich rechne so:

ik1      ik2     ik3    =
R-jXc    jXc      0     Uo
jXc     r-2jXc    jXc   0
0        jXc     r-2jXc 0

|Ua/Uo| = |Xc*i3|/Uo = ...mit y=RwC


|Ua/Uo| = 1/√(y^6 +13y^4 +26y² +1)

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Noch das Bild dazu:
Ach ja, noch die Rechenmethode obiger Matrix: http://forum.physik-lab.de/sutra56.html#56
...und ich hätte 20*lg(..) rechnen sollen, nicht 20*ln()

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Jetzt die Zeichnung mit lg statt ln

Abfall von -60dB pro Dekade, wie Lseeker oben schon sagte.

 

[hb123]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Also, erst einmal Danke an euch beide, dass ihr dabei seid.

Der Punkt ist der,
ich stelle eben die Matrix auf, komme dann eben zu einer Funktion G(w).
Ich möchte nun eben wissen, ob meine Vorhergehensweise richtig ist,
wenn ich dann in meine Funktion G(w) einfach Rcw durch w/w(grenz) ersetze.
Mit dem Tiefpass dritter Ordnung gebe ich euch recht, und ebenso der Dämpfung um -60dB/Dekade.
Wie komme ich denn aber nun weiter?
Da ich selbst das Maschenstromverfahren mitHillfe der Matrix angewendet habe,
habe ich doch I1/I3 geteilt.
Und was mache ich denn nun, wenn es heißt U/U3?
Wie funktioniert das? Verwende ich da ebenso dieselbe Matrix, dann mit Hilfe der Mathematik?
Dann sollte ich ja noch errechnen, wie es wäre, wenn w=100*w(grenz) ist.
Einfach einsetzen?


Danke mal!

Gruß!

 

[helmuts]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Ich habe es mal mit dem Knotenpotentialverfahren gerechnet. Habe mich dabei mehrfach verrechnet bis die Lösung stimmte.
Das Ergebnis stimmt mit dem von Isabell überein.

Ua/Ue = 1/(1+6*jw*T + 5*(jwT)^2 + (jwT)^3)
-----------------------------------------------------------

|Ua/Ue| =1/sqrt(Realteil^2+Imaginärteil^2)

|Ua/Ue| =1/sqrt( (1-5*(wT)^2 + (6*wT-(wT)^3)^2 )

|Ua/Ue| =1/sqrt( (1-5*(wT)^2 + (6*wT-(wT)^3)^2 )

|Ua/Ue| =1/sqrt( (1 + 26*(wT)^2 + 13*(wT)^4 + (wT)^6) )
--------------------------------------------------------------------------

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Da ich selbst das Maschenstromverfahren mitHillfe der Matrix angewendet habe,
habe ich doch I1/I3 geteilt.

Aha, Bei euch ist G(w) = I3/I1 ?

Ich fange nochmal an mit der Lösung der Matrix (mit Xc = 1/(wC) )

ik1      ik2     ik3    =
R-jXc    jXc      0     Uo
jXc     r-2jXc    jXc   0
0        jXc     r-2jXc 0

Lösung mit dem Nenner [TEX] N=R^6+13 R^4 X_c^2 +26 R^2 X_c^4 +X_c^6[/Tex]

[Tex]i_{k1}=\frac{U_o}{N} (R (r^4+11 R^2 X_c^2 + 14 X_c^4 ) +j X_c(r^4+8 R^2 X_c^2 + 3 X_c^4 )) [/Tex]

[Tex]i_{k2}=\frac{U_o}{N} (R X_c^2 (3 R^2 +11 X_c^2) -j X_c(r^4+4 R^2 X_c^2 + 2 X_c^4 ) [/Tex]

[Tex]i_{k3}=\frac{U_o}{N} (-R X_c^2 (R^2 -6 X_c^2) -j X_c^3(5 R^2 - X_c^2)) [/Tex]



[TEX]\vec{G}(\omega) = \frac{\vec{I_3}}{\vec{I_1}} =\frac{-R X_c^2 (R^2 -6 X_c^2) -j X_c^3(5 R^2 - X_c^2)}{R (r^4+11 R^2 X_c^2 + 14 X_c^4 ) +j X_c(r^4+8 R^2 X_c^2 + 3 X_c^4 )}[/TEX]

[TEX]G(\omega) = \frac{X_c^2}{\sqrt{R^4+10R^2 X_c^2+9 X_c^4}}=\frac{1}{\sqrt{\omega^4 C^4 R^4+10\omega^2 C^2 R^2+9}} [/TEX]

 

[helmuts]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Im Schaltbild sind nur Spannungen eingezeichnet. Deshalb gehe ich davon aus, dass Ua/Ue gefragt ist.

