Binomischer Lehrsatz

Hallo ,

habe leider Probleme bei den zwei folgenden Aufgaben siehe anhang
Wäre super nett wenn Ihr mir helfen und evtl den Lösungsweg nennen könntet

Danke vielmals!!
 

Anhänge

Hallo,
Bei der Aufgabe gibt es prinzipiell zwei Herangehensweisen. Ich werd aber erstmal einen grundlegenden Ansatz anmerken, vielleicht genügt das schon:
Was du im vorne rein tun musst: um indizieren, d.h. statt die rechte Summe bei k=1 zu beginnen und bis n=100 zu summieren, kann man die Summe bei k=0 starten und bis 99 summieren (beachte das aus der Summationsfolge n-1 wird zu n, weil wir den Start nach hinten verschoben haben (falls das unklar ist nachfragen, das ist ein wichtiger Trick). Das kannst du dir wie Verschiebung von Funktionen vorstellen (man schiebt den Graphen nach links und addiert in der Funktion dafür einen Wert).
Ist dir klar wie man denn weiter vorgehen könnte?
Grüße,
h
 
Keine Ergebnisse, aber noch mehr Aufgaben.
@Jo1985 :
Für jeweils eine Aufgabe einen Thread - dann helfe ich gerne weiter.
Welche Aufgabe möchtest Du in diesem Thread bearbeiten?
 
Guten Tag,

Aufgabe 1) Wurde ja schon besprochen. Solltest du dazu noch Fragen haben schau dir das Vorgehen bei Indexshifts an. Da gibts sicher auch einige YouTube Videos zu.

Aufgabe 2) Ist ja einfach auflösen des Summensymbols und dann muss man wissen was Fakultäten sind. Wenn ich das exemplarisch an dieser Aufgabe machen würde, dann wäre sie schon gelöst aber nehmen wir mal an du hast folgenden Term:

[tex] \sum_{n=0}^5{n!}=0!+1!+2!+3!+4!+5!=1+1+2+6+24+120=154 [/tex]

Das ganze jetzt einfach nur auf deine Aufgabe anwenden und du hast die Lösung.

Aufgabe 3) Ist rechnen mit Binomialkoeffizienten. Auch hierzu könntest du recherchieren wenn du Fragen hast. Nur so viel:

[tex] \begin{pmatrix} n \\\ k \end{pmatrix} =\frac{n!}{(n-k)!~\cdot~k!} [/tex]

Aufgabe 4) Hier musst du den Binomischen Lehrsatz anwenden und da kommt mehr oder weniger alles zusammen was in den Teilaufgaben davor genutzt wurde.

Binomischer Lehrsatz: [tex] \left(x+y\right)^n~=~\sum_{k=0}^n{\begin{pmatrix} n \\\ k \end{pmatrix}x^{n-k}y^k} [/tex]

Ich hoffe ich konnte dir einigermaßen helfen.
Solltest du Fragen haben meld dich gern nochmal.

Mit freundlichen Grüßen
SmileyFace
 
Guten Abend SmileyFace,

danke Dir für die ausführliche Erklärungen.
Aufgabe 1 und 3 hatte ich bereits erfolgreich gelöst.
Nur wusste ich die Schreibweise bei Aufgabe 2 nicht. Fakultät war mir auch bekannt.
Aufgabe 4 hab ich auch gelöst nur bin ich mir da nicht 100%sicher ob ich mit der Aufgabe fertig bin.

Mit freundlichen Grüßen
Jens
 
Gern.
Kannst ja deine Lösungen reinstellen, dann schau ich mal drüber.
Wenn du sonst noch fragen hast sag Bescheid.

Mit freundlichen Grüßen
SmileyFace
 
Aufgabe 1 und 2 sehen gut aus, nur dass du bei Aufgabe 1 noch weiter zusammenfassen kannst und dann noch, falls gewünscht, die Summe auflösen.

