Betrag der Impedanz aus der Schaltung herleiten

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von SeniorRitter, 12 Jan. 2019 um 15:47 Uhr.

  1. Moin,
    Aus folgender Schaltung sollen wir den Betrag der Impedanz herleiten.
    upload_2019-1-12_15-34-0.png

    Ich habe zuerst den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aufgestellt und habe
    upload_2019-1-12_15-41-18.png
    heraus. (Ich habe alles selbst editiert, also gibt es keine Copyright-Verletzungen)
    Ist das soweit richtig?
    Als nächste würde ich den Ersatzwiderstand mit R1 addieren, und folgendermaßen aufschreiben.
    upload_2019-1-12_15-46-10.png
    Ist bis hierhin alles richtig?
     

    Anhänge:

  2. Der Betrag einer komplexen Funktion oder Zahl ist immer

    Betrag = Wurzel(Realteil^2 +Imaginärteil^2)

    Da kann nie und nimmer ein j drin sein.
     
  3. Soll das wirklich in der allgemeinen Form geschehen, wie von Dir versucht, oder sind auch konkrete Werte vorgegeben? Sofern konkrete Werte vorgegeben sind, geht man natürlich vollkommen anders vor als mit allgemeinen Größen.
     
  4. Eleganterweise sollte man in gemischter Form rechnen, der Übersichtlichkeit wegen. Du muss bedenken,dass Du als Technker bzw. Ing. Deine Berechnung mal schnell überprüfen willst, und diese Darstellungsart ist dafür am besten geeignet! Und vor vor allem, die Wahrscheinlichkeit einen Rechenfehler zu begehen ist hier minimiert!

    Moto: Möglichst einfach, Möglichst übersichlich und unbedingt korrekt!
     

    Anhänge:

  5. So elegant Deine Lösung auch aussieht, sie ist nicht korrekt. Der Gesamtbetrag einer Summe komplexer Größen ist doch nicht automatisch gleich der Summe ihrer Beträge. Du kannst es Dir ja anschauungshalber mal als Zeigerbild aufzeichnen und wirst feststellen, dass das nur für einen ganz bestimmten Fall "zufällg" richtig ist, wenn nämlich beide Größen in der komplexen Ebene dieselbe Phasenlage haben. Das ist hier aber nicht der Fall.

    Aus dem Zeigerbild kannst Du aber den Betrag unter Verwendung des Kosinussatzes ablesen:

    Z=\sqrt{R_1^2+Z_2^2+2R_1Z_2\cos{\left(-\arctan{(\omega CR_2)}\right)}

    was dasselbe ist wie

    Z=\sqrt{R_1^2+Z_2^2+2R_1Z_2\cos{\left(\arctan{(\omega CR_2)}\right)}

    Dabei ist Z2 der Impedanzbetrag der R2-C-Parallelschaltung.
     
    SeniorRitter gefällt das.
  6. Es soll zunächst in allgemeiner Form geschehen, sodass am Ende nur noch die Werte eingesetzt werden können.
     
  7. Ist Z2 also
    upload_2019-1-14_19-2-26.png ?
     
  8. Z = R1 +R2/(1+jw*R2*C)
    Konjugiert komplexe Erweiterung mit (1-jw*R2*C)
    Z = R1 +(R2-jw*R2*C*R2)/(1+(w*R2*C)^2)
    Z
    = R1 +R2/(1+(w*R2*C)^2) -jw*R2*C*R2/(1+(w*R2*C)^2)

    Betrag Z
    Z = Wurzel( (R1 +R2/(1+(w*R2*C)^2))^2 +(w*R2*C*R2/(1+(w*R2*C)^2)^2 )
     
    Sanastas und SeniorRitter gefällt das.
  9. Ok, wenn das die Aufgabenstellung ist ...

    Wenn die Begründung als Vereinfachung in Sanastas' Sinne (Beitrag #4) verstanden werden soll, so ist das irreführend. Dieser Fall ist einer der ganz wenigen, wo ich von einer allgemeinen Lösung abraten würde, in der nur noch die gegebenen Größen R1, R2, C und f vorkommen. Da rechnest Du mit vorgegebenen Zahlenwerten das Ergebnis viel, viel schneller aus, als wenn Du erst die allgemeine Lösung berechnest und dann die Werte einsetzt. Du musst z.B. in der von mir vorgestellten allgemeinen Lösung erst noch den Impedanzbetrag der R-C-Parallelschaltung mit den gegebenen Größen allgemein ausdrücken. Mach das mal, dann siehst Du, was das für ein umfangreicher Wust wird. Und die Lösung von helmuts sieht auch nicht viel besser aus. Jetzt musst Du ja erst daran gehen, das auszurechnen. Da bin ich mit Zahlenrechnungen von Anfang an deutlich schneller.

    Na ja, aber Aufgabenstellung ist Aufgabenstellung ... Da kann man nichts weiter machen, als ihr zu folgen.
     
  10. Nein. Die Wurzel ist bei Dir eine dimensionslose Größe. Z2 hat aber die Dimension eines Widerstandes. Das kann also nicht stimmen.
     
  11. Helmuts 1 Plus ! Gut gemacht!
    Einfach, übersichtlich und unbedingt korrekt!

    @GvC Ich habe einfach zu schnell dedacht, das passiert wenn man einfach und schnell und nach der Kneipe rechnen wil!!!
    Falsch ist falsch und richtig ist richtig. Helmuts Lösung ist einfach und richtig!
     
  12. Und meine dürfte zumindest richtig sein. Aber darum geht es mir nicht. Ich bin nach wie vor der Meinung, dass diese Aufgabe eine der ganz wenigen Ausnahmen darstellt, bei der man der Zahlenrechnung den Vorzug geben sollte. Dabei erspart man sich die konjugiert komplexe Erweiterung, die die Rechnung ja immer ziemlich aufbläht und beschränkt sich auf ein paar Rechenschritte, die ausschließlich aus der Umwandlung komplexer Größen von einer Form in die andere bestehen und umgekehrt. Ansonsten bin ich wie Du ein unbedingter Verfechter der Rechnung mit allgemeinen Größen bis zum Schluss, die die physikalischen Zusammenhänge übersichtlich darstellt, jederzeit eine Dimensionkontrolle bietet, Rechenfehler minimiert und die Akkumulierung von Rundungsfehlern vermeidet. Wenn Du meine Beiträge in diesem Forum anschaust, wirst Du das bestätigt finden.
     
  13. @GvC
    Da habe ich keinen Zweifel darn!
     

Diese Seite empfehlen