 

[xeraniad]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Guten Tag
Ich habs auch mal versucht, mit der Kettenmatrix
[tex]A \ = \ \left ( \begin{bmatrix}1 & R \\ 0 \mathrm{S} & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 \Omega \\ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot C & 1\end{bmatrix} \right)^3 \ = \ \begin{bmatrix}\overbrace{(\mathrm{j}\cdot\omega \cdot R \cdot C)^3+5\cdot(\mathrm{j}\cdot\omega \cdot R \cdot C)^2+6\cdot \mathrm{j}\cdot\omega \cdot R \cdot C+1}^{a_{11}} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}[/tex].
Die Spannungs -Übertragungsfunktion ist [tex]\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} \ = \ \underline{G}(\omega) \ = \ \frac{1}{a_{11}[/tex].
Das Betragsquadrat wird [tex]|\underline{G}(\omega)|^2 \ = \ \underline{G}(\omega) \cdot \overline{\underline{G}}(\omega) \ = \ \frac{1}{(\omega\cdot R \cdot C)^6 \ +13 \cdot (\omega\cdot R \cdot C)^4 \ +26 \cdot (\omega\cdot R \cdot C)^2 \ +1}[/tex], wie isi1 und helmuts zuvor schrieben.

 

[hb123]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Hey Isi,

das sieht bei dir aber so anders aus?!

Ich habe I3/I1, aber komme auf das Ergebnis, dass ich weiter oben gepostet hatte.
Sollte ich eventuell erwähnen, dass ich das Bode-Diagramm von Hand mache??


Gruß!

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Du solltest uns bitte den genauen Wortlaut der Aufgabenstellung zeigen, hb123.

Bei der von Dir vermuteten G(w) = I3/I1 ist z.B. der linke R ohne Bedeutung. Hast Du denn die gleichen Zwischenergebnisse wie ich?
Und ob mit Hand gezeichnet oder per PC sollte keinen großen Unterschied machen.

 

[Isabell]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Ich habs auch mal versucht, mit der Kettenmatrix
[tex]A \ = \ \left ( \begin{bmatrix}1 & R \\ 0 \mathrm{S} & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 \Omega \\ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot C & 1\end{bmatrix} \right)^3 \ = \ \begin{bmatrix}\overbrace{(\mathrm{j}\cdot\omega \cdot R \cdot C)^3+5\cdot(\mathrm{j}\cdot\omega \cdot R \cdot C)^2+6\cdot \mathrm{j}\cdot\omega \cdot R \cdot C+1}^{a_{11}} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}[/tex].
Die Spannungs -Übertragungsfunktion ist [tex]\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} \ = \ \underline{G}(\omega) \ = \ \frac{1}{a_{11}[/tex].

Das gefällt mir, xeraniad,
hab nicht gedacht, dass das so einfach geht.

 

[xeraniad]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Mit dem [tex]a_{21} \ = \ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot C \cdot [(\mathrm{j}\cdot \omega \cdot R \cdot C)^2 + 4 \cdot \mathrm{j}\cdot \omega \cdot R \cdot C + 3][/tex] Kettenmatrix lässt sich auch das ewähnte Stromverhältnis [tex]\underline{G}(\omega) \ = \ \frac{ \underline{I}_3}{\underline{I}_1}[/tex] angeben.
Aus der ersten der beiden Kettengleichungen [tex]\begin{bmatrix}\underline{U}_1 \\ \underline{I}_1\end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underline{U}_2 \\ 0 \mathrm{A}\end{bmatrix}[/tex] folgt [tex]\underline{U}_2 \ = \ \frac{1}{a_{11}} \cdot \underline{U}_1[/tex], dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt [tex]\underline{I}_{1} \ = \ \frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot \underline{U}_1[/tex].
Mit dem Strom durch die Kapazität rechts [tex] \underline{I}_3 \ = \ \mathrm{j}\cdot \omega \cdot C \cdot\underline{U}_2[/tex] folgt [tex]\underline{G}(\omega) \ = \ \frac{ \underline{I}_3}{\underline{I}_1} \ = \ \frac{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot C}{a_{21}} \ = \ \frac{1}{(\mathrm{j}\cdot \omega \cdot R \cdot C)^2 + 4 \cdot \mathrm{j}\cdot \omega \cdot R \cdot C + 3} [/tex].
Dies ähnelt bis auf das Vorzeichen und ein [tex]\mathrm{j}[/tex] der von hb123 geposteten Übertragungsfunktion.

 

[xeraniad]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Dies komplexe Resultat für [tex]\frac{\underline{I}_3}{\underline{I}_1}[/tex] stimmt exakt mit dem bereits 02.07.2012, 10:08 von isi1 (mit [tex]X_c \ = \ \frac{1}{\omega\cdot C}[/tex]) geposteten überein.
Daher habe ich auch den Eindruck, dass bei hb123s Aufgabe unterwegs ein Kopierfehler aufgetreten ist.

 

[hb123]

AW: Dämpfungen und Bode-Diagramm

Servus,

Danke mal!