Beweise

[Esprit10]

Es seien a,b und x positive Zahlen. Man begründe, warum der
Term

T=1/ab - 1/(a+x)(b+x)

immer positiv ist.
2 verschieden Vorgehensweisen: Ohne bzw. mit Umformung des
Termes

Hat jemand eine Idee was ich hier machen soll?

Die Aussage dass es immer positiv ist, stimmt wenn man zB 1 einsetzt aber wie kann ich das beweisen?

 

[Rene27]

AW: Beweise

Hallo,

naja es läuft immer aufs gleiche hinaus,

du musst einfach nur nachweisen, dass der erste Term > als der zweite Term ist.
Wenn du den zweiten Term mal ausmultiplizierst, so kommst du gleich am Anfang auf ab, der Rest, den du dann zum Term hinzu addierst vergrößert somit den Nenner noch!!

Multipliziere es doch einfach mal aus und stelle es dann gegenüber. Dann sieht man es eigentlich schon.

ab des ersten Termes ist gleich ab des zweiten Termes. Der Rest des zweiten Termes ist ebenfalls gößer Null und wird addiert, daraus folgt dann: Erster Term größer zweiter Term, da es sich ja um den Nenner handelt!!

Gruß Rene. wenn du noch Probleme haben solltest, dann melde dich doch noch mal bitte.

 

[Esprit10]

AW: Beweise

wenn ich das ausmultimpliziere heißt das:

1/ab - 1/(a+x)(b+x) >0

1/ab>1/(a+x)(b+x)

(a+x)(b+x)>ab

reicht das schon, wenn ich das hinschreibe?
Wie beweise ich das ohne Umformung des Termes?

 

[Sarah2503]

AW: Beweise

Sorry ist etwas zu spät, aber nein, das reicht noch nicht ganz. als nächstes multiplizierst du die klammern aus:
(a+x)(b+x)>ab
ab+ax+bx+x²>ab
nun kannst du auf beiden seiten ab abziehen:
ax+bx+x²>0
Das stimmt offensichtlich, da du a, b und x als positive Zahlen gewählt hast, also sind auch ihr produkt und ihre Summe größer als 0.

 

[Sarah2503]

AW: Beweise

Den Beweis ohne umstellen würde ich so machen:
zuerst überlege dir, dass a+x>a ist und b+x>b.
Also ist der Term (a+x)*(b+x) größer ist als a*b.
Du weißt, dass wenn s und t positive relle zahlen sind und s<t ist, dann ist 1/s>1/t (z.B. ist ja auch 1/2>1/3)
also ist 1/s-1/t>0
Nun nehmen wir s= ab und t=(a+x)(b+x) und dann hast du schon die Aussage.