Beweis für n Element von N

Dieses Thema im Forum "Mathematik" wurde erstellt von Matschie, 10 Sep. 2007.

  1. Hallo,

    folgende Aufgabe:
    Man zeige, dass für n € (Element) N gilt:

    1+2+...+n=\frac{1}{2} n(n+1)

    Ich habe keine Ahnung wie ich Anfangen soll. Das ist ne Aufgabe vom Vorkurs fürs Studium. Aber das einzige mal das wir n € N bewiesen war über die vollständige Induktion. Wie kann ich die hier drauf anwenden?
    Danke schonmal für die Hilfe!

    Mfg
    Ronny
     
  2. AW: Beweis für n Element von N

    Zunächst beweist du durch einsetzen, das die Formel für n = 1 stimmt. Dann musst du nur noch beweisen, dass wenn die Formel für n stimmt, dass sie dann auch für n+1 stimmt.

    \bigsum_{i=1}^n~i = \frac{1}{2}n(n+1) =\frac{1}{2}n^2 + \frac{n}{2}

    jetzt setzt du als obere Grenze n+1 ein

    \bigsum_{i=1}^{n+1}~i =\frac{1}{2}(n+1)(n+2) =\frac{1}{2}n^2 + \frac{n}{2} + n + 1  = \bigsum_{i=1}^n~i + (n+1).

    So, das wars eigentlich schon. Ich hoffe es hat geholfen.

    Gruß
    Stefan
     
  3. AW: Beweis für n Element von N

    Hallo,

    Ok ich komme so einigermaßen mit bei den Rechenweg, ist wahrscheinlich auch nicht so schwer. Aber für mich ist unklar wie ich damit beweise das n € N ist. Es ist doch nichts anderes passiert, als dass die Formel etwas umgeschrieben wurde und ich damit auch auf die gleichen Ergebnisse komme.
    Ich meine wenn ich sehen will ob es nur für natürliche Zahlen gilt, setze ich halt mal eine reelle Zahl ein (z.B. 2/3) und dann seh ich ja das es nicht stimmt. Das wäre doch auch ein Beweiß.
    Wäre nett wenn mir das jemmand erklären könnte.

    Mfg Ronny
     
  4. AW: Beweis für n Element von N

    1) Du sollst ja gar nicht beweisen, dass es nur für Natürliche Zahlen gilt sonder das es (mindestens) für Natürliche Zahlen gilt.

    3) Für die Menge der reelen Zahlen kommst du mittels Vollständiger Induktion eh nicht weiter, da hier der Induktionsschritt nicht genau zu definieren ist.

    4) Durch die Umstellung der Formel für n+1 wurde gezeigt, dass die Formel für n+1 stimmt, wenn sie für n stimmt. Da man für n=1 einfach durch Einsetzen zeigen kann das die Formel richtig ist hat man somit bewiesen, dass es für alle n aus N gültig ist (-> vgl. vollständige Induktion).

    Gruß
    Stefan
     
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