Aufgabe 1)

[tex] \sum_{n=0}^{99}{\left(2n+1-n\right)}=\sum_{n=0}^{99}{\left(n+1\right)}=5050 [/tex]

Eine weitere Möglichkeit wäre natürlich auch noch, wenn du den Index der 1. Summe um 1 erhöhst.
Damit kommst du auf folgenden Ausdruck und natürlich auch auf 5050 als Ergebnis.

[tex] \sum_{n=0}^{99}\left(2n+1\right)-\sum_{n=1}^{100}\left(n-1\right)=\sum_{n=1}^{100}\left(2(n-1)+1\right)-\sum_{n=1}^{100}\left(n-1\right)= \sum_{n=1}^{100}\left(n\right)=5050[/tex]

Aufgabe 3)

Hier musst du nochmal schauen ich würde dir als kleine Hilfe noch die Binomialkoeffizienten ausschreiben und da dann ist es ja nur Rechnen mit Fakultäten wie bei Aufgabe 2.

[tex] \begin{pmatrix} 6 \\\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6 \\\ 3 \end{pmatrix} =\frac{6!}{(6-2)!~\cdot~2!}-\frac{6!}{(6-3)!~\cdot~3!}=\frac{6!}{4!~\cdot~2!}-\frac{6!}{3!~\cdot~3!} [/tex]

Aufgabe 4)

Vermutlich waren dort eben falls die Binomialkoeffizienten das Problem ich schreibe dir den Term einfach mal komplett auf und markiere das Ergebnis der Binomialkoeffizienten rot.
Das gute beim Binomischen Lehrsatz ist, wenn du die Summe aufgelöst hast bist du durch. Also du brauchst danach nichts mehr zusammenfassen oder dergleichen.

[tex] \left(\frac{1}{2}x-6y\right)^4~=~\sum_{k=0}^4{\begin{pmatrix} 4 \\\ k \end{pmatrix}x^{4-k}y^k}~=~\color{red}{1}\cdot\frac{1}{16}x^4-\color{red}{4}\cdot\frac{1}{8}x^3\cdot~6y+\color{red}{6}\cdot\frac{1}{4}x^2\cdot~36y^2-\color{red}{4}\cdot\frac{1}{2}x\cdot~216y^3+\color{red}{1}\cdot~1296y^4[/tex]

[tex]\\ \Leftrightarrow\frac{1}{16}x^4-3x^3y+54x^2y^2-432xy^3+1296y^4 [/tex]

Hier sieht man auch sehr schön warum man in solchen Situationen den Binomischen Lehrsatz verwenden sollte. Andernfalls würde das Lösen eines solchen Binoms sehr aufwändig werden.

Hab versucht es etwas detaillierter aufzuschreiben. Sag bescheid sollte noch etwas unklar sein.
 
Vielen Dank!
Bei Aufgabe 1 hatte ich den Index der zweiten Summe um eins verringert. Ergebnis hatte ich das selbe. Nur wusste ich nicht wie man das ohne Taschenrechner rechnet?!

Okay Aufgabe 3 habe ich meinen Fehler... und dadurch auch den Folgefehler bei Aufgabe 4.
Danke dir vielmals.
 
Im Kopf würde ich die Summe auch nicht ausrechnen. Hier würde ich dann den Taschenrechner bzw. Wolfram Alpha zu Hilfe nehmen, jenachdem ob es eine Prüfungssituation ist oder nicht.

Ich würde in einer Prüfung vermutlich folgendes zu Aufgabe 1 schreiben:

[tex] \sum_{n=0}^{99}{\left(n+1\right)}=1+2+~...~+100=5050 [/tex]


Ja das Rechnen mit Binomialkoeffizienten ist anfangs etwas ungewohnt aber mit der Zeit geht das auch wie alles andere fix von der Hand.
Zum Vergleich:

Lösung für Aufgabe 3: [tex] \begin{pmatrix} 6 \\\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6 \\\ 3 \end{pmatrix} =15-20=-5 [/tex]
 
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